第3章 3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10第三章空间向量与立体几何收型 §3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1空间向量基本定理 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 重点和难点 课标要求 重点：空间向量基本定理以及空间向 1.了解空间向量基本定理. 量运算的坐标表示， 2.掌握空间向量的坐标表示 难点：空间向量基本定理的理解及其 3.掌握空间向量运算的坐标表示 运用. ]01必备知识梳理， 基础梳理 卫划重点 知识点1空间向量基本定理 (1)空间任意三个不共面 如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一 的向量都可以作为空间的一 个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,x),使得p=xa十 个基底 yb+zc. (2)由于0可视为与任意 由空间向量基本定理知，如果向量a,b,c是空间三个不共面 一个非零向量共线，与任意两 向量，那么所有的空间向量组成的集合就是(pp=xa十yb十c, 个非零向量共面，所以，三个 x,y,∈R},这个集合可以看成是由向量a,b,c生成的，这时 向量不共面，就隐含着它们都 不是0. a,b,c}叫作空间的一个基底，其中a,b,c都叫作基向量： (3)一个基底是指一个向 知识点2空间向量的坐标表示 量组，一个基向量是指基底中 1.空间直角坐标系 的某一个向量，二者是相关联 在空间选定一点O和一个标准正交 的不同概念 基{i,j,k},如图，以点O为原点，分别以 刀刘重点 i,j,k的方向为正方向建立x轴、y轴、≈ (1)在空间直角坐标系 轴三条数轴，建立空间直角坐标系Oxyz,O为坐标原点，向量i, 中，点的坐标记作P(x,y,z) ,k为坐标向量，通过每两个坐标向量的平面叫作坐标平面： 而向量的坐标记作AB=(x 作空间直角坐标系O-xy时，一般使∠xOy=135°，∠yOx= y,),不能省略中间的“=”， 90°，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指 (2)坐标向量i,j,k的坐 向y轴正方向，如果中指能指向心轴正方向，则称此坐标系为右 标分别为i=(1,0,0),j=(0, 手直角坐标系，通常使用的坐标系都是右手直角坐标系 1,0),k=(0,0,1). 141 重随手细高中数学选择性必修第一册？S心 2.标准正交基 (3)在空间直角坐标系 在空间直角坐标系O-xy2中，分别沿x轴、y轴、x轴正方向 中，空间向量的坐标由表示向 作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量 量的有向线段的起点和终点 的一组基{i,广，k},这组基叫作标准正交基. 的坐标确定，而与坐标原点的 3.空间向量的坐标 选取无关 (4)两个空间向量相等， 给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i,j,k为坐标向量， 则它们对应的坐标相等. 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组(a1,a2,a),使 a=ai+azj+ask. 有序实数组(a1,a,a3)叫作a在空间直角坐标系O-xyz中 的坐标，即a=(a,a2,as.设A是空间任意一点，OA=xi十j十 k,则(x,y,z)称为点A的空间直角坐标 知识点3空间向量的坐标运算 国敲黑板 1.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 向量AB的坐标等于终，点 设A(1,M,),B(x,,2),O(0,0,0),则AB=OB- B的坐标减去起点A的坐标， OA=(x2-13h一y22一) 只有当起，点A平移到坐标原 2.空间向量的坐标运算 点时，其终，点的坐标才等于向 量的坐标 向量运算 坐标表示（设a=(a,a2,a1),b=(b,b,b),A∈R) 加法 a十b=(a十b,a2+b,aa十b) 减法 a-b=(a-b,az-b,a3-ba) 数乘 ha=(Aa ,Aaz,Aas) 数量积 a·b=a1b+a2b2+aab 4=b, 共线 a∥b=a=h台a2=ab,(b≠0) as=ab 垂直 a⊥b=a·b=0台a1b+azb十ab=0 向量长度 若a=(a1,a2,a3),则a=、a·a=√a十a十a 两点间的 已知A(,y,1),B(2,,2),则da=AB 距离公式 √x2-x1)+(-y)十(2-1) 向量夹角 若a=(aaa),b=(h,h,h),则cos(a,b)=ah Γab 公式 ab+azb+asbh三(a≠0，b≠0) 、a+a+a、所+b仿+房 142 第三章空间向量与立体几何收型 重难拓展 重难点1空间向量基本定理的应用 1.基底三特点 通记方法园 不共面，不为零，不唯一 判断空间三个向量能否 2.求系数x,y,:的方法 构成空间向量的一组基，实质 (1)回路法：(2)待定系数法 就是判断三个向量是否共面， 其方法是假设三个向量共面， 例且(2024·重庆八中月考)已知{e,e,e}为空间的一个 利用共面向量定理建立方程 基底，且0p-2e-e2+3e,OA=e+2e2-e,Oi=-3e1+e2+ 组.若方程组有解，则三个向 2es,OC=e+e:-es. 量共面：若方程组无解，则三 (1)判断P,A,B,C四点是否共面 个向量不共而.当且仅当空间 (2)能否以{OA,OB,O心作为空间的一个基底？若不能，请 三个向量不共面，方可构成空 说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP 间向量的一组基 解析(1)假设P,A,B,C四点共面，则存在实数x,y,:使得 Op=xOA+yOi+zO0元，且x+y+x=1, Ep 2e-ez+3es=x(e +2ez-es)+y(-3ei +e2 +2es)+ x(e十e2-es), x-3y+=2, x=17, 则2x十y十x=一1，解得y=-5,这与x十y十=1矛盾， -x+2y-2=3, x=-30, 故P,A,B,C四点不共面 (2)若向量OA,OB,OC共面，则存在实数m,n,使得OA mOB+nO心，同(1)可证，这不可能，因此，{OA.O,OC可以作 为空间的一个基底。 令OA=a,OB=b,OC=c, 由e1+2e2-e3=a,-3e十e2十2e=b,e1十e2-ea=c联立得 到方程组， e1=3a-b-5c, 解得e2=a-c, e3=4a-b-7c. 所以Op=17OA-5OB-30O心 重难点2建系设点 8记方法 建立恰当的坐标系是用向量解题的关键步骤之一，所谓“建 常见的建系方法如下： 立恰当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，其 (1)已知三线垂直—将 中的关键是建立之轴. 垂直的三线作为坐标轴.这类 143 国随手细高中教学选择性必修第一册S心 例②如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 问题常见于规则图形，比如正 平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上，PD∥平面MAC, 方体、长方体、墙角体、整照 体、阳马体等。 PA=PD=√6，AB=4.请建立适当的坐标系 (2)已知面面垂直—作 (1)求向量BD,PD的坐标： 两平面交线的垂线作为x轴。 (2)求点M的坐标. 图形中有两个互相垂直的平 面，可以利用面面垂直的性质 定理，在一个平面内作它们交 线的垂线，并以此作为之抽， 建立坐标系。 (3)找不到底面的垂线 图1 图2 凌空建系，即凌空建立之轴 解析(1)取AD的中点O,设AC与BD的交，点为E,连接 (4)已知图形对称—利 OP,OE. 用对称关系建立坐标系，图形 因为PA=PD,所以OP⊥AD 中虽没有明显交于一，点的三 条直线，但有一定的对称关系 文因为平面PAD⊥平面ABCD,且OPC平面PAD. (如正三棱柱、正四棱柱等)， 所以OP⊥平面ABCD. 利用自身的对称性可建立空 因为OEC平面ABCD,所以OP⊥OE 间直角坐标系。 因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD. 如图2，建立空间直角坐标系Oxyz, 则P(0,0,W2),D(2,0,0),B(-2,4.0). 所以BD=(4,一4,0)，PD=(2,0,一√2). (2)如图2，连接ME 因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME, 所以PD∥ME. 因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点，M为PB的中点. 所以M-1.2.受》. 口02关健能动提升- 题型方法 2c=（-2.3,-2）d=(1.-34): 题型1利用坐标法解决平行与垂直问题 求证：a⊥b,c∥d. 1,空间向量平行、垂直关系的判定 2.由平行、垂直关系求值 运丽a=1.2,2),b=(分-21) 例B已知向量a=(1,2,2),b=(2, a…b=1×2+2×(-2)+2×1=0, 144 第三章空间向量与立体几何么国型 ∴.a⊥b. 因为AC=(1,1,1), c=(-23,-2》,d=(1.-, 所以由BM⊥AC,得BM·AC=0. 即x-1十y十x=0.① c=-2(1.-2)=-2a 由题意得AC∥AM. .c∥d. 设AM=uAC(∈R),则x=y=之=h② 3.平行、垂直关系在立体几何证明中的应用 0®得=3 例④在正方体ABCD-ABCD,中，已 知E,G,H分别是CC1,CD,AC的中点. 1 (1)求证：AB1∥GE,AB⊥EH. (2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M 所以点M的坐标为（兮，日》. 的坐标 (3)假设存在满足条件的入 (3)若P,Q分别为线段B1D,BD上的 设P(1,M,1),则B1户=(m-1,,0), 点，且3BP-PD,是否存在x,使BD=入DQ, PD=(-x1,1-y,0) 且P可⊥AE?若存在，求出入的值：若不存在， 由3BP-PD得 3(x1-1)=-x1 请说明理由， 3y=1-M, 解析如图，以A为原点，AB,AD,AA1所 、3 4 在直线分别为x轴、y轴、~轴建立空间直角坐 即 标系。 =4 设正方体的棱长为1， 则A(0,0,0),B(1,0,0), 所以点P的坐标为（浮，。 B C(1,1,0),D(0,1,0), 设Q2,0),则P0=(-子2- A(0,0,1),B(1,0,1) C(1,1,1),D(0,1,1).由 -1）,DQ=(x2为-1,0， 中点坐标公式得E(1,1,2),G(号1,0) 易得A正=(1,1,2)，Bi=(-1,1,0). H22. 由POLA, 1)AB=(1,0,1).G=(20,2),E 得70应--+-}号-0，③ =(-222》 由励=xDd得一1= ④ 1=λ(y2-1), 联立③④，无解，即不存在满足条件的入 因为AB=2G流，AB·Ei=1×(-) 题型2利用坐标法解决夹角与距离问题 +1×2=0,所以AB/GE,AB1Ei。 1.将空间距离或线段长转化为某一向量的 即AB:∥GE,AB⊥EH. 长度（模），由向量的坐标求出距离或线段长 (2)设M(x,y,z), 若a=(a1,a2,ag),则|a=Va十a号+a. AM=(x,y,z),BM=(x-1.y,z). 若OP=(M,),OP2=(x2,,2) 145 国随手细高中数学选择性必修第一册 则PP=dp,n 题型3利用坐标法解决立体几何中的 =v(2一1)2+(y2一yh)2十(2一)2. 探索问题 2.先求出空间角的两边对应的向量（或与 向量有一套良好的运算性质，它可以把几何 两边共线的向量)，再由两向量的数量积的变 图形的性质问题转化为向量的计算问题，实现了 形公式求出夹角. 数与形的结合，在解决立体几何的平行、垂直、夹 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b), 角等探索性问题时，体现出巨大的优越性， 则osa,b)=86 a·b 例6(2024·安徽师大附中月考)如图1， 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面 ab十a2b2+a3b ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB, 1a+ai+a√所+i+b PB的中点 空间角0=(a,b)或π一(a,b). 例固(2024·北京八中检测)如图1，已知 在直三棱柱ABC-A:B,C中，CA=CB=1, ∠BCA=90°，棱AA=2,N是A1A的中点. 图1 图2 (1)求证：EF⊥CD: (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平 面PCB,并证明你的结论， 图1 图2 证明以DA,DC,DP所在直线分别为 (1)求BN1: x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系（如图2）. (2)求cOs(BA1,CB1)的值 设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a, [解析以C为坐标原点，CA,CB,CC所在 a,0),C(0,a,0),Ea,号0F2,号，号) 直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标 P(0,0,a) 系，如图2所示，则B(0,1,0),N(1,0,1), 1):E.D心=（-号0，号)·(0a,0) A(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,2) =0,.EF⊥CD (1)BN=(1,-1,1). (2),点G∈平面PAD,设G(x,0,), 则BN1=√/+(-1)2+1平=3. (2)BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2), 则心-（受一受一受》月 则BA·CB=1×0+(-1)×1+2×2= 要使GF⊥平面PCB,只需F·C第 3,1BA1=√1+(-1)2+2=√6,1CB1 (-受--）a,00)=a-=0, 、0+12+22=5. 所以cOs〈BA,CB)= BA·CB IBACB t.=(x-号-2-号)·(0， -30 V6×510 -a,a)-号+a(e-）=0,=0 146 第三章空间向量与立体几何么国型 ∴点G的坐标为（受0,0小 ◆易错题24（错误率31%）在四棱锥 即G为AD的中点. O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱 易错警示 形，∠ABC=T,OA⊥底面ABCD,OA=2, ◆易错题23（错误率28%）已知向量 M为OA的中点，求异面直线AB与MD所 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),且a,b同 成角的大小 向，求x,y的值. 参考答案见《全书易错题集》第6页 03核心泰养聚焦◆ 考向分类 令y-2=1(-2≤t≤0) 考向1坐标法的应用 当1=0，即y=2时，cos0=0: 例☑（经典·四川卷）如图1，四边形 1 当t≠0时，c0s0= 12 ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平 152+4+9 面互相垂直，动点M在线段PQ上，E,F分别 5 9+4十1 5 为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所 ++ 3+2) 成的角为0，则cos0的最大值为 故当1=一2时，c0s0取得最大位号。 综上可知，60s0的最大值为导， A 答案 2 5 图1 图2 命题意图：考查异面直线所成的角以及空 解析由题意得AQ⊥平面ABCD,且AB⊥ 命题规律 间向量运算的坐标表示的应用 AD,如图2，以点A为原点，AB所在直线为 真题探源：根据教材P113例4改编 x轴，AD所在直线为y轴，AQ所在直线为z轴 选填题、 常考题型 难度系数0.5高考热度★★★ 建立空间直角坐标系.设正方形的边长为2，则 解答题 E1,0,0).F(2,1.0).设M0,y,2)(0≤y≤2). 核心素养 直观想象、数学运算 素养水平水平 则c0s0= EM.AF IEMIAF 真题演练 1.(2018·全国Ⅱ卷，考向1)在长方体 (-1,y,2)·(2,1,0) y+5·5 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=3, y-2 /(y-2)7 则异面直线AD,与DB,所成角的余弦值为 √5(y+5)15(y2+5) ( (y-2) (y-2)+4(y-2)+9’ B.5 n号 147 重滩台手细高中数学选择性必修第一册？> 2.(经典·天津卷节选，考向1)如图，正方 形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形， 平面OBEF⊥平面ABCD,G为AB的中点， AB=BE-2.求证：EG∥平面ADF. ]04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：20分钟 6.[题型1]在棱长为a的正方体OABC- O1ABC:中，E,F分别是AB,BC上的动 1.[题型2]已知a+b=(2,2,2、3),a一b 点，且AE=BF,求证：AF⊥CE. (02,0),则cos(a,b)=( A号 B吉 D 2.[题型1]已知a=(1,2,一y),b=(x,1,2), 且(a+2b)∥(2a-b),则( A.t-3:y-1 B=号y=-4 C=2w- D.x=1,y=-1 3.[题型1](2024·济南历城二中月考)（多选 题)以下各选项中的三个向量，能构成空间 基底的是( ) 综合提能练 测试时间：30分钟 A.a=(1,0,0),b=(0,2,0),c=(2, 7.[题型1](2024·武汉二中月考)已知{e,e2, es}为空间的一个基底，若a=e1十e2十ea, -2,0j b=e+ez-es,c=e-e2+es:d=e+2e2+ B.a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,2) 3e3,且d=aa十3b十沦，则a,3,Y分别为 C.a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(2,1,2) ( D.a=(1,1,1),b=(0,1,0),c=(1,0,2) 4.[题型1](2024·六安一中月考)已知{a,b,c} A-1 多1 是空间的一个标准正交基，{a十b,a一b,c C.1- n1,-号 是空间的另一个基底，若向量m在基底 8.[题型2](2024·湖南醴陵一中期末)在直三 {a,bc}下的坐标为(3,5,9)，则m在基底 棱柱ABCA,B,C中，∠BCA=90°，CA= {a十b,a一b,3c下的坐标为 CC=2BC,则直线BC,与直线AB,所成角 5.[题型2]已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长 的余弦值为( 与底面边长相等，E是SB的中点，则AE, SD所成的角的余弦值为 A.25 5 B15 3 c 148 第三章空间向量与立体几何么国型 9.[题型1](2024·辽宁省实验中学段考)在空 (1)求证：CO⊥平面ABCD: 间直角坐标系Oxy中，经过点P(xo,, (2)若点E,F分别在棱AA,BC上，且AE 。)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为 2EA1,则点F在何处时，EF⊥AD? A(x一x0)十B(y一)十C(一)=0，经过 A 点P(x0,,)且一个方向向量为n=(, E ,w)(w≠0)的直线1的方程为二飞 A y二必=一.阅读上面的材料并解决下面 的问题：现给出平面α的方程为3.x一4y十 一7=0，经过(0,0,0)的直线1的方程为5 岂=气·则直线1与平面。的位置关系为 （). A.相交但不垂直 B.lLa C.l∥a D./Ca 10.[题型1门(2024·西北大学附属中学检测) (多选题)设几何体ABCD-A:B:CD1是棱 培优突破练 测试时间：10分钟 长为a的正方体，AC与B,D相交于点O, 14.[题型1]（复旦大学自主招生）给定三个向 则( ). 量=(1,0,1)，=(1,1,0)，=(1,1， A.A Bi.AC=a2 B.AB.AC=/2a k2十k一1)，其中k是一个实数.若存在非零 向量同时垂直于这三个向量，则k的值为 C.CD.AB=-a2 D.AB.A:O-za (). 11.[题型1](2024·西安铁一中学检测)若 A1±5 B.-1±⑤ A(-1,2,3),B(2,-4,1),C(x,-1,3) 2 2 是以BC为斜边的直角三角形的三个顶点， C.5±1 n2或25 2 则x= 15.[题型2]（北京大学自主招生）在正方体 12.[题型3](2024·泉州五中单元检测)已知 ABCD-A,BCD中，E为棱AA,的中点， O0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1, F是棱A1B1上的点，且AF:FB=13, 2),点Q在直线OP上运动，当QA·QB取 则异面直线EF与BC,所成角的正弦值为 最小值时，点Q的坐标是 ( ）. 13.[题型1、3](2024·天津一中高三检测)如 图，已知平行六面体ABCD-A,B,CD的 A.⑤ 3 BI⑤ 5 底面为正方形，O,O分别为上、下底面的 中心，且A在底面ABCD上的射影为O. c 149所以0OP-4≤32， 棱锥的棱长为2，则A(1,一1,0)，B(1,1,0),D(一1， 故P立，P衣的取值范围为[0,32]， -1,0,50.0w2.(22号)， §3空间向量基本定理及空间向量运算的 坐标表示 31空间向量基本定理 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 真题演练 L.C提示：以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线 2=(-,是，号）i=(-1-12. 分别为x轴y轴、：轴建立空间直角坐标系，如图.由条 件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0/5),B(1,15), c0s(A花S市=4正.S市 AELISDI 3 所以ADd=(-1,0),D弧=(1,1)，则由向量夹角 需蹑品 公式.得cms(A可，D诚》=A远·D呢 六AE.SD所皮的角的余弦值为导 6.以点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 异面直线AD,与DB所成角的余弦值为 E 则A(a,0,a),C(0,a,a).设AE=BF=x(0≤x≤a), 则E(a,x,0),F(a-x,a,0) 所以AF=(-x,a,-a),CE=(ax-a,-a). 第1题图 第2题图 因为A市.CE=(-x,a,一a)·(a,x-a,-a) 2.