精品解析：天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（一） 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 7. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 这条圆弧所在圆的圆心为 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 点在这条圆弧所在圆外 10. 如图1，的半径为3，为上一点．如图2所示，按以下步骤作图： ①连接； ②以点为圆心，3为半径作弧，交于点； ③在射线上截取； ④连接． 则下列说法中错误的是（ ） A. B. 为的切线 C. D. 11. 如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（ ） A. B. 8 C. 5 D. 12. 二次函数的图象开口向下，与轴交于点，其对称轴为直线，有下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④对于任意非零实数，若为方程的两个根，则且．其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标是______． 14. 抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线______． 15. 把方程转化成的形式，则的值是______． 16. 已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为______（写出一个即可）． 17. 如图，中，，，，将绕着点A顺时针旋转，得到，点B，C的对应点分别为，，连接，交于点M，点M恰为边中点． （1）的面积为 ________； （2）线段的长为 _______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．，，为上三点，其中为格点，，点为圆与网格线交点，连接，，，，． （1）若，则等于______（度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出上的点，使平分．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个相等的实数根时，求的值及此时方程的根； （2）当方程有两个不相等的实数根和，且满足时，求的值． 21. 已知二次函数（，为常数，），其图象与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为，且图象的对称轴为直线． （1）求二次函数解析式及顶点的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数的图象； （3）连接，，根据图象直接回答问题： 面积为______； 关于的方程的解为______； 若该二次函数图象上有两点和，则______（从符号，，，，中选择一个填空）； 当时，则的取值范围是______． 22. 如图，四边形内接于，对角线与相交于点，直线与相切于点，且直线与的延长线相交于点，弦． （1）如图1，，恰为的直径，求和的大小； （2）如图2，若，，求的半径． 23. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在轴上，．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，，直线与交于点，旋转角记为． （1）如图2，点恰好落在线段上． ①求点的坐标； ②证明：点为的中点； （2）旋转过程中，当为等边三角形时，直接写出的长． 25. 抛物线的顶点坐标为，与轴从左到右依次交于，两点，抛物线与轴交于点．定点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴，交直线于点，设点的横坐标为． （1）直接写出抛物线和直线的解析式； （2）当时，求的值； （3）连接，，记的面积为． ①求的最大值和此时点的坐标； ②在①的情况下，连接，线段与轴交于点．若，分别是线段和线段上的点，且始终满足，连接，．直接写出的最小值，及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（一） 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程为， 故选：A． 4. 下列各点在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把各点的横坐标代入所给函数解析式，看所得函数值是否和点的纵坐标相等即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 故选：． 5. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数平移，最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、图象的顶点为，原选项错误，不符合题意； 、图象可由抛物线向下平移个单位长度得到，原选项正确，符合题意； 、图象的对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、当自变量取时，函数有最小值，原选项错误，不符合题意； 故选：． 7. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：D． 8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 9. 如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 这条圆弧所在圆的圆心为 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 点在这条圆弧所在圆外 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，圆的基本概念等知识，设圆心坐标为，根据A、B、C在圆上，可得方程，解方程求出x、y的值，即可得出圆心坐标，半径，然后根据点与圆的位置关系判断选项C、D即可． 【详解】解：设圆心坐标为， ∵圆弧经过，，三点， ∴， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为，故选项B正确， ∴这条圆弧所在圆的半径为，故选项A错误； ∵原点到圆心的距离为， ∴原点不在这条圆弧所在圆上，故选项C错误； ∵点到圆心的距离为， ∴点在这条圆弧所在圆上，故选项D错误， 故选：B． 10. 如图1，的半径为3，为上一点．如图2所示，按以下步骤作图： ①连接； ②以点为圆心，3为半径作弧，交于点； ③在射线上截取； ④连接． 则下列说法中错误的是（ ） A. B. 为的切线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，连接，得到为等边三角形，得到，三角形的外角求出，进而推出，得到为的切线，，勾股定理求出的长，判断即可． 【详解】解：连接，由作图可知： ， ∴为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； ∵，， ∴； 综上：只有选项C错误，不符合题意； 故选C． 11. 如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（ ） A. B. 8 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 12. 二次函数的图象开口向下，与轴交于点，其对称轴为直线，有下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④对于任意非零实数，若为方程的两个根，则且．其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，得， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴该函数的解析式可以为， 当时，，即， ∴当对应的x的值一个小于，一个大于2， ∴对于任意非零实数，若为方程的两个根，则且，故④正确； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 14. 抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据两点的纵坐标相同可知两点关于对称轴对称，据此即可求出答案，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴两点的纵坐标相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 15. 把方程转化成的形式，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，利用完全平方公式整理后，求出a与b的值，即可求解． 【详解】解：变形为， 配方得，即， ∴，， ∴， 故答案为：7． 16. 已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为______（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直线与圆的位置关系，因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可． 【详解】解：，解得：， ∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ∴的圆心到直线的距离为， ∵与直线相离， ∴的半径小于5， ∴的半径可以为1； 故答案为：1（答案不唯一） 17. 如图，中，，，，将绕着点A顺时针旋转，得到，点B，C的对应点分别为，，连接，交于点M，点M恰为边中点． （1）的面积为 ________； （2）线段的长为 _______． 【答案】 ①. ②. 11 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形． （1）由勾股定理得，，则，进而可得； （2）过点作于点，由旋转得，，则可得．由直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，则，进而可得，，再根据可得答案． 【详解】解：（1），，， ， ， 点为边中点， ， 故答案为：； （2）过点作于点， 由旋转得，， 为等腰三角形， ， 点为边中点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：11． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．，，为上三点，其中为格点，，点为圆与网格线交点，连接，，，，． （1）若，则等于______（度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出上的点，使平分．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 连接和，延长交于点 【解析】 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）由网格可知：，则垂直平分，证明，由四边形是圆内接四边形得，从而可得，，故有，然后根据圆周角定理即可判断． 【详解】解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）如图，连接和，延长交于点， 由网格可知：， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）系数化为1后，根据直接开平方法求解即可； （2）方程变形后，根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化简为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个相等的实数根时，求的值及此时方程的根； （2）当方程有两个不相等的实数根和，且满足时，求的值． 【答案】（1），方程的根为； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而求出的值，然后解方程即可； （）利用根与系数的关系，，求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 此时方程为， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴的值为． 21. 已知二次函数（，为常数，），其图象与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为，且图象的对称轴为直线． （1）求二次函数解析式及顶点的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数的图象； （3）连接，，根据图象直接回答问题： 面积为______； 关于的方程的解为______； 若该二次函数图象上有两点和，则______（从符号，，，，中选择一个填空）； 当时，则的取值范围是______． 【答案】（1）二次函数解析式为，顶点的坐标为； （2） 如图， （3）；，；；． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）通过画函数图象方法即可求解； （）通过面积公式直接求解即可； 根据图象分析即可求解； 通过图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解； 根据图象分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式， 【小问1详解】 解：∵与轴交于点，图象的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 由， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线， 【小问3详解】 解：如图， ∴面积为：， 故答案为：； 根据图象可知， ∴点关于得对称点为， ∴关于的方程的解为，； 由二次函数解析式为，，对称轴为直线， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵， ∴， 故答案为：； 根据图象可知： 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 22. 如图，四边形内接于，对角线与相交于点，直线与相切于点，且直线与的延长线相交于点，弦． （1）如图1，，恰为的直径，求和的大小； （2）如图2，若，，求的半径． 【答案】（1）； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据平行线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余求出，根据，得出，根据为的直径，得出，最后求出结果即可； （2）连接交于点G，连接，设的半径为r，根据垂径定理即勾股定理求得，在中，勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点G，连接． ∵直线与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为r， ∴， 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握圆的相关知识是解题的关键． 23. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围为 （2）为24元/千克 （3）当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； 【小问3详解】 解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在轴上，．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，，直线与交于点，旋转角记为． （1）如图2，点恰好落在线段上． ①求点的坐标； ②证明：点为的中点； （2）旋转过程中，当为等边三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）①； ②证明：连接， 由①知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴A、、、M四点共圆， ∴， 又， ∴点为的中点； （2）或 【解析】 【分析】（1）①先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，，结合已知可求，即可求出的坐标； ②连接，可证明，得出，则A、、、M四点共圆，根据圆内接四边形的性质求出，然后根据三线合一的性质即可得证； （2）分两种情况讨论：①当在的右侧时，连接，过A作于H，由（1）同理可证点为的中点，可证也是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理等可求，，，然后根据线段的和差关系求解即可；②当在的左侧时，类似①求解即可． 【小问1详解】 解∶①∵，， ∴，， ∴， ∵旋转 ∴，，，， ∵后点恰好落在线段上， ∴， ∴； ②略； 【小问2详解】 解：①当在的右侧时，连接，过A作于H， 由（1）同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ②当在的左侧时，连接，过A作于H， 同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点，也是等边三角形， 同理可求，，，，， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明A、、、M四点共圆是解题的关键． 25. 抛物线的顶点坐标为，与轴从左到右依次交于，两点，抛物线与轴交于点．定点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴，交直线于点，设点的横坐标为． （1）直接写出抛物线和直线的解析式； （2）当时，求的值； （3）连接，，记的面积为． ①求的最大值和此时点的坐标； ②在①的情况下，连接，线段与轴交于点．若，分别是线段和线段上的点，且始终满足，连接，．直接写出的最小值，及此时点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）①当时，S有最大值为，此时点P的坐标为；②的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据顶点式即可求出抛物线解析式，设直线的解析式为，把D的坐标代入求解即可； （2）用m表示出点P、E的纵坐标，然后结合已知得出关于m的方程，解之即可； （3）①根据割补法求出S，然后根据二次函数的性质求解即可； ②过O作，截取，过作轴于H，过作轴于G，连接，证明，可求出，，证明，得出，则，故当、N、F三点共线时，最小，最小值为，证明，可求出，，，，，求出直线、的解析式，然后联立方程组求出N的坐标，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知， ∵轴， ∴， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴m的值为或； 【小问3详解】 解：①当P在D的左下方时，即如图， ， ∴当时，S随m的增大而增大， 又， ∴当时，S有最大值，为； 当P在D的右下方时，即，如图， ， ∴当时，S有最大值为， ∵， 综上，当时，S有最大值为，此时点P的坐标为； ②如图，过O（在左侧）作，截取，过作轴于H，过作轴于G，连接， 则，，， ∴， 对于，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、N、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形、全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $