精品解析：上海市嘉定区德富路中学（交大集团）2022-2023学年九年级上学期期中考试卷

交中（初中）教育集团 2023学年第一学期期中联合质量检测 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分150分） 一、选择题[本题共6题，每小题4分，共24分] 1. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 2. 已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义即可解答．应该熟记黄金分割的公式：较长线段原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 3. 在中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【详解】如图， 可假设DE∥BC，则可得，， 但若只有，并不能得出线段DE∥BC． 故选D． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 4. 下列关于向量的说法中，错误的是（ ） A. 如果，是非零向量，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 零向量的意思就是不存在向量 D. 已知非零向量，如果向量，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、如果，是非零向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． B、如果是单位向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． C、零向量并不是指不存在向量，而是指长度为零的向量，故原说法错误，该选项符合题意． D、已知非零向量，如果向量，那么，故原说正确，该选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图所示，△ABC中，D在AC上，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AH⊥BC于H，由相似三角形的判定方法可证明△CED∽△CHA，再利用相似三角形的性质求出sinB的值即可． 【详解】解：过点A作AH⊥BC于H， ∵DE⊥BC于E， ∴AH∥DE， ∴△CED∽△CHA， ∴==， ∴AH=3DE， ∵sinB=，AB=4DE， ∴==， ∴sinB的值为， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是作三角形ABC的高线，构造出直角三角形． 6. 已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线 C. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D. 该抛物线一定经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知该抛物线的对称轴是：直线，当时，y随x的增大而增大，再利用待定系数法求得函数解析，从而可得到答案，． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故B错误； ∵由表格可知：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，C错误； ∵将，，，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， ∴该抛物线一定经过点，故D正确． 故选：D． 二、填空题[本题共12题，每小题4分，共48分] 7. 已知＝，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知式子得出，然后代入所求式子即可得解. 【详解】∵=， ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】此题主要考查比例的基本性质，熟练掌握，即可解题. 8. 相似三角形的相似比为，则这两个三角形的周长比为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长比为， 故答案为：． 9. 如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了特殊角三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 10. 计算：_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的运算．直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 小明沿着坡度为的斜坡坡面上走了，则小明沿垂直方向升高了_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，涉及坡度定义，根据题意，作出图形，利用坡度定义，设，，由勾股定理得到，列方程求解从而得到答案，熟记坡度定义，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 坡度的斜坡向上行走了， ，， 在中，设，， 则由勾股定理可得，即， 解得， 他距离地面的垂直高度升高了， 故答案为：． 12. 如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为_______ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．先根据三角形重心性质得到，，再证明，然后利用相似比可计算的长． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴为中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE长是__． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：6. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键． 14. 如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m_______n（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的增减性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 即：当时，随增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、都在这些小正方形的顶点上，那么的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理．解题的关键是表示出所需线段长． 如图，过点B向作垂线交点为C，勾股定理求出，的值，求出，的长，根据求出值即可． 【详解】解：如图，过点B向作垂线交点为C，O到的距离为h ∵，，，，， ，则， ∴ 故答案为：． 16. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可，正确把握相关性质是解题的关键． 【详解】如图所示，过作于点， 由题意可得：，， 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为_______． 【答案】（表示“优美边长”） 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，确定“优美边长”最值点的位置成为解题的关键． 根据题意确定“优美边长”最值点的位置，然后分别画出图形，根据正六边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质求解即可解答． 【详解】解：如图：当等边三角形是正六边形内切圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最小值， 由正六边形的性质可得：， ∴． 如图：当等边三角形是正六边形外接圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最大值， 由正六边形的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴“优美边长”的取值范围为（表示“优美边长”）． 故答案为：（表示“优美边长”）． 18. 如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形判定和性质．作，利用正切函数的定义结合勾股定理求得，，再利用勾股定理求得，证明和，利用相似三角形的性质列式即可求解． 【详解】解：作，垂足为， ∵， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 三、解答题[本大题共7题，满分78分] 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，. （1）当时，求的长； （2）设，，那么__________，__________（用向量，表示） 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF=5， ∵AD：AB=DE：BC=1：3， ∴BC=15， ∴CF=BC-BF=15-5=10． （2）∵AD：AB=1：3， ∴ ， ∵EF=BD，EF∥BD， ∴ ， ∵CF=2DE， ∴ ， ∴ . 【点睛】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，． （1）求AB的长； （2）求点C到直线AB的距离． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1) 过点A作AH⊥BD，垂足为点H．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据,求出AH,利用勾股定理即可求出AB； (2) 过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H． ∵AB=AD， ∴BH=HD=BD=2 ． ∵点D是BC的中点， ∴BD=CD． ∵BD=4， ∴CD=4． ∴HC=HD+ CD=6． ∵，∴，∴． ∵， ∴． （2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G． ∵， ∴． ∴． ∴点C到直线AB的距离为 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键． 22. 好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． （1）求点D距离地面的高度； （2）相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】（1）点距离地面的高度为 （2）点距离地面的高度 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； 【小问2详解】 过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 23. 如图所示，在中，D是上一点，连接，．E是上一点，连接，． （1）求证：； （2）延长交于F，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边对等角，三角形的外角，熟练掌握相似三角形的证明方法是解决问题的关键． （1）由得，则，即可证明结论； （2）由（1）可知，，结合，可证得，再利用三角形的外角的性质证得，，可证得，得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，则， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． （1）用关于a的式子表示b； （2）联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； （3）平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：将，，代入， 可得，即， ∴； 【小问2详解】 过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； 【小问3详解】 设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 25. 如图，平行四边形中，，为射线上一点，，射线交射线于，直线交直线于，连接、，射线交直线于． （1）当在线段上时： ①如图，若为正方形，，为中点，求； ②若，且，求． （2）如图，，，，若是等腰三角形，求． 【答案】（1）①；② （2）的长为或 【解析】 【分析】①根据正方形的性质及勾股定理得，求得，由，可知，再解直角三角形即可求解； ②根据平行四边形性质结合，先证明，再证，则可得，进而证明，由对应边成比例及已知，进而证得；过点作交于，结合等腰三角形三线合一的性质得，再由余弦定义即可求解； （2）分两种情况考虑：当点在线段上时；当点在延长线上时；多次利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：①在正方形中，，，， ∵点为的中点， ∴，则， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴； ②在平行四边形中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 过点作交于， ∴， 在中，． 【小问2详解】 解：在平行四边形中，，，，， 过点作交于，则， ∴，，则， ∴，则， ∵， ∴； 当点在线段上时，如图； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即为锐角，从而为锐角， ∴为钝角， 若是等腰三角形，则，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图，设交于点M； ∵，， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 由前一种情况知为锐角，而， ∴当是等腰三角形时，只能； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 设，则， ∴； 过点B作于N， 由前一情况知，， ∴， 由勾股定理得； 由，得， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题是相似三角形的综合，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性强，多次用到相似三角形的判定与性质，这是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 交中（初中）教育集团 2023学年第一学期期中联合质量检测 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分150分） 一、选择题[本题共6题，每小题4分，共24分] 1. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 在中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是( ) A. B. C. D. 4. 下列关于向量的说法中，错误的是（ ） A. 如果，是非零向量，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 零向量的意思就是不存在向量 D. 已知非零向量，如果向量，那么 5. 如图所示，△ABC中，D在AC上，DE⊥BC于E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线 C. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D. 该抛物线一定经过点 二、填空题[本题共12题，每小题4分，共48分] 7. 已知＝，则的值是_____． 8. 相似三角形的相似比为，则这两个三角形的周长比为_______ 9. 如果，那么锐角的度数是_______ 10. 计算：_______ 11. 小明沿着坡度为的斜坡坡面上走了，则小明沿垂直方向升高了_______． 12. 如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为_______ 13. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__． 14. 如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m_______n（填“”或“”或“”）． 15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、都在这些小正方形的顶点上，那么的值为_______ 16. 如图，将一个装有水杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_____． 17. 正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为_______． 18. 如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则_______． 三、解答题[本大题共7题，满分78分] 19. 计算：． 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，. （1）当时，求的长； （2）设，，那么__________，__________（用向量，表示） 21. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，． （1）求AB的长； （2）求点C到直线AB的距离． 22. 好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． （1）求点D距离地面的高度； （2）相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 23. 如图所示，在中，D上一点，连接，．E是上一点，连接，． （1）求证：； （2）延长交于F，若，求证：． 24. 如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． （1）用关于a式子表示b； （2）联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； （3）平移抛物线使新抛物线顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 25. 如图，平行四边形中，，射线上一点，，射线交射线于，直线交直线于，连接、，射线交直线于． （1）当在线段上时： ①如图，若为正方形，，为中点，求； ②若，且，求． （2）如图，，，，若是等腰三角形，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$