24.2 圆的基本性质（6种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学沪科版九年级下册

24.2 圆的基本性质（6种题型基础练+能力提升练） 一．圆的认识（共3小题） 1．（2023•定远县校级开学）下列说法正确的是　　 A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【分析】根据确定圆的条件及圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； 、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； 、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：． 【点评】考查了确定圆的条件及圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关性质及定义，难度不大． 2．（2023•怀宁县一模）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用半径相等得到，则，根据三角形外角性质得，所以，同理得到，然后利用进行计算即可． 【解答】解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 3．（2023春•怀远县月考）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 【分析】当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可． 【解答】解：连接， 点和关于对称， ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 当，，三点共线时，最短， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点在以为圆心，3为半径的圆上． 二．垂径定理（共6小题） 4．（2024•阜阳一模）已知点在的弦上，，，，则的弦心距为　　 A． B．3 C． D．2 【分析】作于点，则是的弦心距，根据垂径定理可以得到的长，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：作于点，如图所示，则是的弦心距， ， 由题意可知：，， ， ， ， 在中，， ， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出的长． 5．（2024•花山区校级一模）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是　　 A．9.6 B． C． D．10 【分析】根据垂径定理求出可得的长度，利用，求出，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度． 6．（2024春•淮北月考）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为　　 A． B． C． D．2 【分析】连接，作于，根据垂直定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【解答】解：连接，作于， 则， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 7．（2024春•庐江县校级期中）如图，的半径为4，是的弦，若，则的长为 　　． 【分析】过点作于点，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可． 【解答】解：如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键． 8．（2024•池州开学）如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 【分析】连接，由垂径定理得，，设的半径为，则，，在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接，如图所示： 点是的中点，， ，， 设的半径为，则， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为10． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 9．（2024•马鞍山一模）如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）先证明，根据，得出，证明，根据，得出，得出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，求出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，即，求出的值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， 于，于， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ， ， 于，， ， 在中，， 即， 解得或（舍． 即的半径为． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三．垂径定理的应用（共2小题） 10．（2024•青阳县三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，，，则该平底烧瓶的高度为　　 A．20 B．40 C．60 D．80 【分析】连接，，过点作，交于点，交于点，由垂径定理得出，的长，再根据勾股定理得出，的长，进而可得出结论． 【解答】解：连接，，过点作，交于点，交于点， ， ， 平分，， ，， ，， 的半径为25，， 在和中，， 由勾股定理得，， 该烧瓶的高度为． 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 11．（2024•潜山市开学）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 　2　米． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【解答】解：由题意， （米， （米， （米． 故答案为：2． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题） 12．（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点，如果，那么的长为　　 A． B．3 C．4 D． 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接，，过作于，过作于，再利用垂径定理求解，再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接，，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ，，， 四边形是正方形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2024•利辛县开学）如图，是的弦，半径，，则弦的长是 　　． 【分析】过点作，垂足为，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 【解答】解：过点作，垂足为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一性质是关键． 五．点与圆的位置关系（共3小题） 14．（2023•合肥开学）已知的直径长为6，点，在上，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断． 【解答】解：圆的弦长小于等于直径长， ， 故选：． 【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；①点在圆内是解题的关键． 15．（2023•定远县校级开学）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为　　 A．5 B．2.5 C．6 D．3 【分析】由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键． 16．（2023春•庐江县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴，轴上的动点，且，点的坐标为，若点是的中点，则的最小值为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】连接、，则，由点的坐标为，根据勾股定理求得，再根据“两点之间线段最短”得，即可求得的最小值为1.5，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、， ，点是的中点，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 的最小值为1.5， 故选：． 【点评】此题重点考查图形与坐标、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 六．三角形的外接圆与外心（共4小题） 17．（2024•合肥模拟）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是　　 A． B． C．4 D． 【分析】根据为的外心得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， 为的外心， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．（2024•安徽模拟）一副三角板如图所示放置，，，，，为的中点，将绕点旋转过程中，的最大值为　　 A． B．2 C．4 D． 【分析】取的中点，连接、，先求出、的长，即可求出的长，利用勾股定理求出的长，再证为的中位线，即可求出的长，根据三角形三边关系定理即可求出的最大值． 【解答】解：取的中点，连接、， ，，， ， 由勾股定理得， ， ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，最大， 的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理，三角形三边关系定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2024•埇桥区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数位于第一象限的图象上运动，点在轴正半轴上运动，在右侧以它为边作矩形，且，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【分析】作的外接圆，连接、、、，作，交于，垂足为，易得，解直角三角形求得，然后根据三角形三边关系得出取最大值时，，据此即可求得． 【解答】解：点在一次函数图象上， ， 作的外接圆，连接、、、，作，交于，垂足为，如图， 四边形是矩形， ，四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆心角和圆周角的关系，垂径定理以及勾股定理的应用，三角形三边关系等，作出辅助线是解题的关键． 20．（2024•太和县二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 　　． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：连接并延长交于点，连接， ， ， 过圆心， ； ， ， ， 设，则， ， ， 解得， 故的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质．掌握三角形的外接圆与外心的性质是关键． 一．选择题（共17小题） 1．（2024•利辛县开学）如图，在直角中，，，，，分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于，，则的最大值为　　 A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6 【分析】作于，根据垂线段最短，当经过圆心时，最小，根据垂径定理，勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，作于， ，，， ， ， ， ， 根据垂线段最短，当经过圆心时，最小，有最大值， ， 连接， ， 根据垂径定理，得， 故选． 【点评】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，过作于，作于，连接，，得出、、三点在一条直线上最小是解题的关键． 2．（2023春•安徽月考）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用垂径定理求得，利用余弦的定义在中解答即可． 【解答】解：是的直径，， ， ， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键． 3．（2024春•田家庵区校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案． 【解答】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设，则，， 在直角三角形中，，即， 解得，即球的半径为5． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 4．（2023•合肥开学）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，作，根据勾股定理得进而即可求解． 【解答】解：如图，自行车轮胎为，连接，作， ， ，， ， ， ， 轮胎的直径为． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键． 5．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点、在上），其中；已知的半径为，，，，则香水瓶的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】作于，延长交于，连接、．根据垂径定理求出、，解直角三角形求出，，根据即可解决问题． 【解答】解：如图，作于，延长交于，连接、． ， ， ，， ；， ． 即香水瓶的高度为， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．（2024•利辛县开学）下列说法正确的是　　 A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可解答． 【解答】解：、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； 、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 7．（2023•合肥模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为　　 A．5 B．4 C．4.5 D．3 【分析】连接，首先证明，设，在△中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在△中，则有， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．（2023•无为市三模）如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提． 9．（2023•定远县一模）如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点．若是的中点，则的长为　　 A．5 B．3 C．2 D．1 【分析】连接交于，如图，根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，所以，接着证明得到，则，所以，然后设，则，，在中，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【解答】解：连接交于，如图， 是弧的中点， ， ， 是直径， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 10．（2023•滁州二模）如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由，得到，于是可以证明，得到，由勾股定理求出的长，代入有关数据即可求解． 【解答】解：以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，公共定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2023•宣州区校级模拟）在矩形中，，，动点点的距离，连接，为的中点，连接，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D． 【分析】连接，取的中点，分别连接，，，只有时，取最大值，此时，，三点在同一条直线上，利用三角形中位线和矩形的性质求出和即可． 【解答】解：如图1，连接，取的中点，分别连接，，，只有时，取最大值，此时，，三点在同一条直线上（如图， ，， ， 为的中点， 是的中位线， ， 是矩形，点是的中点， ， 的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了三角形三边的关系，矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，正确作出辅助线并熟练运用矩形的性质求线段的长是解题的关键． 12．（2023•芜湖模拟）如图，内接于，，，是的直径，交于点，连接，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先利用圆周角定理得到，，则利用互余计算出，再计算出，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 【解答】解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 13．（2023•瑶海区二模）已知，内接于，且，，，，垂足分别为、，、相交于点．则的长度的最大值为　　 A．2 B． C．1 D． 【分析】当经过圆心时，取得最大值，的长度也取得最大值，此时，是等边三角形，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：，， ，， ， 四边形四点共圆， 内接于，， 当取得最大值，的长度也取得最大值， 弦是定值， 当经过圆心时，取得最大值， 由垂径定理得，， 是线段的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 在中，， 的长度的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与轴交于点，点为抛物线的顶点，以点为圆心的半径为2，点为上一动点，点为的中点，则的最大值与最小值和为　　 A． B． C． D．5 【分析】为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大或最小． 【解答】解：如图，连接． 因为为中点，为中点， 所以是的中位线，则，当最大时，则最大． 由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大． ，， ， 的最大值为，的最小值， 的最大值为．的最小值为， 的最大值与最小值的和为5． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题． 15．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为　　 A．3.6 B．4.8 C． D． 【分析】过的中点作的垂线与交于点，连接，当最小时，的值最大，利用，求出，，再利用勾股定理求出即可求解． 【解答】解：过的中点作的垂线与交于点，连接， ， ， 当的值最小时，的值最大， 根据垂线段最短可知，当直线过点时，的值最大， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键． 16．（2023•蜀山区校级模拟）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为　　 A．10 B．12 C．15 D．16 【分析】由四点共圆，得到，再证明，得到与的比，延长到，使，得到为等边三角形，在证明出，证出与，利用即可求出． 【解答】解：，， 、、、四点共圆， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长到，使， ， 为等边三角形， ， ， ， 设每一份为， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的转化是解题关键． 17．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，与表示旋翼，旋翼长为，，为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心到各旋翼支点的距离均为，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，与之间的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，延长交的延长线于点，连接，，，交于点．首先求出，再求出，可得结论． 【解答】解：如图，延长交的延长线于点，连接，，，交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 二．填空题（共7小题） 18．（2024•合肥模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出． 【解答】解：连接，如图所示： ，， ， 设的半径， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 19．（2024•宣州区校级三模）若的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则　10　． 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出的长，进而可得的长． 【解答】解：过点作于点，连接， ， ， 设， 在中，，即， 在中，，即， 两式消去得， 解得：， ，， 故答案为：10． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 20．（2023•贵池区二模）如图，点是直径的三等分点，点是弧的三等分点（弧弧，若直径，则的长为 　　． 【分析】过作于，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可． 【解答】解：过作于，则， 点是直径的三等分点，直径， ，，， ， 点是弧的三等分点（弧弧， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出和半径的长度是解此题的关键． 21．（2023•庐阳区一模）如图，在中，，截三边所得的弦长，则　125　度． 【分析】过点作于，于，于，求出，求出点是的角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线定义得出，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：过点作于，于，于，如图， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：125． 【点评】本题考查了角平分线定义和性质，三角形内角和定理和垂径定理等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键． 22．（2023•怀宁县一模）在中，圆心在坐标原点上，半径为5，点的坐标为，则点在 　圆上　（填“圆内”，“圆外”或“圆上” 【分析】先根据两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【解答】解：点的坐标为， ， 半径为5， 点在上． 故答案为：圆上． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，当点在圆外；当点在圆上；当点在圆内． 23．（2023•阜阳三模）如图，是的外接圆，，，则的直径为　8　． 【分析】连接，，依据是等边三角形，即可得到，进而得出的直径为8． 【解答】解：如图，连接，， ， ， 是等边三角形， 又， ， 的直径为8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 24．（2023•怀宁县一模）如图，是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上，若，． ①　6　； ②的外接圆的面积为 　　（结果保留． 【分析】①根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，过点作于，解直角三角形即可得到结论；②设的外接圆与交于，连接，根据圆周角定理得到是的外接圆的直径，设，，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：①将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上， ， ， ， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②设的外接圆与交于，连接， ， 是的外接圆的直径， ， ， 设，， ， ， ， 的外接圆的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 25．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在中，弦，延长到，使，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由圆周角定理得到，得到，由直角三角形的性质，即可证明问题； （2）由勾股定理求出的长，由得到，即可求出的长． 【解答】（1）证明：弦， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2023春•萧县月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径． 【分析】因为是弦的中点，根据垂径定理，，则，在△中，有，进而可求得半径． 【解答】解：连接，如图， 是弦的中点， 根据垂径定理：， 又则有：， 设圆的半径是， 在△中，有， 即：， 解得：， 所以圆的半径长是． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 27．（2024•利辛县开学）如图，已知为的直径，弦，，交于．求证：． 【分析】连接，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得，即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接， 为的直径，弦， ， ， 弧弧， ， ． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键． 28．（2023春•萧县月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于，两点，连接．求证：，是的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论． 【解答】（1）证明：，是的等垂弦，，， ， 四边形是矩形， ，是的等垂弦， ， ，， ，， ， 矩形是正方形． （2）证明：设交于点，连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ，是的等垂弦． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 29．（2023•怀远县校级二模）如图，为的直径，，垂足为点，，垂足为，， （1）求的长； （2）求的半径． 【分析】（1）先根据为的直径，得出，故可得出，由对顶角相等得出，故可得出，再根据可知，故，再由直角三角形的性质可得出的长，进而得出结论； （2）在中根据即可得出的长． 【解答】解：（1）为的直径，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ，即的半径是2． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2 圆的基本性质（6种题型基础练+能力提升练） 一．圆的认识（共3小题） 1．（2023•定远县校级开学）下列说法正确的是　　 A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 2．（2023•怀宁县一模）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于　　 A． B． C． D． 3．（2023春•怀远县月考）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 二．垂径定理（共6小题） 4．（2024•阜阳一模）已知点在的弦上，，，，则的弦心距为　　 A． B．3 C． D．2 5．（2024•花山区校级一模）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是　　 A．9.6 B． C． D．10 6．（2024春•淮北月考）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为　　 A． B． C． D．2 7．（2024春•庐江县校级期中）如图，的半径为4，是的弦，若，则的长为 　　． 8．（2024•池州开学）如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 9．（2024•马鞍山一模）如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 三．垂径定理的应用（共2小题） 10．（2024•青阳县三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，，，则该平底烧瓶的高度为　　 A．20 B．40 C．60 D．80 11．（2024•潜山市开学）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 　　米． 四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题） 12．（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点，如果，那么的长为　　 A． B．3 C．4 D． 13．（2024•利辛县开学）如图，是的弦，半径，，则弦的长是 　　． 五．点与圆的位置关系（共3小题） 14．（2023•合肥开学）已知的直径长为6，点，在上，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2023•定远县校级开学）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为　　 A．5 B．2.5 C．6 D．3 16．（2023春•庐江县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴，轴上的动点，且，点的坐标为，若点是的中点，则的最小值为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．3 六．三角形的外接圆与外心（共4小题） 17．（2024•合肥模拟）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是　　 A． B． C．4 D． 18．（2024•安徽模拟）一副三角板如图所示放置，，，，，为的中点，将绕点旋转过程中，的最大值为　　 A． B．2 C．4 D． 19．（2024•埇桥区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数位于第一象限的图象上运动，点在轴正半轴上运动，在右侧以它为边作矩形，且，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 20．（2024•太和县二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 　　． 一．选择题（共17小题） 1．（2024•利辛县开学）如图，在直角中，，，，，分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于，，则的最大值为　　 A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6 2．（2023春•安徽月考）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的余弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•田家庵区校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2023•合肥开学）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为　　 A． B． C． D． 5．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点、在上），其中；已知的半径为，，，，则香水瓶的高度是　　 A． B． C． D． 6．（2024•利辛县开学）下列说法正确的是　　 A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 7．（2023•合肥模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为　　 A．5 B．4 C．4.5 D．3 8．（2023•无为市三模）如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是　　 A． B． C． D． 9．（2023•定远县一模）如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点．若是的中点，则的长为　　 A．5 B．3 C．2 D．1 10．（2023•滁州二模）如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2023•宣州区校级模拟）在矩形中，，，动点点的距离，连接，为的中点，连接，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D． 12．（2023•芜湖模拟）如图，内接于，，，是的直径，交于点，连接，则等于　　 A． B． C． D． 13．（2023•瑶海区二模）已知，内接于，且，，，，垂足分别为、，、相交于点．则的长度的最大值为　　 A．2 B． C．1 D． 14．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与轴交于点，点为抛物线的顶点，以点为圆心的半径为2，点为上一动点，点为的中点，则的最大值与最小值和为　　 A． B． C． D．5 15．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为　　 A．3.6 B．4.8 C． D． 16．（2023•蜀山区校级模拟）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为　　 A．10 B．12 C．15 D．16 17．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，与表示旋翼，旋翼长为，，为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心到各旋翼支点的距离均为，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，与之间的距离为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 18．（2024•合肥模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 19．（2024•宣州区校级三模）若的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则　　． 20．（2023•贵池区二模）如图，点是直径的三等分点，点是弧的三等分点（弧弧，若直径，则的长为 　　． 21．（2023•庐阳区一模）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 　　度． 22．（2023•怀宁县一模）在中，圆心在坐标原点上，半径为5，点的坐标为，则点在 　　（填“圆内”，“圆外”或“圆上” 23．（2023•阜阳三模）如图，是的外接圆，，，则的直径为　　． 24．（2023•怀宁县一模）如图，是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上，若，． ①　　； ②的外接圆的面积为 　　（结果保留． 三．解答题（共5小题） 25．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在中，弦，延长到，使，连接交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26．（2023春•萧县月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径． 27．（2024•利辛县开学）如图，已知为的直径，弦，，交于．求证：． 28．（2023春•萧县月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于，两点，连接．求证：，是的等垂弦． 29．（2023•怀远县校级二模）如图，为的直径，，垂足为点，，垂足为，， （1）求的长； （2）求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$