依题意知，OF⊥平面ABCD,如图，以点O为原点，分 别以AD,BA,O亦的方向为x轴、y轴、：轴的正方向建 -ar十ax-a2+a=0,所以AF⊥CE,即AF⊥CE 立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0),A(一1,1， 7.A提示：由题意知d=aa十3b+Yc=a(e1十e十e)十 0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0), 3e+e-e)+y(e-e2+e)=(a+B+y)e+(a+ 则AD=(2.0,0),AF=(1.-1,2)GE=(0,-1,2). B-y)·e+(a-3+y)ea,又d=e+2e+3ea, 设G正=xAD+4AF,则(0，-1,2)=1(2,0,0)+ a+3+y=l, /2λ十4=0， 所以a十3-y=2,解得B=-1. (1,一1,2)，所以 一4=一1，解得 2 2=2. =1 a-B+y=3, 所以G成=一2+应，即G成，A市，正是共面向量. 8.D提示：设CB=1,因为CA=CC,=2CB, 所以CA=CC:=2,分别以CA,CC,CB所在的直线为 又EG在平面ADF,所以EG∥平面ADF x轴y轴、轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0), 学业质量测评 B0,0,1),B(0,2,1),C(0,2,0),所以BC=(0, 1.C2.B3.D 4.(4,-1,3). 2,-1),AB=(-2,2,1). ，提示：建立如图所示的空间直角坐标系，令正四 所以osBC,A成》=风·A码=4-1一5 BC:AB5X3 5 36 放直线BC,与直线AB所成角的余弦值为. 成-（号a一号号。-号u,-寻. 9.C提示：，平面a的方程为3x一4y十x-7=0,经过 A-(-号，-号，0），由EFLAD. (00,0)的直线1的方程为号=之=号小直线1的 方向向量为n=(3,2,一1)，平面a的法向量为m=(3, 得成，A访=0，即之d+合c-d+号加+0 一4,1).m·n=9-8-1=0,点(0,0,0)不在平面a 0即(a-号）女=0A-分=0∴A=3 内，则直线1与平面a的位置关系是l∥a 10.AC提示：如图，建立空间直角 ∴BF=号BC,即点F在BC靠近点B的三等分点处 坐标系，则A(a,0,0),B(a,a,0),A 时，EF⊥AD C(0,a,0),D(0,0.0), 14.B提示：设非零向量u=(x,y,)与三个向量都垂 A(a.0a,B(a,aa.0(号， 4·=0, x十=0，D 号，受A成=(0，a,0),Ad=(-a,,0). 直，则4·=0，即x十y=0,@ w·=0,x十y十(k+k-1)x=0,③ Ai=(0,a.0),AC=(-aa.-a).Cd=(0,-a,0) 由①②得x=一，y=,代人③得一x十：十(k+k a成=0aa).A0-(-号受-号) 1)=0,即(k2十k一1)=0，要使方程有解，则必有 A,AC=2,A对AB.AC=2,B错 +-1=0,解得k=1生5 2 C市.A=-a2,C对.A市.A0=号a2,D错 15.B提示：建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体 11.-11 ABCD-A:BCD的棱长为4，则E(4,0,2),F(4,1, 2(侍亭) 4),B(4,4,0),C(0.4,4),所以EF=(0,1,2),BC= 13.(1)连接AC.BD,OA,由 (-4,0,4),所以os(E求，BC)=萨.C A在底面ABCD上的射 IEFIIBCI 影为O,知AO⊥平面 8 四，设异面直线EF与C,所成的角为 ABCD.以O为坐标原点， 5×42 OA,OB,OA,所在的直线分别为x轴、y轴、*轴建立 0,则sin0=y西 5 空间直角坐标系，如图所示，设底面正方形的边长为 u01=.则00.00.A(号00）A00.A c-号0.0B(o.号o）.0(-号0n D(0,-号a,0）0d=(0,0,h.Cd.Oi=0. §4向量在立体儿何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量 Cd.Oi=0,∴.C0⊥OA.C0⊥OB,又OA∩OB= 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 O,∴.CO⊥平面ABCD 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 (2)由1及AE=2EA,得E(号a.0,号 真题演练 1.(1)在正四棱柱ABCD-A,BCD,中，以C为坐标原 设萨-B成.则Fr(-号a,号。-号a0）, 点，CD,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴，x轴，建立 37