九年级上册综合测试卷（一）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 九年级上册综合测试卷（一） （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 2．在中，如果，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 4．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 6．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 7．若函数是关于的二次函数，则 ． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为 ． 9．在中，，，，那么 ． 10．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为 ． 11．如图，已知，且，，，则 ． 12．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 13．定义：关于x的函数与（其中）叫做互为交换函数，如与是互为交换函数，如果函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么 ． 14．如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示） 15．小刚在操场上掷铅球，已知铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，则这次小刚能掷 ．    16．如图所示，已知等边的边长为4，点在边上且，点在边上，，那么的长是 ． 17．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 18．如图，抛物线的对称轴是直线．有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确的结论有 （填序号）． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．计算：． 20．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 21．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 23．如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 24．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 26．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科网（北京）股份有限公司 九年级上册综合测试卷（一） （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 2．在中，如果，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选D． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为，故A错误； ∴顶点坐标为，故B错误； 当时，，故C正确； ∵ ∴二次函数图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：C． 4．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 5．下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 【答案】C 【详解】解：A、如果与都是单位向量，那么，A选项正确，不符合题意； B、如果，那么或，B选项正确，不符合题意； C、如果（为非零向量），那么，故C选项不正确，符合题意； D、∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 6．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 7．若函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得且， 解得：， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 故答案为：． 9．在中，，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线与D， 由网格的特点可知， ∴， ∴，即， 故答案为：． 11．如图，已知，且，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：4． 12．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 13．定义：关于x的函数与（其中）叫做互为交换函数，如与是互为交换函数，如果函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么 ． 【答案】 【详解】解：由题意函数的交换函数为． ∵， ∴顶点为， ， ∴顶点为 函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称， ∴且， 解得：． 故答案为：． 14．如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示） 【答案】 【详解】解：如图，∵是中线，， ∴，    ∵， ∴， 根据三角形的重心性质，， ∴； 故答案为：． 15．小刚在操场上掷铅球，已知铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，则这次小刚能掷 ．    【答案】10 【详解】建立如图所示的直角坐标系，    ∴点A、B的坐标分别为、， ∴设函数的表达式为：， 将代入解析中得，， 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，（舍去）或， ∴该男生将铅球推出的距离为10米， 故答案为：10． 16．如图所示，已知等边的边长为4，点在边上且，点在边上，，那么的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18．如图，抛物线的对称轴是直线．有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】②④/④② 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图像与轴的正半轴相交， ∴， ∴，故结论①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵抛物线的图像与轴的一个交点在与之间，且开口向下， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数有最大值， ∴即（为实数），故结论④正确． ∴正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系、抛物线与轴的交点，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 20．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 21．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 22．（天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； (3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)为24元/千克 (3)当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； （2）解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； （3）解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 23．如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 由（1）可知， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由已知及（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点D作交于点M，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键． 25．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$