第4章指数函数与对数函数（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第4章指数函数与对数函数（数学思想方法+核心素养提升+过关检测） 知识点一、指数函数的概念 　　一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 知识点二、指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，+∞) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 增函数； 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 　　注意：指数函数y=ax与y= (a>0，a≠1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； ②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 知识点三、指数函数图象的变换 1. 平移变换(a>0，a≠1) (1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 知识点四、比较指数幂的大小 1. 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同： ①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断； ②利用幂函数的单调性进行判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较. 　　注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小. 知识点五、解指数方程或指数不等式 1. 指数方程的解法 (1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等 进行求解. (2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别注意 “元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍. 2. 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解. 知识点六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型. (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 知识点七、与指数函数有关的函数的单调性 1. 形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 (1)当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间； (2)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2. 形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 知识点八、对数函数的概念 　　一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞). 知识点九、对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，+∞) 值域：R 图象过点(1，0) 增函数； 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 减函数； 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 　　注意：对数函数y=logax与y=lox(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称. 知识点十、对数函数图象的变换 1. 平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于x轴对称； (2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称； (3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 知识点十一、对数函数的图象及其应用 1. 对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). 2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 3. 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 知识点十二、比较对数值的大小 1. 比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 知识点十三、解对数不等式 1. 简单对数不等式的解法 (1)形如loga f(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如loga f(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 知识点十四、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 对数型函数的定义域 　　求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点十五、与对数函数有关的函数的单调性 1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 　　形如y=loga f(x)(a>0，a≠1， f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 一、数形结合思想 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 二、分类讨论思想 【例题2】（22-23高一上·广东·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A．2 B．4 C．0或4 D．2或4 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【变式2】（22-23高一·青海西宁）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数（为常数）为奇函数，函数，（且） (1)求的值; (2)求在上的最大值. 三、函数与方程思想 【例题3】（23-24高一·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 【变式2】（20-21高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）当时，求函数的最小值. 【变式3】（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知函数，函数． (1)若的值域为R，求实数m的取值范围； (2)当时，求函数的最小值h(a)； (3)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由． 考点1：指数幂与对数的运算 【例题1】（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）= ． 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 考点2：指数函数的概念与图象 【例题2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【变式3】（23-24高一上·云南昆明·期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 考点3：对数函数的图象及其应用 【例题3】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ） A．3 B． C． D．5 【变式1】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 考点4：比较大小问题 【例题4】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)和； (2)和． 考点5：指数型函数与对数型函数性质的应用 【例题5】（23-24高一上·江苏南通·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知是上的减函数，那么a的取值范围是 【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 考点6：反函数问题 【例题6】（23-24高一上·全国·课后作业）的反函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·期中）函数的反函数为，若，则 . 【变式3】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）设函数且的图像经过点，记. (1)求； (2)设函数的反函数为.当时，求函数的最值. 考点7：函数的零点 【例题7】（22-23高一上·湖南长沙·假期作业）已知函数，若实数是函数的零点，且，则（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不大于0 【变式1】（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是 . 【变式3】（20-21高一上·广西玉林·期末）已知函数（，且）在区间的最小值为． （1）求的值; （2）若函数存在零点，求的取值范围． 考点8：函数模型的应用 【例题8】（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请你写出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是 . 【变式3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 5．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 11．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 三、填空题 12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则 13．（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 14．（24-25高一上·湖南·期中） . 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏连云港·期中）化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 17．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 18．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 19．（22-23高一上·河南南阳·期末）某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计）， 每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章指数函数与对数函数（数学思想方法+核心素养提升+过关检测） 知识点一、指数函数的概念 　　一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 知识点二、指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，+∞) 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 增函数； 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数； 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 　　注意：指数函数y=ax与y= (a>0，a≠1)的图象关于y轴对称. 2. 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； ②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 知识点三、指数函数图象的变换 1. 平移变换(a>0，a≠1) (1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象. (2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax-b的图象. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 知识点四、比较指数幂的大小 1. 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同，指数相同： ①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断； ②利用幂函数的单调性进行判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较. 　　注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小. 知识点五、解指数方程或指数不等式 1. 指数方程的解法 (1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等 进行求解. (2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别注意 “元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍. 2. 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解. 知识点六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型. (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 2. 求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 知识点七、与指数函数有关的函数的单调性 1. 形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 (1)当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间； (2)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2. 形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 知识点八、对数函数的概念 　　一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞). 知识点九、对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，+∞) 值域：R 图象过点(1，0) 增函数； 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 减函数； 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 　　注意：对数函数y=logax与y=lox(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称. 知识点十、对数函数图象的变换 1. 平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于x轴对称； (2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称； (3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 知识点十一、对数函数的图象及其应用 1. 对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). 2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 3. 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 知识点十二、比较对数值的大小 1. 比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 知识点十三、解对数不等式 1. 简单对数不等式的解法 (1)形如loga f(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如loga f(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 知识点十四、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 对数型函数的定义域 　　求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点十五、与对数函数有关的函数的单调性 1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 　　形如y=loga f(x)(a>0，a≠1， f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 1、 数形结合思想 【例题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 2、 分类讨论思想 【例题2】（22-23高一上·广东·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A．2 B．4 C．0或4 D．2或4 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况考虑，建立方程，解出即可. 【详解】当时，因为， 所以，所以，经检验，满足题意； 当时，因为， 所以，即，所以，经检验，满足题意. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 【变式2】（22-23高一·青海西宁）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数（为常数）为奇函数，函数，（且） (1)求的值; (2)求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为奇函数可知，进而可得. （2）对进行分类为和，根据的单调性进而可得最大值. 【详解】（1）由题意可知，得， 可得. （2）由（1）可知，故， 当时，在上单调递增，故， 当时，在上单调递减，故 所以 3、 函数与方程思想 【例题3】（23-24高一·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据给定函数，分段解方程即可得解. 【详解】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令，明显其在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（20-21高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）答案不唯一，见解析. 【解析】（1）根据函数定义域为，转化为恒成立，分类讨论求解； （2）根据二次函数单调性可得，求解即可； （3）换元，令，分类讨论求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）∵定义域为，即恒成立 ∴， 或得 综上得 （2）的定义域为，值域为 ∴ ，解得. （3）令，则 若，则； 若，则； 若，则； 【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题. 【变式3】（22-23高一上·山西吕梁·期末）已知函数，函数． (1)若的值域为R，求实数m的取值范围； (2)当时，求函数的最小值h(a)； (3)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据等价转化的方法，得到的值域应该包含，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图像与性质，可得结果； （2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果； （3）化简式子可得，利用该函数的单调性，可得，计算可得结果. 【详解】（1）由，所以 又的值域为， 则的值域应该包含 当时，，满足 当时，则 综上：. （2）令，则， 所以在最小值 等价于在的最小值， 对称轴为， 当时，在递增， 则在处有最小值， 当时，则在处有最小值， 当时，在递减， 则在处有最小值， 综上：. （3）存在. ① 由为非负实数，所以①在单调递增 又值域为，所以 所以存在，当时， 函数在上，值域为. 考点1：指数幂与对数的运算 【例题1】（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分母有理化、指数幂运算、平方差公式判断各项正误. 【详解】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：D 【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）= ． 【答案】 【分析】由同底数的对数的计算法则先化简小括号里面的值，再得出结果. 【详解】 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 【答案】2 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】原式. 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)10 【分析】（1）利用分数指数幂与根式的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 考点2：指数函数的概念与图象 【例题2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 【变式2】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【变式3】（23-24高一上·云南昆明·期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【答案】， 【分析】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】解：设指数函数，则，解得， 所以，， 故. 考点3：对数函数的图象及其应用 【例题3】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值. 【详解】由条件可知，，且， 即，即， 那么，所以函数是周期为4的函数， . 故选：B 【变式1】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，以及，即可容易求得结果. 【详解】因为，且定义域关于原点对称， 故是偶函数，图像关于轴对称，排除A,D； 又因为，故排除B. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解． 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 考点4：比较大小问题 【例题4】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可与之间值0，1比较求解. 【详解】由于，故. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，特殊值法判断C. 【详解】A，当时，有，而不等式的两边同乘，化简为，矛盾，错误； B，右侧不等式的两边同乘，可化简为，与题设矛盾，错误； C，取，，，错误； D，左边可化简为，即成立，右边可化简为，即成立，正确． 故选：D 【变式2】（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】. 【分析】先根据条件得出的对称轴，利用指数函数、对数函数的性质结合的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知的图象关于轴对称， 则在上单调递减， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 即， 所以，而， 故，则. 故答案为： 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性即可比较大小； （2）根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】（1）因为在上单调递增，且， 故. （2）因为在上单调递减， 故 考点5：指数型函数与对数型函数性质的应用 【例题5】（23-24高一上·江苏南通·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案. 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 故选：A． 【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】函数是上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知是上的减函数，那么a的取值范围是 【答案】 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】是上的减函数， 故，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值； （2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 考点6：反函数问题 【例题6】（23-24高一上·全国·课后作业）的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据原函数与反函数图象和性质之间的关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【详解】当时，，， 此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误； ②若函数有反函数， 则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误 ③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时， 无意义； 当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确； 故不正确的命题的个数为3个， 故选：D． 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·期中）函数的反函数为，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据反函数的性质结合已知求出的值，即可得出答案. 【详解】根据反函数的性质以及， 可得，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）设函数且的图像经过点，记. (1)求； (2)设函数的反函数为.当时，求函数的最值. 【答案】(1) (2).. 【分析】（1）根据已知代入点坐标，求得的值，求出，进而求出集合； （2）由（1）可得，表示出，然后利用换元法求解函数最值即可. 【详解】（1）由题知，，得，故， 由可得， 所以，即， 解得，故. （2）由（1）知，，则， ， 令，则， 则令， 当或，即或时，. 当，即时，. 即最大值，最小值. 考点7：函数的零点 【例题7】（22-23高一上·湖南长沙·假期作业）已知函数，若实数是函数的零点，且，则（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不大于0 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和即可求解. 【详解】易知函数在上单调递减. 因为，所以. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可. 【详解】由知是周期为2的周期函数， 函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点， ①当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即. ②当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即 . 综上所述,的取值范围是. 故选：A 【变式2】（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围. 【详解】设， 由有两个零点， 即方程有两个正解， 所以，解得， 即， 故答案为：. 【变式3】（20-21高一上·广西玉林·期末）已知函数（，且）在区间的最小值为． （1）求的值; （2）若函数存在零点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据的取值范围不同讨论函数的单调性，分别求得值； （2）由（1）得，可知的函数解析式以及单调性，从而判断存在零点时的取值范围. 【详解】（1）若，则在区间上单调递增，则，不符合条件； 若，则在区间上调递减，则， 解得 综上，； （2）由题可知， 因为， 所以， 又当时，， 所以存在零点且函数单调递减， 所以， 故的取值范围为． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 考点8：函数模型的应用 【例题8】（24-25高一上·福建厦门·期中）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（    ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【分析】根据已知条件列指数不等式，解之即可得解. 【详解】依题意，设原有溶质的半成品数量为，含杂质， 则经过次过滤，含杂质， 要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过0.01%， 则，即， 又，，所以. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为， ， ， ， ， 结合选项，选择C． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请你写出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是 . 【答案】，，且 【分析】根据指数函数定义即可求解. 【详解】题干的意思是第二天取的长度是上一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为， 剩余量y关于x的函数关系式是,且, 故答案为：,且. 【变式3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）设的声音强度是的声音强度是，根据题意可列出方程组，即可求得a的值，即得答案； （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为，根据可列出方程组，化简，即可求得答案. 【详解】（1）设的声音强度是的声音强度是， 则， 所以，所以， 所以，所以， 所以． （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为， 所以，所以， 所以， 故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的倍． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可． 【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确． 故选：D． 2．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图象平移判断即可. 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图象为的图象向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 3．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A 4．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据题意可得，并结合图象分析判断. 【详解】因为，且函数与的图象如图所示： 所以函数与的图象关于轴对称. 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再结合指数函数、二次函数单调性求出递增区间. 【详解】在函数且中，令，得， 因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 7．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 【答案】C 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得， 故与最接近的是1.26． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；应用基本不等式及指数幂的运算性质判断C、D. 【详解】A，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，即，正确； B，，当且仅当时等号成立， 因为，，所以，正确； C，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，错误； D，，当且仅当时等号成立， 所以，正确． 故选：ABD 10．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 【答案】BD 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析A，由函数的定义域分析B，由复合函数的值域分析C，由复合函数的单调性分析D，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： A．函数，当，即时，，则函数的图象恒过定点，A错误，不符合题意； B．已知函数的定义域为， 对于函数，则有，解可得，即函数的定义域为，B正确，符合题意； C．设，则， 又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增， 则，C错误，不符合题意； D．函数，有，解可得，即函数的定义域为，； 设，则， 在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有， 故函数的单调增区间为，正确，符合题意； 故选：BD． 11．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则 【答案】2 【分析】根据对数方程求得，再由指数幂运算求结果. 【详解】由题设，故. 故答案为：2 13．（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【分析】根据，即可求解，代入即可得纵坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 14．（24-25高一上·湖南·期中） . 【答案】6 【分析】根据对数的运算法则和性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：6. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏连云港·期中）化简求值： (1)求值：. (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质计算可得结果. 【详解】（1） ； （2）因为，两边平方得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 又， 所以. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】（1） . （2） . 17．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据对数函数定义域列式求解即可； （2）根据题意结合偶函数的定义分析判断. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）为偶函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以的为偶函数. 18．（23-24高一上·辽宁·期末）已知且是偶函数. (1)求的值. (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0 (2)或. 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由指数函数的单调性，分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得且. 当时，在上单调递增，，解得 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 19．（22-23高一上·河南南阳·期末）某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计）， 每件的销售价格）（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元. (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1)选②， (2) 【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解； （2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元， 则，解得， 由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减， 函数模型：①；③；④都是单调函数， 所以选择模型②：， 由，可得，解得， 由，解得， 所以日销售量与时间的变化的关系式为； （2）由（1）知， 所以， 即， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值. 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$