精品解析：山东烟台市招远市2026-2027学年第一学期期中考试七年级数学试题

2026—2027学年度第一学期期中考试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意， B．不是轴对称图形，不符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 由此可知：选项A符合条件， 故选A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 3. 已知一个直角三角形斜边长为，一条直角边长为，那么它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：直角三角形斜边长为，一条直角边长为， 另一条直角边长为， 面积为． 4. 如图，点B、C、D在同一条直线上，若，，则边的长为（ ） A. 23 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 电梯中一面镜子正对着楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯镜子中如图显示时，电梯运行方向和所在楼层号分别为（ ） A. 上行51 B. 下行，12 C. 上行，15 D. 上行，21 【答案】C 【解析】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，即关于镜面对称成轴对称图形，据此可得答案， 【详解】解：由题意得，电梯运行方向和所在楼层号分别为上行，15． 7. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则线段长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用等边三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 是等边底边上的中线， ，， 连接， 的垂直平分线交于点E，交于点F， ， ， ， ， ， ， ． 8. 已知，求作的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ） 甲 乙 丙 ①利用直尺和三角板画； ②在 上截取； ③作射线．即为所求 ①利用圆规截取，； ②连接， 相交于点 P； ③作射线．即为所求 ①在上取点M，利用圆规截取； ②过点 M，N 作 ； ③作射线，即为所求 A. 只有甲、乙正确 B. 只有甲、丙正确 C. 只有乙、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 【答案】A 【解析】 【分析】逐一验证三种方案能否保证平分．甲利用平行线内错角与等腰三角形性质；乙需先证得到角等，再通过得到，最后用证；丙中只能说明在的中垂线上，不能保证平分． 【详解】解：对于甲的方案： ， ， ， ， ， 平分，甲正确； 对于乙的方案： ，，， （）， ， 又，，，， ， 在和中，（对顶角相等），，， （）， ， 在和中，，，， （）， ， 平分，乙正确； 对于丙的方案： 说明为等腰三角形，说明点在线段的中垂线上， 但线段的中垂线不一定经过的角平分线方向， 无法保证，丙错误． 综上所述，正确的方案是甲和乙． 9. 如图所示，在中，，，为线段上一点（不与点，重合），连接，作，交线段于，有以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①。由结合等量代换即可得到；对于②，由“三线合一”结合三角形内角和定理可得；对于③，先判断，再证明即可；对于④，分三类讨论，利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理分别计算即可． 【详解】解：对于①，∵，， ∴，即①正确； 对于②，∵，点为中点， ∴，， ∴， ∴，即，故②正确； 对于③，由①可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 对于④，当时， ∴， ∵， ∴； 当时， ∴，此时点与点重合，不符合题意； 当时， ∴， ∴； ∴当为等腰三角形时，或，故④错误； 综上，正确的结论为①②③． 10. 勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，…分析上面规律，第6个勾股数组为（ ） A. 11，60，61 B. 13，78，79 C. 13，84，85 D. 15，20，25 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得第n个为，最后一个数比这个数大1，解答即可． 【详解】根据题意，得， 故第n个为， 当时，， 而最后一个数比这个数大1， 故最后一个数为85． 根据，得， 故a为13． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 12. 如图，中，，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】剪去的是长方形左下角的直角三角形，利用长方形的长和宽分别减去、，得到直角三角形的两条直角边，再用勾股定理求斜边． 【详解】解：补上剪去的直角三角形，如图，则，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理： ， 剪去的直角三角形的斜边长为． 14. 在中，是边上的中线，它将周长分成的两部分的差为．若，则边的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】是边上的中线，故，中线分周长得到的两部分的差可化简为与的长度差，结合可求出或，验证三角形三边关系后即可得到的长度． 【详解】解：是边上的中线， ， 将的周长分为和两部分，两部分的差为， ， ， ， ， 或， 设（），根据三角形三边关系： ，，， ， 存在满足条件的三角形，故成立， 设（），根据三角形三边关系： ，，， ， 存在满足条件的三角形，故成立， 综上，边的长为或． 15. 一个几何体从三个方向看到的形状如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，请你求出这个路线的最短路径长的平方__________（结果用π表示）． 【答案】 【解析】 【分析】容易判断该几何体为圆柱，作出其侧面展开图，利用“两点之间，线段最短”与勾股定理求出最短路径即可． 【详解】解：如图，线段即为最短路径， 由题意可知，，， 由勾股定理可得． 16. 如图，的面积为，，的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上一动点，连接，，则周长的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，由三线合一定理得到，则可求出的长；由线段垂直平分线的性质得到，则当A、P、D三点共线时，的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； ∵的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴的周长， ∴当A、P、D三点共线时，的周长有最小值，最小值为． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 【答案】如图： 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l，图②中，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 【详解】解：如图①，过，的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l．如答图②，过，的延长线的交点和，的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l． 18. 如图，已知在和中，，，的延长线交于点O，交于点G，且． （1）线段与相等吗？请说明理由； （2）若，你能求出的度数吗？请写出解答过程． 【答案】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2）能，，过程如下； 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由角的和差关系可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在四边形中，，，E是上的一点．若沿折叠，则点B恰好与点D重合，你能求出的面积吗？请写出计算过程． 【答案】解：能，的面积为，计算过程如下： 设，则， 由折叠可知：， ∵， ∴由勾股定理得：，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 【解析】 【分析】设，则，再利用勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】略 20. 【实践活动】如图，小明要测量池塘A、B两端的距离，他设计了一个测量方案：先在平地上取可以直接到达点A和点B的C、D两点，与相交于点O，且，．又测得的周长为．请求出A、B两端的距离． 【答案】A、B两端的距离为． 【解析】 【分析】根据线段的和差关系可证明，则可求出的长，再证明，根据全等三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 答：A、B两端的距离为． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 【答案】2.2米 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， ． 在△中，，米，， ， ， ， 米， 米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 22. 在“转化策略”的学习中，我们知道通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的，从而使问题获得解决． 【问题】我们已经知道三角形的内角和是，请试着探究四边形的内角和是多少？ （1）在四边形中画出辅助线．描述你所作出的辅助线，以及写出你将四边形转化成哪些三角形？（请给出两种不同类型的辅助线） （2）从(1)问中选择一种辅助线，写出简单的推理过程，计算出四边形的内角和； （3）简单应用：一个四边形四个内角度数之比为，请直接写出这个四边形中最大内角的度数． 【答案】（1）第一种：如图，连接；（连接属于同类型），将四边形转化成，； 第二种：如图，在边上取一点M，连接；将四边形转化成，，； （2）选择第一种： 因为，， 所以 ， 所以，四边形的内角和是． 选择第二种： 因为，，， 所以 又因为， 所以， 所以，四边形的内角和是． （3）°． 【解析】 【分析】（1）根据连接对角线或在边上取点构造三角形进行作图即可； （2）根据构造三角形的作图方法利用三角形内角和定理分别进行证明即可； （3）根据（2）中的结论四边形的内角和是和四边形四个内角度数之比为进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵一个四边形四个内角度数之比为，四边形的内角和是． ∴这个四边形中最大内角的度数为． 23. 【发现】如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个整数为边长的三角形是直角三角形． （1）【验证】如，请判定以12，13和5为边长的三角形是直角三角形． （2）【探究】设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请验证“发现”中的结论正确； （3）【应用】请直接写出两组满足“发现”中的结论的数字． 【答案】（1）因为， 所以以12，13和5为边长的三角形是直角三角形； （2）由发现可得：，所以， 所以， 所以以m，和n为边长的三角形是直角三角形所以“发现”中的结论是正确的． （3）第一组；3，4，5；第二组：9，40，41． 【解析】 【分析】（1）根据题意进行判断即可； （2）根据题意进行验证即可； （3）根据结论写出两组并验证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为，， 所以第一组；3，4，5；第二组：9，40，41．均满足“发现”中的结论． 24. 在中，，点是上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）设，，如图2，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理论． 【答案】（1） （2） ， 理由：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． （1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）在第（1）问的基础上，将转化成三角形的内角和． 【小问1详解】 解：∵， ∴．即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴； 【小问2详解】 略 25. 解答下列问题： （1）问题情境：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同．下面是小明借助课本81页“问题解决”验证勾股定理的过程． “问题解决”：已知，如图1，，，你能利用它验证勾股定理吗？ 解：连接，因为， 所， 所以，所以， 所以，所以． 设，……请帮助小明继续完成勾股定理的验证； （2）小明在完成了课本的“问题解决”之后，他惊喜地感受到“面积法”的神奇．他将两个全等的直角三角形如图3所示摆放，也用“面积法”验证了勾股定理．其中，，，请证明：． 【答案】（1）解：因为， 所以，，， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）证明：如图所示，连接，过点D作，交的延长线于点G， 因为， 所以，，，， 所以， 所以 ， 又因为 ， 所以， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，， 则，根据分别表示出梯形的面积，进而得到等式即可证明结论； （2）连接，过点D作，交的延长线于点G，根据全等三角形的性质得到，，，，，再由，，分别表示出四边形的面积，进而得到等式即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中考试 初二数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形斜边长为，一条直角边长为，那么它的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B、C、D在同一条直线上，若，，则边的长为（ ） A. 23 B. 11 C. 10 D. 9 5. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 6. 电梯中一面镜子正对着楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯镜子中如图显示时，电梯运行方向和所在楼层号分别为（ ） A. 上行51 B. 下行，12 C. 上行，15 D. 上行，21 7. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则线段长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 已知，求作的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ） 甲 乙 丙 ①利用直尺和三角板画； ②在 上截取； ③作射线．即为所求 ①利用圆规截取，； ②连接， 相交于点 P； ③作射线．即为所求 ①在上取点M，利用圆规截取； ②过点 M，N 作 ； ③作射线，即为所求 A. 只有甲、乙正确 B. 只有甲、丙正确 C. 只有乙、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 9. 如图所示，在中，，，为线段上一点（不与点，重合），连接，作，交线段于，有以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 10. 勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，…分析上面规律，第6个勾股数组为（ ） A. 11，60，61 B. 13，78，79 C. 13，84，85 D. 15，20，25 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 等边三角形有______条对称轴． 12. 如图，中，，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数为__________． 13. 如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为__________． 14. 在中，是边上的中线，它将周长分成的两部分的差为．若，则边的长为__________． 15. 一个几何体从三个方向看到的形状如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，请你求出这个路线的最短路径长的平方__________（结果用π表示）． 16. 如图，的面积为，，的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上一动点，连接，，则周长的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 如图，与关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作出直线l． 18. 如图，已知在和中，，，的延长线交于点O，交于点G，且． （1）线段与相等吗？请说明理由； （2）若，你能求出的度数吗？请写出解答过程． 19. 如图，在四边形中，，，E是上的一点．若沿折叠，则点B恰好与点D重合，你能求出的面积吗？请写出计算过程． 20. 【实践活动】如图，小明要测量池塘A、B两端的距离，他设计了一个测量方案：先在平地上取可以直接到达点A和点B的C、D两点，与相交于点O，且，．又测得的周长为．请求出A、B两端的距离． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 22. 在“转化策略”的学习中，我们知道通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的，从而使问题获得解决． 【问题】我们已经知道三角形的内角和是，请试着探究四边形的内角和是多少？ （1）在四边形中画出辅助线．描述你所作出的辅助线，以及写出你将四边形转化成哪些三角形？（请给出两种不同类型的辅助线） （2）从(1)问中选择一种辅助线，写出简单的推理过程，计算出四边形的内角和； （3）简单应用：一个四边形四个内角度数之比为，请直接写出这个四边形中最大内角的度数． 23. 【发现】如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个整数为边长的三角形是直角三角形． （1）【验证】如，请判定以12，13和5为边长的三角形是直角三角形． （2）【探究】设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请验证“发现”中的结论正确； （3）【应用】请直接写出两组满足“发现”中的结论的数字． 24. 在中，，点是上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）设，，如图2，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理论． 25. 解答下列问题： （1）问题情境：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同．下面是小明借助课本81页“问题解决”验证勾股定理的过程． “问题解决”：已知，如图1，，，你能利用它验证勾股定理吗？ 解：连接，因为， 所， 所以，所以， 所以，所以． 设，……请帮助小明继续完成勾股定理的验证； （2）小明在完成了课本的“问题解决”之后，他惊喜地感受到“面积法”的神奇．他将两个全等的直角三角形如图3所示摆放，也用“面积法”验证了勾股定理．其中，，，请证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $