九年级上册综合测试卷（二）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 九年级上册综合测试卷（二） （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．关于x的方程，有两个不等的实数根 C． D．当时， 5．如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 7．小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 8．若是二次函数，则m的值是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 11．如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ． 12．在中，边上的高，则 ． 13．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 14．已知，分别是，相同方向上的单位向量， ． 15．如图，正方形、的顶点、都在抛物线上，点、、均在轴上．若正方形的面积是1，则正方形的边长为 ．    16．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    17．如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 18．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 21．如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 22．如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 23．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 24．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 25．在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科网（北京）股份有限公司 九年级上册综合测试卷（二） （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，    A、由，可得，本选项不符合题意； B、由，可得，本选项不符合题意； C、由，可得，本选项符合题意； D、由，可得，本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 3．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为，由于抛物线过点，则有： ，解得； 因此抛物线的解析式为：． 故选：D． 4．如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B．关于x的方程，有两个不等的实数根 C． D．当时， 【答案】A 【详解】A、∵抛物线的图形与x轴有两个交点， ∴，故该选项不正确，符合题意； B、∵抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故该选项正确，不符合题意； C、∵时， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点为， ∴当时，，故该选项正确，不符合题意；． 故选：A． 5．如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 6．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 7．小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】5 【详解】解：设小明沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得，， 解得∶， 即他沿着垂直方向升高了5米， 故答案为：5． 8．若是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：是二次函数， ，， ，， 故答案为：． 9．（北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷）已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 【答案】 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 11．如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ∴矩形的周长为 ， 故答案为: ． 12．在中，边上的高，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵AD⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 13．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 【答案】（1），（2），（3） 【详解】解：（1）中，，又有一公共角， ∴， （2）中，，且有一公共角， ∴， （3）中， ， ∴， 而为其夹角， ∴； （4）中， ， ∴， 没有夹角相等，所以不能判定和相似． 故答案为：（1），（2），（3）． 14．已知，分别是，相同方向上的单位向量， ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 15．如图，正方形、的顶点、都在抛物线上，点、、均在轴上．若正方形的面积是1，则正方形的边长为 ．    【答案】/ 【详解】解：点是边的中点， 设，且， 在正方形中，，， ， 在抛物线上， ， 解得：， 设正方形的边长为，且， ， ， 结合正方形的性质，可知， 在抛物线上， ， 解得：（负值舍去）， 故答案为：或． 16．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 17．如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 【答案】 9 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：9； （2），， ， 即， 又， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 18．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． (1)在边上画出点D，使； (2)在（1）条件下，△ACD面积是____． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求，如图所示： ，，， ， ，， ，， ． ， ， ， ， （2）解：由图可知：， ， ， ． 21．如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接并延长交于点． ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图， 点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3， 顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为过点， 则 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在图3中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵不同高度的喷水管喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点坐标可设为，， 设此时的抛物线的函数表达式为， 当喷水管最高可伸长到时， 即当时，，， 解得：， 由，得，解得：或（舍）， ∴此时． 即喷泉跨度的最小值为． 23．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中， ， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 24．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1) (2)（4，-3） (3) 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平形四边形． 25．在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$