精品解析：吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年八年级上学期期中数学测试卷

2024-2025学年 东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷 第一学期期中考试 时长：120分钟分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的判断，在现学范围内，掌握整数和分数（包括有限小数与无限循环小数）是有理数，其余的数是无理数即可判断． 【详解】解：是有限小数，6和0都是整数，它们都是有理数，故A、B、C都不符合题意； 是开方开不尽的数，是无理数；   故选：D ． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项；根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 1，1， D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断即可； 【详解】，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确计算是解题的关键． 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法，即提公因式法、公式法、十字相乘法等，要注意因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； B、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故该项错误； D、是因式分解，故该项正确； 故选：D ． 5. 勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2，   故选：C ． 6. 如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 7. 如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， ∴四边形是平行四边，故B选项不合题意； 当时，同理可得，故C选项不合题意， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意 当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形是平行四边，故A选项符合题意， 故选：A． 8. 将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选∶ ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若x3=8，则x=___． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根： ∵23=8，∴8的立方根是2． 10. 已知，a、b为两个连续的正整数，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数，解题关键是找出与该二次根式的被开方数左右两边最接近的两个平方数，依此求解即可． 【详解】解：∵即 ∴， ∴ 故答案为：5 ． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算的逆运算和积的乘方运算的逆运算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： ． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13. 为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 14. 如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是________． ①；②平分；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先求出是等边三角形，可以判断③；结合，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④． 【详解】解：∵中对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平行四边形中， ， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴， 由与平行可知， ∴，故②错误； ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵与平行， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确．   故答案为： ①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算和整式的混合运算，涉及了绝对值的定义、积的乘方运算、多项式除以单项式、多项式乘以多项式、二次根式的化简和运算等知识，解题关键是牢记运算法则． （1）先算乘方、化简二次根式和绝对值，再合并即可； （2）先算积的乘方运算，再依次乘以括号里各项即可； （3）先把除法转化为乘法，再与括号里各项相乘即可； （4）利用多项式乘多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）直接利用提公因式法因式分解即可； （2）先提公因式2，再根据完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中a =－1，b = 2． 【答案】；10 【解析】 【分析】先通过乘法公式展开，再合并同类项化简，最后代入求值即可； 【详解】原式， ； 把a =－1，b = 2代入上式得： 原式=； 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确计算是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 【答案】（1） 解：如图所示：； 等腰三角形的面积； （2） 解：如图所示：，，且符合 等腰直角三角形的面积； （3） 解：如图所示： 且与平行， 平行四边形的面积； 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺的网格作图，解题关键是掌握勾股定理、平行四边形的判定以及三角形和平行四边形面积的求法． （1）先确定格点，使其为等腰三角形，再验证面积即可； （2）先确定格点，使其为等腰直角三角形，再验证面积即可； （3）先确定格点，使其为平行四边形，再验证面积即可；． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】 解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】略 20. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 是AD的中点， ， 又， ， ， 又， 四边形ACDF是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形ACDF是平行四边形； 【详解】略 21. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：________； （2）根据（1）中的等式计算：若，求的值； （3）如图②，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积为________． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，据此求解即可； （2）根据（1）的结论可知，据此代值计算即可； （3）设，根据题意可得，，则可根据，求出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，即为， 图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即阴影部分面积为12． 22. 阅读材料，解答下列问题： 【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在贾宪三角中，第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数．类似的，通过计算可以发现：第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广． 【问题解决】 （1）根据上面的规律，可得的展开式中共有________项，其中项的系数为________： （2）请结合图②中的展开式计算下面的式子：________． （3）利用上面的规律计算：． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度． （1）根据规律能得出，，，的值，即可推出的值； （2）根据计算即可得解； （3）根据规律得出原式，求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ∴， ∴的展开式中共有项，其中项的系数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 23. 折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动： （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； （2）【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】（1）5 （2） （3）或10 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 24. 如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的长是________； （2）当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） （3）当是等腰三角形时，求t的值； （4）连接，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】（1）10 （2）当点P在线段上时，；点P在射线上时， （3）t的值为5或6或 （4）t的值为或或． 【解析】 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当，，，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则；当时，则；当时，则，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，D点作于E， ∴， 中，； 【小问2详解】 解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； 【小问3详解】 解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； 【小问4详解】 解：如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， 当时，则， ∴， 综上，t的值为或或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年 东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷 第一学期期中考试 时长：120分钟分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 0 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 1，1， D. 1，，3 4. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 34 6. 如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（ ） A. B. C. 10 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若x3=8，则x=___． 10. 已知，a、b为两个连续的正整数，则的值为________． 11. 若，则________． 12. ______． 13. 为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米． 14. 如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是________． ①；②平分；③；④． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中a =－1，b = 2． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 19. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 20. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 21. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：________； （2）根据（1）中的等式计算：若，求的值； （3）如图②，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积为________． 22. 阅读材料，解答下列问题： 【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在贾宪三角中，第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数．类似的，通过计算可以发现：第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广． 【问题解决】 （1）根据上面的规律，可得的展开式中共有________项，其中项的系数为________： （2）请结合图②中的展开式计算下面的式子：________． （3）利用上面的规律计算：． 23. 折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动： （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； （2）【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 24. 如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的长是________； （2）当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） （3）当是等腰三角形时，求t的值； （4）连接，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $