精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

衡阳县一中2024-2025学年上学期高二期中考试 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 2. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 3. 圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 4. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 5. 已知直线，且，则实数（ ） A. 1 B. 0或1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据及线线垂直公式，即可求的值. 【详解】因为，且， 所以，即，解得：或. 故选：B 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可. 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 7. 在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不超过12的质数，利用列举法结合古典概率求解作答. 【详解】不超过12的质数有，任取两个不同数有，共10个， 其中和为偶数的结果有，共6个， 所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为. 故选：B 8. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：由题意知，，故A错误； B：由题意知，，故B错误； C：事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 所以A与独立，则，故C正确； D： ，故D错误． 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可； 【详解】列举各事件如下：，，， A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确； B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误； C：因为，故C正确； D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断. 【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示： 连接，，，则，. 取的中点，的中点，连接，，，则，， 所以，不在面内，面，则面， 同理有，不在面内，面，则面， 而相交且都在面内，故平面平面. 要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误； 当点与点重合时，，又，所以四点共面， 由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确； 在正方体的结构特征，易证平面，又平面平面， 所以平面，又平面，所以，所以C正确； 当点为中点时，的长度最小，连接， 则，， 当点与点（或）重合时，的长度最大，此时， 所以长度的取值范围为：，故D正确. 故选：BCD 11. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可. 【详解】曲线，即 直线过定点， 如图：，， 当直线与曲线有一个交点时， 则直线夹了直线与直线之间，而， 所以此时k的取值范围是， 当直线与曲线相切时也只有一个交点， 则圆心到直线的距离为： ，解得， 所以实数k的取值范围是：. 故答案为： 13. 已知向量，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得的坐标，进而利用向量的模的公式与配方法可求最小值. 【详解】因为， 所以， 则. 当时，的最小值为. 故答案为：. 14. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】由题知，，，则，， 又，所以，所以，， 在中，， 根据正弦定理有， 且， 则， 在中，. 所以山高为米. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1），对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 ， 令，则，， 函数的对称中心为． 【小问2详解】 由可知，， 化简有， 则 ． 【小问3详解】 由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 16. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：∥平面； （2）若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【小问1详解】 因底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. 【小问2详解】 若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 17. 某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． （1）求直方图中和的值； （2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 【答案】（1），； （2）72分. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1及已知列出方程组，求解即得. （2）由频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为0.5，列式计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以，. 【小问2详解】 设应该制定的评分分数为分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.5， 而的小矩形面积是， 则在内，于是，解得， 所以应该制定的评分分数为72分. 18. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 19. 已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． （3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）24 【解析】 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程； （2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解. （3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可. 【小问1详解】 ,的中点为 的垂直平分线方程为，即, 将联立可得,即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 【小问3详解】 在圆的标准方程上， 设, 又因为点，， 所以 ， 当时，取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县一中2024-2025学年上学期高二期中考试 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B. C. D. 4. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A B. C D. 5 已知直线，且，则实数（ ） A 1 B. 0或1 C. 0 D. 6. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 11. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______． 13. 已知向量，则最小值为______． 14. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：∥平面； （2）若，且二面角的余弦值为，求. 17. 某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． （1）求直方图中和的值； （2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 18. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 19. 已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． （3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$