24.1 旋转（第1课时 图形的旋转）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学上册 第二十四章 圆 第1课时 图形的旋转 24.1 旋转 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1. 掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点） 2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单 作图.（难点） 学习目标 生活中,旋转现象普遍存在,如各种车轮子的转动,风力发电机风叶的转动等,如图. 汽车的轮子 风力发电机的风叶 情景导入 这些运动有什么共同的特点？ O A' B' C' A B C θ 旋转中心 旋转角 在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O) ,旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转. 新知探究 定点О叫做旋转中心, θ叫做旋转角. 原图形上一点A旋转后成为点A', 这样的两个点叫做对应点. 图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定。 新知探究 试一试 如图，△ABO绕点O旋转得到△CDO，则: 点B的对应点是_____________. 线段OB的对应线段是_____________. 线段CD的对应线段是_____________. ∠AOB的对应角是_____________. ∠B的对应角是_____________. 旋转中心是_____________. 点D 线段OD 线段AB ∠COD ∠D 点O 平面内的旋转既可按逆时针方向也可按顺时针方向. A B C A B C A B C O A' B' C' θ A'' B'' C'' 逆时针 顺时针 θ 平面内的旋转方向是确定的吗？ 1、旋转的三要素： 旋转中心、旋转方向、旋转角度 2、旋转变换同样属于全等变换. 新知探究 如图,△ABC绕着旋转中心О按逆时针方向旋转θ后,得到△A'B'C'. (1）连接OA,OB,OC,OA',OB',OC',那么OA与OA'的长度有何关系?OB与OB’.OC与OC'也有这样的关系吗? 由△ABC≌△A'B'C'，△A'O'B'≌△AOB， 可得，OA=OA'，OB=OB’，OC=OC' 新知探究 (2)∠AOA'、∠BOB'、∠COC'的大小有何关系? 由△ABC≌△A'B'C'，△A'O'B'≌△AOB，∠AOA'=∠BOB'=∠COC' 新知探究 在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点. 归纳小结 图24-3中的图形绕旋转中心旋转180°,与原图形重合;图24-4中的图形绕旋转中心旋转120°或240°,也与原图形重合。图24-3和图24-4中的图形都是旋转对称图形。 图24-3 图24-4 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ（0°＜θ＜360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形. A．30° B．45° C．90° D．135° 例1 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为 ( ) 解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C. C C D A B O 典例剖析 A B O 例2 下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出 △OAB 旋转后的图形 △O′A′B′ 吗？ A′ B′ 例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度． 解析：连接EE′. 由旋转性质知BE=BE′，∠EBE′=90°， ∴∠BE'E=45°， EE′ 在△EE′C中，E′C=1，CE=3， EE′ 由勾股定理逆定理可知∠EE′C = 90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C = 135°. 135 D A B C E E′ 例4 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F． （1）求证：△BA1D≌△BCF； （2）当∠C=α°时，判定四边形A1BCE的形状，并说 明理由． A C B A1 C1 E D F （1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C. 由旋转的性质，可得 A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBF， 在△BA1D与△BCF中， △BA1D≌△BCF. (2)解：四边形A1BCE是菱形，理由如下： ∵∠FBC=∠C=α°，∠C=∠C1=α°， ∴∠FBC=∠C1，A1C1∥BC，∴∠C1EC=∠C. 又∵△ABC，△A1BC1为等腰三角形， ∴∠A1=∠C1=∠C，∠A1=∠C1EC， ∴A1B∥CE， ∴四边形A1BCE是平行四边形， 又∵ A1B=BC，∴□A1BCE是菱形. A C B A1 C1 E D F 例4 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F． （1）求证：△BA1D≌△BCF； （2）当∠C=α°时，判定四边形A1BCE的形状，并说 明理由． 1.找出下列旋转对称图形的旋转中心，并指出这个图形至少需旋转多大角度才能与原图形重合 解:三个图形中,两组不同的对应点的连线的交点即为旋转中心,从左向右三个图形分别至少需要旋转180°,72°,60°才能与原图重合 2.在下列图形中：　　　　 （1）指出轴对称图形，并用虚线画出该图形的对称轴； （2）指出旋转对称图形，用“*”号标出该图形的旋转中心，并指出至少需旋转多大角度才能与原图形重合 解:(1)第一个和第四个图案是轴对称图形.对称轴如图所示. (2)第一个、第二个、第三个图案是旋转对称图形,第一个图案的旋转中心为两条对称轴的交点处,至少旋转180°才能与原图形重合;第二个图案的旋转中心为三个半月形的交点处,至少旋转120°才能与原图形重合第三个图案的旋转中心是“Z”形中的“斜折”的中心处,至少旋转180°才能与原图形重合, C 1.下列运动形式属于旋转的是(　　) A．氢气球的上升 B．火车沿直线运动 C．时钟上钟摆的摆动 D．掷出的标枪的运动 分层练习-基础 2.如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，则图中可以看成是旋转关系的三角形是(　　) A．△ABC和△ADE B．△ABC和△ABD C．△ABD和△ACE D．△ACE和△ADE C 21 3.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D B 4.[2023·天津]如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是(　　) A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD A 5.[2022·常德]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，F是边AC的中点，连接BF，BE，连接FD交CE于点G.下列结论错误的是(　　) A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF D 6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE处，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为(　　) A．24° B．28° C．48° D．66° 【点拨】 ∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，∴∠ADE＝66°. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE处， ∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝66°， ∴∠BAD＝48°，即α＝48°.故选C. C 24 7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1C1，则∠BAC1＝___________． 45°或105° 【点拨】 ∵∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°. 当△ABC绕点A顺时针旋转30°时， 如图①所示，则∠B1AC1＝∠BAC＝75°， ∠B1AB＝30°，∴∠BAC1＝75°－30°＝45°； 当△ABC绕点A逆时针旋转30°时， 如图②所示，则∠BAC1＝75°＋30°＝105°. 综上所述，∠BAC1的度数为45°或105°. 8.如图①所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°.魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，你能吗？ 分层练习-巩固 【解】能． 图①与图②中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌旋转前后完全一样，而图中只有方块4旋转前后完全一样，故方块4被旋转过． 9.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证：△AEM≌△ANM； 【证明】由旋转的性质得△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN. ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝ ∠DAN＋∠BAM＝90°－45°＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN.又∵AM＝AM， ∴△AEM≌△ANM(SAS)． (2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长． 【解】设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2. ∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN. ∵ADN≌△ABE，∴BE＝DN， ∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5. ∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2， 即25＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或x＝－1(舍去)． ∴正方形ABCD的边长为6. 9.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. 10.小伟遇到这样一个问题：如图①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． 分层练习-拓展 (1)请你借助图②求∠APB的度数． 【解】由旋转的性质得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∠APB＝∠AP′C， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°. ∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25， ∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°， ∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°， ∴∠APB＝∠AP′C＝150°. 【解】如图，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，连接PP′. 旋转的性质 旋转对称图形 图形的旋转 1、旋转前、后的图形全等. 2、对应点到旋转中心的距离相等 3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等. 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ (0°< θ < 360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心 课堂小结 由旋转的性质得P′A＝PA＝2，P′D＝PB＝1， ∠PAP′＝90°，∠APB＝∠AP′D， ∴△APP′是等腰直角三角形， ∴PP′＝PA＝4，∠AP′P＝45°. ∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝()2＝17， ∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°， ∴∠AP′D＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°， ∴∠APB＝∠AP′D＝135°. (2)参考小伟同学思考问题的方法，解决问题： 如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2， PB＝1，PD＝，求∠APB的度数． $$