专题11 几何证明动点问题分类训练（3种类型30道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题11 几何证明动点问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点最值问题】 5 【题型3 动点存在性问题】 8 【题型1 动点定值问题】 1．如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 2．如图，点的坐标为，点的坐标为，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)若点的坐标为，求点的坐标； (2)当点在轴上运动时，求证：为定值． 3．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M （1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标: （2）求证:M为BE的中点 （3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值 5．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，． （1）求证：． （2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由． （3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 6．如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． (1)求点P 的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 7．已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________； (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． (3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 8．已知：在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴，x轴上，且，. （1）如图1，当，，点B在第四象限时，则点B的坐标为________； （2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作轴于点D，是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由. 9．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上. （1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标； （思路提示：过点A作AD⊥x轴于点D，通过证明△BOC≌△CDA来达到目的.） （2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．    10．已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC． (1)如图1，当A(0，-2)，C(1，0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ； (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． (3)如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE． 【题型2 动点最值问题】 11．如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 12．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 13．如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    14．如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 15．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 16．（1）我们已经知道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图2所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程． （2）如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE． （3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝30，AB＝8，则PF+PC的最小值为　 　 　． 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，则的度数是______； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 18．如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 19．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 20．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【题型3 动点存在性问题】 21．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点都在坐标轴上，且满足，． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴匀速运动，点P的运动时间为t，连接，当时，求t的值； (3)在坐标平面内，是否存在一点Q，使与全等（重合除外）？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 24．等腰中，，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图（1），若，，求C点的坐标； (2)如图（2），当点D恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试猜想：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？并证明你的结论． 25．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 26．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 27．如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足． (1)判断的形状； (2)如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明． 28．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，其中m、n是二元一次方程组的解，且． (1)求A、C两点坐标； (2)动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动，连接，点D是线段的中点，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为，求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，求点P的坐标；此时若在边上存在一点Q，连接，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 29．已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 30．是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．    (1)如图1，若，则______． (2)如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 几何证明动点问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点最值问题】 21 【题型3 动点存在性问题】 36 【题型1 动点定值问题】 1．如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 【答案】(1)16； (2)①的面积的值是为定值：；②见解析． 【分析】（1）由中点定义求得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①过点作于点，证得，即可求解；②过点作，交的延长线于点，先证，得，再证得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵在中，，，是的中点时， ∴ ， ∴； （2）解：①如图，过点作于点，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交的延长线于点，    同①的理由可证明， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，直角三角形的两锐角互余，与高有关的面积计算，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．如图，点的坐标为，点的坐标为，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)若点的坐标为，求点的坐标； (2)当点在轴上运动时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作轴于，证明可得结论． （2）是定值，根据，得出，再证明可得结论． 【详解】（1）解：过点作轴于， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ， ，   是定值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 4．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M （1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标: （2）求证:M为BE的中点 （3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值 【答案】（1）E(3,-2)；（2）详见解析；（3） 【分析】(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点，先证明△AOD≌△EFA(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到E点的坐标； (2)先把D点的位置画出来，再证明△AOD≌△EFA(AAS)，再根据全等三角形的性质证明△BOM≌△EFM(AAS)，即可证明M为BE的中点； (3)从(1)(2)的信息可知得到，再结合即可得到的比值为定值； 【详解】(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点    ∵AD⊥AE , EF⊥AF ∠AOD=∠AFE=90° ∵∠DAO+∠EAF=90° ∠EAF+∠AEF=90° ∴∠DAO=∠AEF 在△AOD和△EFA中 △AOD≌△EFA(AAS) EF=OA=3  AF=OD=5 OF=AF-OA=5-3=2 E(3,-2) (2)如图， D点在以上3个位置，   根据题意知道：AE=AD，， 又∵ ， ∴                     ∴△AOD≌△EFA(AAS) ∴OB=EF ∠BOM=∠EMF=90° ∠BOM=∠EMF ∴△BOM≌△EFM(AAS) BM=EM=BE (3) 根据(2)可知，D点在可以在3个位置， 当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴与D，过A作AG垂直直线a于G， 由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)， ∴EF=OB， 又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS) 即：EF=OA =OB，AF=OD ∴ ， 又∵ ∴=， 当D在另外两个位置时，同理可证得=； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定以及性质，综合性较强，能正确画出图像，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 5．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，． （1）求证：． （2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由． （3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE⊥DF，DE=DF，证明见解析；（3）△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8． 【分析】（1）由题意根据全等三角形的判定运用SAS，求证即可； （2）根据全等三角形的性质结合中点和垂线定义，进行等量替换即可得出线段与的位置及数量关系； （3）由题意根据全等三角形的性质得出S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC， 进而分析即可得知与的面积之和. 【详解】解：（1）∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴AD是BC边上的高 又∵∠BAC=90°， ∴∠ABD=∠DAF=∠BAD=45°， ∴BD=AD 又由题意可知BE=AF， ∴△BDE≌△ADF(SAS). （2）∵DE⊥DF，DE=DF, 理由如下： ∵△BDE≌△ADF， ∴DE=DF，∠BDE=∠ADF ∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠BDE+∠ADE=90°， ∴∠ADE+∠ADF=90°，DE⊥DF. （3）在运动过程中，△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值 ∵AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAC=90°， ∴AD=BD=BC=4 又∵△BDE≌△ADF S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC 又∵S△ADC=S△ABC=．BC．AD=8 ∵点E，F在运动过程中，△ADC的面积不变， ∴△BDE与△CDF的面积之和始终是一个定值，这个定值为8． 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. 6．如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． (1)求点P 的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【答案】(1) (2)的值不发生变化，其值为 2 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、坐标与图形，熟练掌握第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． （1）根据第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求解即可； （2）过点作轴于，于，，由角平分线的性质可得，由得到，证明得到，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：点在第一象限的角平分线上， ， ， ； （2）解：值不变； 过点作轴于，于， ， 则， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 7．已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________； (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． (3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)四边形的面积S为定值9 【分析】（1）通过证明即可得出结论； （2）过点P作于点E，于点F，通过证明即可得出，再证明，即可得出结论； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）成立，理由如下： 过点P作于点E，于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴四边形的面积S为定值9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，正确画出辅助线，构造全等三角形求解． 8．已知：在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴，x轴上，且，. （1）如图1，当，，点B在第四象限时，则点B的坐标为________； （2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作轴于点D，是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由. 【答案】（1）（3，-1）；（2）是定值，定值等于1，理由见详解. 【分析】（1）根据余角的性质，易证∠BCD=∠OAC，从而得到∆BCD≅∆OAC，可知：OA=CD=2，OC=BD=1，进而可求出点B的坐标； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，易证∆CEB≅∆AOC，得到AO=CE，易证四边形OEBD是矩形，可得EO=BD，进而可知OC-BD=OC-EO=CE=AO，即可得到答案. 