上海市嘉定区中科院上海实验学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分） 1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3分）下列说法中，正确的是　　 A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是　　 A． B． C． D． 6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是　　 A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）如果，那么　　． 8．（4分）方程的根是 　　． 9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则　　． 10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么　 　． 11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 　　． 12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为　　． 13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 　　． 14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 　　． 15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 　　． 16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 　　． 17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么　　． 18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为　　． 三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分） 19．（10分）计算：． 20．（16分）（1）解方程：． （2）解方程组：． 21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，． （1）试用向量，表示下列向量：　　；　　； （2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分） 22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形． 23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、． （1）求证：； （2）延长、相交于点，当时，求证：． 24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为 　　，那么可以得到等式：　　． 整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么　　，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么　　．（直接写出答案） 25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当△与△相似时，求线段的长． 参考答案 一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分） 1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 解：．不是一次函数，不符合题意； ．不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，符合题意； 故选：． 2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是　　 A． B． C． D． 解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程不是有理方程，则不符合题意； 中方程符合分式方程的定义，则符合题意； 故选：． 3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：由图可得， ， 添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故①符合题意； 添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故②符合题意； 添加，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定△△，故③不符合题意； 添加，即，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定△△，故④符合题意； 故选：． 4．（3分）下列说法中，正确的是　　 A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 解：如果和是相反向量，那么，故选项错误； 如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误； 由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误； 如果，那么，正确，故选项正确； 故选：． 5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是　　 A． B． C． D． 解：当或时，， 即或． 故选：． 6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是　　 A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 解：、如果，，那么四边形是等腰梯形，不一定矩形，符合题意； 、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是矩形；不符合题意； 、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意； 、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）如果，那么　　． 解：， ， 设，， ． 故答案为． 8．（4分）方程的根是 　　． 解：两边都除以3，得， 开立方，得， 故答案为：． 9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则　7.5　． 解：， ，即， 解得， ， 故答案为：7.5． 10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么　　． 解：由于为线段的黄金分割点， 且， 则． ； 故答案为： 11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 　　． 解：设，则原方程化为：， 方程两边乘得：， 即， 故答案为：． 12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为　　． 解：，两条直角边长为6和8， ， 斜边上的中线长为． 为△的重心， ． 故答案为：． 13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 　　． 解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果， 摸到的两个红球的概率是． 故答案为：． 14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 　16　． 解：设菱形的两条对角线交于点，如图所示： 四边形是菱形，边长是10， ，，，， ， ； 故答案为16． 15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 　3　． 解：是的平分线， ， 点、分别为边、的中点， ，， ， ， ， ． 故答案为：3． 16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 　　． 解：如图所示：连接，， 四边形是矩形， ，，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 设，则， 是的垂直平分线， ， 在中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么　135或90　． 解：是四边形的美丽线， △是等腰三角形． ， 如图1，当时， ，， △是正三角形， ． ， ， ， ． 如图2，当时， ． ， 四边形是正方形， ． 故答案为：135或90． 18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为　或　． 解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点 点的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 又折叠图形可得， ，解得或4， 即或4． 在中，设， ①当时，，，， ， 解得，即， ②当时，，，， ， 解得，即． 故答案为：或． 三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分） 19．（10分）计算：． 解：原式 ． 20．（16分）（1）解方程：． （2）解方程组：． 【解答】（1）解：将原方程变形为：， 设， 原方程化为， 解得：，， 当时，，解得， 当时，无解， 故原方程的解是； （2）解：， ， ， 解得：或． 21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，． （1）试用向量，表示下列向量：　　；　　； （2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 解：（1）， ； （2）作图如下： ． 四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分） 22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形． 【解答】证明：（1）四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图： 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、． （1）求证：； （2）延长、相交于点，当时，求证：． 【解答】证明：（1）四边形是菱形， ，，， ， ，， ，， ， ， ； （2）， 是直角三角形斜边的中点， ， 由（1）知：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接， ，， 是等边三角形， ， ， ． 24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为 　　，那么可以得到等式：　　． 整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么　　，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么　　．（直接写出答案） 解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即， 用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变， ， 故答案为：，； （2）答案不唯一，比如： （3）在直角三角形中，，，， 由勾股定理，得， 点为射线上一点，分两种情况： ①点在上时，如图， 设，由翻折可知，，， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得； ②点在的延长线上时，如图， 设，由翻折可知，，， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：或6． 25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长； （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）连接，当△与△相似时，求线段的长． 解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作，垂足为点， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ； （3）， ， ， ， ， ， 当△与△相似时， （ⅰ）若， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，，， ； （ⅱ）若，如所示，设与交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， 综上所述，线段的长为或1时△与△相似． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$