精品解析：江苏省徐州三十六中学2023-—2024学年上学期八年级期中数学定心试卷

2023-2024学年江苏省徐州三十六中八年级（上）期中数学定心试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，，，平分，则长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是______，这么做的依据是______．（ ） A. 带①去， B. 带②去， C. 带③去， D. ①②③都带去， 3. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 4. 如图，是的平分线，于E，，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创适了“赵爽弦图”如图．勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 6. 兔子三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 7. 若实数x，y满足．则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 8. 如图，在中，，，于点D，且，的平分线分别交于点E、F两点，于点M，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是________． 10. 如图，已知在和中，，B，E在同一条直线上，若使，添加条件___________． 11. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多，则这个三角形底角的度数为______． 12. 在如图所示正方形网格中，________． 13. 如图：在△ABC中，若∠ABC=90°，∠A=58°，又CD=CB，则∠ABD=____________． 14. 如图中，，，，是边的垂直平分线，则的周长为______． 15. 数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为______． 16. 如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 求下列各式中x的值 ① （x+2）2=4； ② 3+（x﹣1）3=﹣5． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求度数及，的长． 19. 中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短，并算出这个最短长度． 21. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿以每秒的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作交射线于点Q，以为一边向上作正方形，设点P的运动时间为t（秒）． （1）求线段的长．（用含t的代数式表示） （2）求点Q与点C重合时t的值． （3）设正方形与的重叠部分周长为，求l与t之间的函数关系式． （4）作点C关于直线的对称点，连结．当与的边垂直或重合时，直接写出t的值． 23. 已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点． （1）如图1，若 ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，若，当时，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省徐州三十六中八年级（上）期中数学定心试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，，，平分，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质，得到，利用勾股定理计算选择即可． 【详解】∵，，平分， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是______，这么做的依据是______．（ ） A. 带①去， B. 带②去， C. 带③去， D. ①②③都带去， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合实际分析即可． 【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：C． 【点睛】全等三角形判定的实际应用． 3. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 4. 如图，是的平分线，于E，，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据的面积列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F， ∵是的平分线，， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 5. 公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创适了“赵爽弦图”如图．勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（　　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】∵勾a＝3，弦c＝5， ∴股b= ， ∴小正方形的边长＝4−3=1， ∴小正方形的面积=1×1=1 故选：A． 【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 6. 兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，即可求解. 【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点． 故选：C 7. 若实数x，y满足．则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵实数x，y满足|3-x|+=0， ∴x=3，y=6． 当3为腰时，三边为3、3、6， 而3+3=6，则3、3、6不能组成三角形； 当3为底时，三边长分别为3、6、6， ∴等腰三角形周长为3+6+6=15． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键． 8. 如图，在中，，，于点D，且，的平分线分别交于点E、F两点，于点M，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由可判断①，证明可判断②和③，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴M为的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，，故②、③正确； ∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明三角形全等． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是________． 【答案】15：01 【解析】 【分析】根据轴对称性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为15：01； 故答案为：15：01 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 10. 如图，已知在和中，，B，E在同一条直线上，若使，添加条件___________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】由已知两条边对应相等，利用全等三角形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 故答案为：（或，答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 11. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多，则这个三角形底角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】设这个三角形底角的度数为x，则顶角度数为，由三角形内角和为得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形底角的度数为x，则顶角度数为，由三角形内角和为得， ， 解得， 即这个三角形底角的度数为， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 在如图所示的正方形网格中，________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】证明可得，即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 13. 如图：在△ABC中，若∠ABC=90°，∠A=58°，又CD=CB，则∠ABD=____________． 【答案】16° 【解析】 【详解】∵在△ABC中，若∠ABC=90°，∠A=58°， ∴∠C=90°-58°=32°， ∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB=， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=90°-74°=16°. 14. 如图中，，，，是边的垂直平分线，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，先勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得到,，再根据三角形的周长组成即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴,， ∴的周长． 故答案为：16． 15. 数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，勾股定理求得，分类讨论，点在点的两侧，分别求解即可． 【详解】解：如图， 根据勾股定理得：， ， 若点在点的左侧，则点表示的数为：； 若点在点的右侧，则点表示的数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，注意以为圆心，长为半径画弧，交数轴两个点，数形结合是解题的关键． 16. 如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 求下列各式中x的值 ① （x+2）2=4； ② 3+（x﹣1）3=﹣5． 【答案】①x1=0， x2=-4；②x=-1 【解析】 【分析】①根据平方根的定义，即可解答； ②根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解:①（x+2）2=4； x+2= ± x+2=±2 x1=0， x2=-4 ②3+（x﹣1）3=﹣5 (x-1)3= -8 x-1=-2 x=-1. 【点睛】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求的度数及，的长． 【答案】 ；；． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据全等三角形的性质和线段和差关系求解即可. 【详解】解：， ，，． 又，， ． 19. 中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ，， ，， ， ， 在四边形中，、， ． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短，并算出这个最短长度． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴l的交点即为所求点P，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交直线l于P，点P即为所求； 由对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】证明：（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿以每秒的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作交射线于点Q，以为一边向上作正方形，设点P的运动时间为t（秒）． （1）求线段的长．（用含t的代数式表示） （2）求点Q与点C重合时t的值． （3）设正方形与的重叠部分周长为，求l与t之间的函数关系式． （4）作点C关于直线的对称点，连结．当与的边垂直或重合时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， （4）作图见解析，t的值为或或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案； （2）由三角函数定义即可得出答案； （3）分情况讨论，当时，利用三角函数求出，求出，，得出，则，求出，即可得出答案；当时，同理，，，得出，即可得出答案； （4）分四种情况①当与重合时，，②当时，③当落在上时，④当时，分别画出图形，再利用相似三角形判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ∵点P从点A出发，沿以每秒的速度向终点B运动， ，，，则， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，如图1所示： ，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如图2所示： ∵正方形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图3所示： 同理：，，， ， ； 【小问4详解】 解：①当与重合时，，如图4所示： 由（2）得：； ②当时，如图5所示：则， 连接， 点关于直线的对称点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 由（3）得：， ， ∵， ，即， ，， ， ， ，即， ， ， ，即 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）； ③当落在上时，与重合，如图6所示： 点关于直线的对称点， ， 四边形是正方形， ∴， ∴， ，， 由（3）得：， ， ， ④当时，此时，与的边夹角都确定不等于，即与的边都不垂直， 综上所述，当与的边垂直或重合时，的值为或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、对称的性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握三角函数定义、对称的性质是解题的关键． 23. 已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段．连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点． （1）如图1，若 ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，若，当时，求的值 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 分析】（1）①由，，，可得，即得，而，故，可得，根据，可得，从而； ②延长交的延长线于，由，，，得，有，，继而可得，得，即得； （2）连接，过点作于，在上取一点，使得，设，由，，得是等边三角形，而，，可得，，，，根据，有，又，知，，，， 设，可得，，故，解得，则，根据，得，从而． 【小问1详解】 解：①解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ②证明：延长交的延长线于， ∵，，， ∴， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2中，连接，过点作于，在上取一点，使得，设， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$