【详解】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1， 则∠BDC=∠ACB=∠AOC=90°， ∴∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠OAC， 在∆BCD与∆OAC中， ∵ ∴∆BCD≅∆OAC（AAS）， ∴OA=CD，OC=BD， ∵，， ∴OA=CD=2，OC=BD=1， ∴OD=1+2=3， ∴点B的坐标是（3，-1）， 故答案是：（3，-1）. （2）是定值，定值等于1，理由如下： 过点B作BE⊥x轴于点E，如图2， ∴∠1=90°=∠2， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠5+∠3=90°， ∴∠5=∠4， 在∆CEB与∆AOC中， ∵ ∴∆CEB≅∆AOC（AAS）， ∴AO=CE， ∵BE⊥x轴， ∴BE∥y轴， ∵BD⊥y轴，EO⊥y轴， ∴BD∥OE， ∴四边形OEBD是矩形， ∴EO=BD， ∴OC-BD=OC-EO=CE=AO， ∴=1.                    图1                                             图2 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，熟悉“一线三垂直”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键. 9．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上. （1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标； （思路提示：过点A作AD⊥x轴于点D，通过证明△BOC≌△CDA来达到目的.） （2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．    【答案】(1) （0，4）；(2) BD=2AE,理由见解析；（3）1 【详解】试题分析：（1）过点A作AD⊥x轴，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题；（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE； （3）作AE⊥OC，则AF=OE，可证△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解题． 试题解析： （1）过点A作AD⊥x轴， ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DAC， 在△ADC和△COB中， ， ∴△ADC≌△COB（AAS）， ∴AD=OC，CD=OB， ∴点B坐标为（0，4）； （2）延长BC，AE交于点F，    ∵AC=BC，AC⊥BC， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAD=22.5°， 在△ACF和△BCD中， ， ∴△ACF≌△BCD（ASA）， ∴AF=BD， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE=EF，    ∴BD=2AE； （3）作AE⊥OC，则AF=OE，    ∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°， ∴∠ACO=∠CBO， 在△BCO和△ACE中， ， ∴△BCO≌△ACE（AAS），  ∴CE=OB，  ∴OB+AF=OC． ∴=1． 点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质，再本题中的每一问都找出全等三角形并证明其全等是解题的关键． 10．已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC． (1)如图1，当A(0，-2)，C(1，0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ； (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． (3)如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE． 【答案】(1)(3，-1) (2)是定值，且定值为1，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）如下图1，过点B作BD⊥x轴于点D，结合已知条件证△OAC≌△DCB，就可求得BD和OD的长，从而可得点B的坐标； （2）如下图2，过点B作BE⊥x轴于点E，结合已知条件可证得△OAC≌△ECB，四边形ODBE是矩形，这样就可得到：CE=OA，BD=OE，所以OC-BD=OC-OE=CE，从而可得：； （3）如下图3，过点B作BG⊥BC于点B，交y轴于点G，结合已知条件可证△CBG≌△ACD，从而可得：∠ADC=∠CGB，BG=CD，结合CD=BD可得BD=BG；再证∠DBE=∠GBE=45°，就可结合BE=BE，证得△DBE≌△GBE，从而可得∠BDE=∠BGE，结合∠ADC=∠CGB就可证得：∠ADC=∠BDE． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为：(0，-2)，点C的坐标为：(1，0)， ∴OA=2，OC=1， 作BD⊥CD， ∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°， ∴∠OAC=∠DCB， ∵在△OAC和△DCB中， ∴△OAC≌△DCB(AAS) ∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3， ∴B点坐标为(3，-1)； 故答案为：(3，-1)； （2）作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形， ∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCO=∠CAO， ∵△OAC和△ECB中， ∴△OAC≌△ECB(AAS) ∴EC=OA， ∵四边形ODBE为矩形， ∴OE=BD， ∵OC=OE+EC， ∴OC=AO+BD， ∴OC-BD=OA， ∴ ，即是定值，且定值为1； （3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G， ∴∠CBG=∠ACD=90°， ∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠CAO． 在△BCG和△CAD中， ∴△BCG≌△CAD(ASA)， ∴BG=CD=BD，∠BGE=∠ADC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 又∵∠CBG=90°， ∴∠EBG=∠DBE=45°， 在△DBE和△GBE中， ∴△DBE≌△GBE(SAS)， ∴∠BDE=∠BGE， 由∵∠BGE=∠ADC， ∴∠ADC=∠BDE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并求证是解题的关键． 【题型2 动点最值问题】 11．如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义和性质，垂线段最短， （1）先根据三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质可计算出的度数； （2）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后垂线段最短求解． 【详解】（1）解：，， . 是的角平分线， ， ； （2）过点作于点，如图， 是的角平分线，，， . 点是上的动点，根据垂线段最短，可知的最小值为的长， 即的最小值为8． 12．求证：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为_______； (2)结合图形，补全此命题的已知和求证并证明． ①已知：如图，； 平分交于点， ______________________________． 求证：___________________． ②写出证明过程 (3)在中，平分交于点，若于点，，点是边上一个动点，则的最小值为______． 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等 (2)①平分交于点，；②见解析 (3)3 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）①根据已知，结论，具体化写出来即可． ②根据全等三角形的判定和性质证明即可． （3）根据角的平分线的性质定理和垂线段最短原理解答即可． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应角的平分线相等． ∴改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角的平分线相等． （2）解：①已知：如图，； 　　　平分交于点，平分交于点． 求证：． 