精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025届高三上学期期中考试数学试题

牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三期中 数学试卷 考试时间:120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则和共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题意知，, 所以, 故选：C 2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ） A. 16 B. 30 C. 32 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解. 【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51， 因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32. 故选：. 3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【详解】由，解得. 设， 则. 故选：C 4. 《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求. 【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得： ， 解得： 所以， 所以， 即春分时节的日影长为4.5. 故选：A 【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： 求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换. 5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解. 【详解】在区间上单调递增，令单调递减， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以． 故选：D． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合根与系数关系可得，，再利用两角和的正切公式可求出的值. 【详解】因为，是一元二次方程的两个根， 显然，所以，， 所以， 所以． 故选：A． 7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围. 【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数. 由，得，即， 从而，即 故选：D 【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围. 8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】按照、、分类讨论，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以， 即，与联立得， 因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，共线，则 C. 不可能是单位向量 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，共线，得，解得，B错误； 对于C，当时，是单位向量，C错误； 对于D，当时，，则，D正确． 故选：AD 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的公比为2 C. D. 数列为递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，解得，则，，BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假. 【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误； 把，，代入，整理得，B正确； 分别作出与的图象如下： 两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条． 因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确； 因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点， 直线的方程为，与联立得， 所以，所以， 由且可得， 设，则，所以，所以，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要. （2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 所以. 故答案为：. 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且则实数λ的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】运用三点共线向量公式和等差数列的性质，即可求解. 【详解】依题意，B，C，P三点共线， ∴＋λ＝1，∴λ＝1－2× 依题意， ∴λ＝1－2×＝ 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题需要熟练掌握三点共线向量公式，以及等差数列的求和公式的逆运用. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 16. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）证明：. （2）若点在边上，且，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 整理得. 又，所以，从而， 整理得，则. 由，得， 即，结合锐角中，， 则，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论； （2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由，可得，则. 在中，由正弦定理得， 整理得. 因为，且是锐角三角形，所以解得， 则， 从而，即的取值范围为. 17. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． （1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） （2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2），证明如下： 令，则， 恒成立，在递增，在递增， 在递增，， 即. （3） 由题，，则，则， 令， 易得在上递增，在上递减，从而， 即当且仅当时取等号）， ， 即， ， ，得证． 【解析】 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 记，则， ， 所以， 因为， 所以且， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题. 18. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列． （2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 【答案】（1）， 的分布列为： 25 50 100 0.4 0.24 0.36 （2）依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为， 抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为， 因此当时，， ，即， 又， 数列为等比数列，公比为1.2，首项为90． （3）（元） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果； （2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果； （3）由（2）得到，即可求出结果. 【小问1详解】 依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4， 显然的值为25，50，则， 所以， 又的值为， 则， 所以的分布列为： 25 50 100 0.4 0.24 0.36 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，，即， 所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）． 19. 已知. （1）求的定义域； （2）若恒成立，求能够取得的最大整数值； （3）证明：. 【答案】（1） （2）1 （3）证明：由（2）可知，当时，恒成立，即，即， 当时，，即， 令，则有即 于是， ，得证.. 【解析】 【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组，构造函数，通过求导推出，即可得到函数的定义域； （2）由题设不等式恒成立等价转化为，恒成立，讨论函数得，则须使，令得其当且仅当时取到最小值，得解. （3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到，取，推得再对进行赋值相加即可得证. 【小问1详解】 要使函数有意义，需满足， 令， 则，令解得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 的定义域为； 【小问2详解】 由恒成立得，， 当时，不等式恒成立； 下面说明当且为整数时不等式成立的情况. 当时，不等式显然成立， 当时，等价于恒成立，此时恒成立， 令，则，令得， 当即且为整数时，无解； 当即且为整数时， 若，则，若，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 则要使不等式恒成立，须使恒成立， 令则故单调递增， 从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立， 综上所述，能够取得的最大整数值是1； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三期中 数学试卷 考试时间:120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ） A. 16 B. 30 C. 32 D. 51 3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 5. 若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，共线，则 C. 不可能是单位向量 D. 若，则 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的公比为2 C. D. 数列为递增数列 11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量满足，且，则________. 13. 若，且，则__________. 14. 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且则实数λ的值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 16. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）证明：. （2）若点在边上，且，求的取值范围. 17. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． （1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） （2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； （3）已知，证明：． 18. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列． （2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 19. 已知. （1）求的定义域； （2）若恒成立，求能够取得的最大整数值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $