第7章 万有引力与宇宙航行 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年高中物理必修第二册（人教版2019 浙江专用）

第七章万有引力与宇宙航行么 单元复习归纳 微专题1对开普勒三大定律的理解和应用 答案D 1.行星绕太阳运动通常按圆轨道处理。 微专题2对万有引力定律的理解 2.开普勒行星运动定律也适用其他天体， 1.万有引力与重力的关系 若遇到环绕天体做椭圆运动，可以用开普勒定 地球对物体的万有引力F表现为两个效 律来判定速率变化及周期问题， 果：一是重力mg,二是提供物体随地球自转的 3开普勒第三定律号=友中，k值只与中 向心力F向 心天体的质量有关，不同的中心天体k值不 )在赤道上：G=mg1十mR R 同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体 之间 (2)在两极上：G R =mgo. 在椭圆运动中，a是半长轴：在圆周运动 (3)在一般位置：万有引力G等于重力 中，a就是圆的半径r. 例①(2024·广西南宁一中高一期末) mg与向心力F向的矢量和. “中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随 射电望远镜(FAST).通过FAST测量水星与 地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力 太阳的视角（水星B、太阳S分别与地球A的 近似等于重力：即 =mg. 连线所夹的角)，如图所示.若视角的正弦值最 2.星球上空的重力加速度g 大为，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速 星球上空距离星体中心r=R十h处的重力 圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为 GMm GM 加速度为g,mg=,得g=RW 所以马=(R+h) R2 3.万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 A.a ①两物体相互作用的万有引力是一对作 B. 用力和反作用力. D.va ②地球上的物体（两极除外）受到的重力 只是万有引力的一个分力. 解析]当视角最大时，地球和水星的连线 (2)两个推论 恰好与水星的运动轨迹相切，设最大视角为0， ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置 根据几何关系有sin0n=I=a,又根据开普勒 处，质点受到球壳的万有引力的合力为0，即 r 第三定律有景一亮解得-匠，故D正 ∑F引=0， ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处 117 国雕手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 Q)由G恤=mg得天体质量M= R r的同心球体(M)对其的万有引力，即F= GM'm (2)天体密度p MM 3g 2 4 3元R 4πGR 例2(2024·河北唐山一中高一期末)如 2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆 图所示，铅球A的半径为R,质量为M,另一质 周运动的半径r和周期T. 量为m的小球B到铅球球心的距离为山.若在 铅球内挖一个半径为的球形空腔，空腔的表 （1)由G=m窄得天体的质量 r2 面与铅球球面相切.则挖成空腔后，A、B间的 M=4r' GT严· 万有引力多大？ (2)若已知天体的半径R,则天体的密度 3nr 3xR GTR (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨 解析假设球A中挖出的小球质量为m', 道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ 4/R 3π 则有 P3π2 .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的 4 ,即m=4 P3xR 8 8 周期T,就可估算出中心天体的密度。 若把挖出的小球放回空腔中，则A,B之间 注意若已知的量不是r、T,而是r、v或v、 的引为-62 T等，则计算中心天体质量和密度的思路也相 同.若已知r、,利用G恤=m芒得M- 若只考虑放回空腔的小球与B间的引力 G F2,则F2=Gmmm u- 若已知不，可先表出一买再利用G恤 2 由于这时小球已不存在，因而挖出的这个 m我G=m停r求M若已知a,则 小球不可能对B产生F:这个力，根据力的合 不能求出M. 成原理可知，挖去半径为？的小球后，A,B之 例☒(2024·湖南湘潭一中高一期末) (多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以 间的引力F=B-F,=GMm G 711 初速度。水平抛出一个小球，测出小球的水平 d T 射程为L.已知月球半径为R,引力常量为G, 7d2-8Rd-+2R2 则下列说法正确的是( 整理得F=GMm 2d(2d-R)2· 3hz话 微专题3天体质量和密度的计算 A.月球的平均密度p一2GLR 天体质量和密度常用的估算方法如下· B月球表面的重力加速度g月= 2h6 L 1.重力加速度法：利用天体表面的重力加 速度g和天体半径R, C月球的第一-宇宙速度=艺√2 118 第七章万有引力与宇宙航行么 D.月球的质量m阴= 2hR话 续表 GL 最大值或 物理量 推导依据 表达式 解析小球做平抛运动，可得h= 28月12,1 最小值 角速度 GMi =mo r 当r=R时有 =h1,解得g月= 2h6,故B错误；月球的第一 r w一Nr 最大值 当r=R时有 宇宙速度为0=√gR=元 √2hF,故C正确： 周期 T=2 GM 最小值，约 由黄金代换关系可得四=mg,联立可得 (停 85 min 当r=R时有 向心 2hR2 GMon -mdm 最大值，最大 n月三 GL ,故D正确：月球的平均密度为P 加速度 r2 an=GM r 值为a=g m月 3h话 2πGLR,故A错误 轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体的中心重合 4 3xks 共性：半径越小，运动越快，周期越小 答案CD 2.地球同步卫星的特点 微专题4人造卫星的运动规律 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面 1.人造卫星的运动规律 重合 (1)一种模型 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 无论自然天体（如地球、月球）还是人造天 T=24h=86400s. 体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看作质点， (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动. (④)高度一定：由G恤=m禁r得r r? (2)两条思路 ①万有引力提供向心力，即GMm GMT =ma. V4π2 =4.23×10'km,卫星离地面高度h= r2 ②天体对其表面的物体的万有引力近似 r一R6R(为恒量). 等于重力，即SM=mg或gR?=GM(R、g分 (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 3.极地卫星和近地卫星 别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极， GM应用广泛，被称为“黄金代换” 由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖， (3)地球卫星的运行参数（将卫星轨道视 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球 为圆) 做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 最大值或 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 物理量 推导依据 表达式 最小值 7.9km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的 当r=R时有 M=m马 GM 球心 线速度 G 最大值，v 7.9 km/s 例4(2024·湖北黄冈中学期中)北斗卫 星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航 119 国雕手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 系统.北斗系统的空间段由若干地球静止轨道 力相互提供，即 卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道 Gm2=1wir· 卫星组成，地球同步轨道卫星的半径大于中圆 轨道卫星的半径.设地球同步轨道卫星和中圆 Gm12=2ar2. L 轨道卫星的线速度分别为、边，角速度分别 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1= 为a、a,向心加速度分别为a1、a2,周期分别 T2,w1=2 为T、T2.以下说法正确的是( ③两颗星的环绕半径与它们之间的距离 A.>2 B.1> 关系为n十n=L C.a>az D.T>T ④两颗星到圆心的距离、？与星体质量 架缸根据G=m,解得U GM 成反比，即四=色 -2 由于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道 1 ⑤双星的运动周期T=2r√G(m+m) 径，则有劝<边，A错误：根据 ⑥双星的总质量m十m=4 TG' GM mwr,解得u=√ ,由于地球同步轨道卫星 2.三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做 的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有< 圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不 c,B错送：根据6-m,解得a-以，由 同，其轨道如图所示.每颗星体做匀速圆周运 于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫 动所需的向心力由其他星体对该星体的万有 引力的合力提供。 星的半径，则有a1<a2,C错误；根据GMm m,解得T=√赢，由于地球同步轨道 Axr 卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有 T>T2,D正确. (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星 [答泰D 体外（如果有），每颗星体转动的方向相同，运 微专题5宇宙双星及多星模型 行的角速度、周期相同。 1.双星模型 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性， (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图所示 下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为 m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆 形轨道上运行（如图甲所示） (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引 120 第七章万有引力与宇宙航行么9 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角 能离开地面成为地球卫星， 形的三个顶点上（如图乙所示）， (2)发射速度在7.9~11.2km/s时，物体 例5(2024·华中师大一附中月考)宇宙 能离开地面成为地球卫星，但不能挣脱地球引 中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图所 力束缚 示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的 处于圆轨道内的地球卫星运行速度范围 顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周 是0~7.9km/s,处于椭圆轨道内的地球卫星 运动.如果两颗小星间的万有引力为F,母星与 运行速度范围是0~11.2km/s. 任意一颗小星间的万有引力为9F,则( (3)使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射 速度是vm=16.7km/s. 2.第一宇宙速度叫作环绕速度，第二宇宙 速度叫作逃逸速度.理论分析表明，逃逸速度 A.每颗小星受到的万有引力为(3十9)F 是环绕速度的，2倍，即一1=区·√受 B每颗小星受到的万有引力为(+9)F 2GM C.母星的质量是每颗小星质量的9倍 R D.母星的质量是每颗小星质量的3√3倍 法国科学家拉普拉斯指出，对一个质量为 解析假设每颗小星的质量为，母星的 M的球状天体，当其半径R不大于2CM时，是 质量为M,等边三角形的边长为a,则小星绕母 一个黑洞.换句话说，就是第二宇宙速度为光 里运动轨道半径为-写。根据万有引力定律 速，连光都不能挣脱天体M的引力束缚，这个 可知，两颗小星间的万有引力为F=G严 天体M就是黑洞 a2,母 3.变轨问题 星与任意一颗小星间的万有引力为9F (1)变轨原理及过程 GMm。,解得M=3m,故CD错误；根据受力 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方 /312 （3a 可到达预定轨道，如图所示 分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗 母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即 每颗小星受到的万有引力为F=2G a c0s30°+ Gm,=(5+9)F,故A正确，B错误. ①先将卫星发射到近地圆轨道I上 ②在A点点火加速，由于速度变大，万有 [答案A 引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入 微专题6宇宙速度与变轨问题 椭圆轨道Ⅱ· 1.对宇宙速度的理解 ③在B点（远地点）再次点火加速，使卫星 (1)发射速度在0~7.9km/s时，物体不进入圆轨道Ⅲ. 121 国雕手细高中物理必修第二册【 (浙江专用)】 (2)卫星变轨的实质 B.轨迹cde是圆的一部分 两类变轨 离心运动 向心运动 C.在d点时的速度大小0<、 G☑ 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 D.在d点时加速度大于地球表面的重力 GMm<m(万有 F为与F r 6恤>m（万有 加速度g 的关系 引力不足以提供所 引力大于所需向心 需向心力) 力) 转变为椭圆轨道运 转变为椭圆轨道运 动或在较大半径圆动或在较小半径圆 轨道上运动 轨道上运动 变轨结果 在新圆轨道上稳定在新圆轨道上稳定 运动的速率比原轨运动的速率比原轨 解析由题意可知，返回器从a点到c点， 道的小，周期比原轨 道的大，周期比原轨 由于空气阻力做负功，动能减小，因此在点 道的大 道的小 的速度大于在c点的速度，A错误：由c到e的 例6(2023·天津一中高一月考)2020年 过程中，c到d做离心运动，d到e做近心运动， 12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携 因此cde不是圆的一部分，B错误：在d点时， 带月球样品，采用“半弹道跳跃”方式返回地 知果返回器做匀速圆周运动，则有GM= 球，圆满完成了月球取样任务，如图所示的虚 线为大气层边界，返回器从：点关闭发动机无 ,解得v= GM ,由于返回器从d到e做 动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点 “跃”人，实现多次减速，可避免损坏返回器.d 的是近心运动，因此在d点的速度v< GM.C r 点为轨迹的最高点，离地心的距离为r,返回器 在d点时的速度大小为，地球质量为M,引力 正确：根据GM=mm可得aG,则在d点 常量为G,则返回器(). 时加速度小于地球表面的重力加速度g,D错误 A.在a、c点速度大小相等 答亲C 122