第三章：圆锥曲线与方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线与方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（23-24高二上·宁夏银川·期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·甘肃张掖·月考）已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25高二上·重庆渝中·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东汕头·月考）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 11．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 13．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 14．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·四川遂宁·月考）求适合下列条件的曲线的标准方程 (1)实轴和虚轴长分别为8和10，焦点在轴上的双曲线的标准方程； (2)焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 16．（15分）（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 17．（15分）（24-25高三上·广东茂名·月考）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1)求与的方程； (2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 18．（17分）（23-24高二下·湖南衡阳·月考）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于. (1)求的方程； (2)若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程. 19．（17分）（24-25高二上·重庆·月考）已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线与方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为.故选：C． 2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由椭圆的定义知，所以，故选：C. 3．（23-24高二上·宁夏银川·期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，解得，故选：A. 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】设，则，，. 易知， 所以，. 当时，有最大值，为：. 所以的最大值为：.故选：A 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：，故选：B. 6．（23-24高二上·甘肃张掖·月考）已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】如图所示，易知， 所以， 故, 又由抛物线定义可知， 故直线的倾斜角为.故选：B. 7．（24-25高二上·重庆渝中·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为.故选：B 8．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以.故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广东汕头·月考）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确.故选：ABD. 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【解析】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；故选：AB． 11．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可得，则， 联立可得，解得或， 即，， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，则， 故与不垂直，即不为，故C错误； 对D：，又，故，故D正确.故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 13．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【解析】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， ，即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 故答案为： 14．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】13 【解析】过点作直线与直线垂直，垂足为， 点为抛物线的焦点，则，， 过点作直线与垂直，垂足为， 则， 当且仅当，，三点共线时等号成立，即， 所以， 即的最小值是13． 故答案为：13 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·四川遂宁·月考）求适合下列条件的曲线的标准方程 (1)实轴和虚轴长分别为8和10，焦点在轴上的双曲线的标准方程； (2)焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意设双曲线的标准方程为， 其中，即， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）由题意设抛物线的标准方程为， 又焦点到准线的距离是2，所以，即， 所以满足题意的抛物线的标准方程为. 16．（15分）（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 17．（15分）（24-25高三上·广东茂名·月考）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1)求与的方程； (2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 【答案】(1)的方程为的方程为；(2) 【解析】（1）因为，所以， 记，则. 由椭圆的定义可得，. 由双曲线的定义可得，. 所以的方程为的方程为. （2）由题意得，则直线的方程为. 设. 联立得，所以.所以， 所以. 18．（17分）（23-24高二下·湖南衡阳·月考）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于. (1)求的方程； (2)若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 则到准线的距离之和等于， 因为到直线的距离之和等于，可得， 解得，所以抛物线的方程为. （2）由焦点，可得设且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以， 设，由，可得，即， 所以， 由，可得， 代入，可得，解得， 所以直线的方程为. 19．（17分）（24-25高二上·重庆·月考）已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)①；② 【解析】（1）依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. （2）①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$