故答案为：平分交于点，． ②证明：∵， ∴，，， ∵平分交于点，平分交于点． ∴ ∵ ∴， ∴． （3）解：过点D作于点F， 根据垂线段最短，此时，最小， ∵平分交于点，，且， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理，垂线段最短原理，命题的改写，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 13．如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    【答案】6 【分析】根据，，可以证明，得到继而得到，故线段的最小值转化为线段得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵点A为的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值转化为线段得最小值， 根据垂线段最短， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键． 14．如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 【答案】(1)，理由见解析； (2)有最小值为，理由见解析． 【分析】（）利用全等三角形的性质可得，由可证，再利用角度和差即可； （）利用两点之间线段最短及三角形三边关系即可求解． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在 过程如下，如图，连接，   , 当点不在直线上时，由三角形的三边关系得：， ∵，， ∴此时，即， 当点在直线上时，此时知， 故当点在长方形纸片的对角线上时，即：，，三点共线， ∴有最小值为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用． 15．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 16．（1）我们已经知道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图2所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程． （2）如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE． （3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝30，AB＝8，则PF+PC的最小值为　 　 　． 【答案】（1）∠C＞∠B，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先根据图形折叠的性质得出∠ADE＝∠C，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AD＝AC，连接DE，由AE是角平分线，得∠BAE＝∠CAE，由SAS可证△ADE≌△ACE，则∠ADE＝∠C，DE＝CE，由三角形外角的性质得∠B＝∠DEB，得DB＝DE，从而解决问题； （3）在AB上截取AH＝AF，连接CH，通过SAS证明△AHP≌△AFP，得HP＝PF，则点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF＋PC最小，通过面积即可求出高． 【详解】解：（1）∠C＞∠B， 理由如下：∵点C落在AB边的点D处， ∴∠ADE＝∠C， ∵AC沿∠BAC的平分线翻折，∠ADE为△EDB的一个外角， ∴∠ADE＝∠B+∠DEB， ∴∠ADE＞∠B， 即：∠C＞∠B； （2）如图③，在AB上截取AD＝AC，连接DE， ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE． 在△ADE 和△ACE中， ∵， ∴△ADE≌△ACE（SAS）， ∴∠ADE＝∠C，DE＝CE， ∵∠ADE＝∠B+∠DEB，且∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴AB＝AD+DB＝AC+CE， 即AB＝AC+CE； （3）如图，在AB上截取AH＝AF，连接CH， ∵AH＝AF，∠HAP＝∠FAP，AP＝AP， ∴△AHP≌△AFP（SAS）， ∴HP＝PF， ∴PF+PC＝PH+PC， ∴点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC最小， ， ， ∴PF+PC的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂线段最短等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，则的度数是______； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 【答案】(1) (2)①22；②8. 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、以及轴对称一最短路线问题，综合运用这些知识点是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，先求得的度数，再利用三角形的内角和定理性质求解； （2）①根据题意，易得，得到，的周长即可求得； ②要求的最小值，可先找到点关于直线的对称点是点，与交于点，因此当点在点处时，有最小值． 【详解】（1）解：，， ， 则． 是的垂直平分线， ∴在中，． 故答案为：． （2）解：①，的周长是， ． 是的垂直平分线， ， 则． ， 的周长是． ②根据题意，点关于直线的对称点是点，与交于点，因此当点在点处时，有最小值， 的最小值是． 故答案为：8. 18．如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)周长的最小值是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，即可求解． 【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点， ∴； （2）解：∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交于D，如图： ∵， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长的最小值是： ． 19．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质定理、等边三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于，，所以只需证即可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，将四边形的周长用表示，最小时就是四边形的周长最小，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时就是的一半． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ∵， ∴． 20．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型3 动点存在性问题】 21．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当或12时， (3) 【分析】（1）根据，平分，得出，根据，得出； （2）分两种情况分别讨论，①当点在线段上时，②当点运动到点的右侧时； （3）先证明，得出，说明当在线段上，且时，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点都在坐标轴上，且满足，． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴匀速运动，点P的运动时间为t，连接，当时，求t的值； (3)在坐标平面内，是否存在一点Q，使与全等（重合除外）？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1或4 (3)存在，，， 【分析】（1）由，可得，可求，，然后作答即可； （2）由，可求，当动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴正方向匀速运动时，，则，由，可得，整理得，，计算求出满足要求的解即可；当动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴负方向匀速运动时，，则，由，可得，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （3）如图1，作关于轴的对称点，作轴，交的延长线于，作轴于，则，，证明，则，，证明，则，，即，是直角三角形，由，可知当与全等，分，两种情况求解；当时，，，即为的中点，如图1，，则，即；当时，如图1，，；由，可得，由向下平移3个单位，向左平移6个单位到，可知向下平移3个单位，向左平移6个单位到；由题意可知，为的中点，同理，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，，，（舍去）， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，即， 当动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴正方向匀速运动时，，则， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； 当动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿y轴负方向匀速运动时，，则， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， 综上所述，当时，t的值为1或4； （3）解：如图1，作关于轴的对称点，作轴，交的延长线于，作轴于， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴当与全等，分，两种情况求解； 当时，，，即为的中点， 如图1，， ∴，即； 当时，如图1，，； ∵， ∴， ∵向下平移3个单位，向左平移6个单位到， ∴向下平移3个单位，向左平移6个单位到； 由题意可知，为的中点， 同理，，即； 综上所述，存在，点Q的坐标为，，． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，点坐标，绝对值方程，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质等知识．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，点坐标，绝对值方程，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质是解题的关键． 23．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 24．等腰中，，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图（1），若，，求C点的坐标； (2)如图（2），当点D恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试猜想：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点F通过证得，，求得的值，就可以求出C的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，先证明就可以得出，，再证明就可以得出结论； （3）在上截取，连接，由对称性得，，可证，再证明就可以得出结论． 【详解】（1）解：过点C作轴于点F， ， ． 是等腰直角三角形，， ，，， ． 在和中， ， ， ； （2）解：证明：过点C作交y轴于点G， ， ． ， ． ，， ， ． 在和中 ， ， ， ， 在和中， ， ， 即； （3）解：结论： 理由：在上截取，连接 由对称性得，． ． ． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 25．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)t的值为或 (4)t的值为1或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； （4）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 26．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 27．如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足． (1)判断的形状； (2)如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明． 【答案】(1)为等腰直角三角形 (2) (3)，且，证明见解析 【分析】本题考查完全平方差公式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质相关知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）已知，化简可得，然后可得为等腰直角三角形； （2）证明，求出、、，然后数形结合求出的值； （3）延长到点，使，连接、、、，如图所示，利用三角形全等的判定与性质求证即可得到答案． 【详解】（1）解：等腰直角三角形． ， ， ， ， 为等腰直角三角形； （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ； （3）解：且， 证明如下： 延长到点，使，连接、、、，如图所示： 在和中， ． ， ，，则， 又，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，且． 28．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，其中m、n是二元一次方程组的解，且． (1)求A、C两点坐标； (2)动点P从点C出发以2个单位长度/秒的速度沿向终点B运动，连接，点D是线段的中点，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为，求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，求点P的坐标；此时若在边上存在一点Q，连接，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查三角形综合题、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）解方程组求出，，得到、、 的长，根据三角形的面积公式计算即可；点是线段上的一个动点，连接，点是线段的中点，连接，若点的横坐标为，设的面积为，求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； （2）利用三角形的面积公式求出的面积，根据三角形的中线的性质求出与之间的关系式； （3）根据已知条件得到，求得，于是得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解方程组， 解得， 则的三个顶点的坐标为，，， ，， ， 的面积； （2）如图， ， ， 的面积， 点是线段的中点， 的面积为的面积， 则； （3）如图2中，结论：．理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 29．已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边． (1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度： (2)如图2，取边的中点，连接． ①试判断与的位置关系，并予以证明； ②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由． 【答案】(1)6，40或20 (2)①，理由见解析；②存在，点为的角平分线与的交点，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，，可求得，即可求得； ①当点F位于线段右侧，可求得，即可求得；②当点F位于线段左侧，利用平角可直接求得； （2）①连接，根据题意可求得为等边三角形，则有，，可证得，则有，即可判断； ②首先得到，则点O是的中点，有，假设平分，则，求得，可得到，即证得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，点是边的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 则； ①当点F位于线段右侧， ∵， ∴， 则； ②当点F位于线段左侧， ∵， ∴； 故答案为：6；40或20； （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②存在，当平分，即点为的角平分线与的交点， 由①得， ∵， ∴， ∴点O是的中点， ∴垂直平分， ∴， 假设平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线性质以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定． 30．是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．    (1)如图1，若，则______． (2)如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长． 【答案】(1)； (2)①，理由见解析；②6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解； （2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到； ②先证明，C，P三点共线，结合①的结论求解即可． 【详解】（1）解： 理由：是等边三角形， ， ， 把沿对折，得到， ， ， ； （2）解：① 理由如下： 连接，在上取一点，使，如图，    是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即； ②如图    由①可得， ， 由（1）可知， 把沿对折，得到， ， ， ， ， ， 三点共线， 把沿对折，得到， ， ， ， ， ， 由①可得， ， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$