第3章 1 空间直角坐标系～2 空间向量与向量运算-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10第三章空间向量与立体几何 =号oi(0d-1oi) =0, §1空间直角坐标系 ∴cos(OA.BC=0. §2空间向量与向量运算 6.C提示：P元=pi+AB+BC,P芯=P+ 真题演练 AB+BC+2PA AB+2 PA BC+2AB.BC= L.由题意可知C求=CD+D正+E萨，故C亦.Di=i. 36+36+36+2×36×c0s60°=144，.PC-12. DA+Di.DA+E亦.DA 7.C提示：因为非零向量e,e不共线，A市=e十e, 又E亦CD.CDIDA. AC-2e,+8e2,AD=3e1-3e,所以5AB-AD= 故E⊥DA,CD.DA=0,E萨.DA=0. 5e+5e-3e+3e=2e+8e=AC,所以AB 又Pi1Di,所以D求.DA=0, 故(Ci+D+E)·DA=0,即C市.Di=0, 号A心+号Ai.由共面向量定理可知，A,B,C.D四 所以CF⊥DA 点共面。 又CF⊥AF,AFODA=A.所以CF⊥平面ADF. 8.B提示：因为AC=(AB+BC+C)=(AB+AD 2.如图，过点P,Q分别作PS⊥BD于 +AA)=AB+AD+AA:+2AB.AD+2AB. 点S,QT⊥CD于点T,连接ST, AA+2AD.AA=1+1+4+2×1×2×c0s60°+2× 则=号M亦.Qi=1A拉 1×2×c0s60°=10， 所以AC=/0. 因为M市=号Ad.所以P-Q立， 9.A提示：由已知可得S=S3=SC=3,∠ASB 所以四边形PQTS是平行四边形，则P衣-s立 =∠BSC=∠CSA=60°， 又PQ寸平面BCD,STC平面BCD, 所以PQ∥平面BCD. 所以5i.5成=成.文-50.5i=3×2=号 学业质量测评 因为x十y十x=2,所以xy十y十x=xy十(y十x)= 1.A2.C xy+(2-y-x)(y+x)=xy+2(x+y)-(x+y)2≤ 3A提示：若P,A,B,C四点共面，则满足x+y十z=1, P+2x+w-(x+0r=-是(r+r+2x+ 但x=2y=一3，之=2不一定成立，即必要性不成立： 若x=2.y=-3,=2,则满足x十y十=2-3+2=1， w=-(+y-)+青< 则P,A,B,C四点共面，即充分性成立.故x=2,y一 当且仅当x=y=子时，等号同时城立。 一3，z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件 因为s驴=xS+yS+.SC 4.A提示：如图，DA与PB,PD与AB, 所以S驴=(x5+yS第+：SC)=x2SA+yS8 PA与CD两两垂直，则选项B,C,D中 +S+2ysi.+2rS.S式+2rS式.Si 两向量的夹角均为90°，.数量积都 9(.x2+y2+2+y+yg+x)=9(x+y+)2-9(xy+ 为0. 5.D提示：Oi.B武 yx+x)≥9×2-9×号=24. =Oi.(元-O 所以S驴≥26. =0i.0心-0i.O 10.C提示：因为A店，AC,AD两两垂直，所以（应+C· =0A1OCIcoS<OA.00>-10AIOBICoS(OA.OB) AD-0,所以(AB+AC+AD)=(AB+AC)+ 34 A市+2(AB+AC·AD=(AB+AC)+A市. M=-号A成-日(Ai+A市-A)=-号Ai +C-AD)=(B+A花)+A市-2店+ AC)·AD=(AB+AC)+A市，故IAB+AC+ 动+名x=-号y=-吉8-名 AD1=AB+AC-AD1,因此A正确.易得B正确， 14.(1)设Ci=a,i=b.C=c (AB+AC+AD)·B武=(AB+AC+AD)·(AC 由题意得a=b1,BD=C市-C克=a-b AB)-=AB.AC-ABI+ACI-AC.AB+AD. CD,C克，CC两两夹角的大小相等，设为9， A心-AD.AB=AC-Ai,当1AC=A时， 于是.Bi-c·(a-b)=c·a-c·b=|ellalcos0 AC一AB1=0,否则不成立，因此C不正确。 -lcl|b1cos0=0.∴.CC⊥BD AB.CD=AB.(AD-AC)=AB.AD-AB.AC= (2)要使AC⊥平面CBD,只需AC⊥BD,AC⊥DC. 0,同理可得C.励=0，心.元=0，因此D正确。 cA.C=(Ci+AA)·(C市-CC 1L.AB提示：由AM⊥AD.AM⊥AB.AD⊥ =(a十b十c)·(a一c) AB,得(AA+AD+AB)=3AB,∴A正 =a-a·c+a·b-b·c+c·a-c 确.AB-AA=AB,由于AB⊥AC,∴B正确， =la2-lel2+lal lblcos0-bllelcos0 异面直线AB与AD,所成的角为60°，但向量夹角为 =(|a-|c)(a+|c+blcos)=0, 120,C错误.：Ai·AA·AD1=0,∴D错误 可得当c=a时.AC⊥DC. 12.ABC提示：设正方体的棱长为1，且CM=ACA 而由(1)知CC⊥BD,又显然BD⊥AC, (0≤A≤1)，则A·BD=(AA+A)·Bd ∴.BD⊥平面ACCA:,.AC⊥BD AA.Bd+(1-)·AC.BD=0,A正确. 综上可得， =1时，AC⊥平面CBD. Ci·AB=(CC+CM)·Ai=CC·AB 15.[0,32]. 提示：如图，设正四面 taCA.AB=-A. 体的棱长为a,记点H为底面 ∴os(i,AB= CM.AB △ABC的中心，连接DH.OA, ICMIABI+2 AH,易知点O在DH上，则AH ,异面直线CM,AB所成角的余弦值为 /1+2x =2(0长1≤1)有解，∴B正确 因为OH=2, :CM.Bi=(CC+C)·BD=C·Bd+ HD-\a2-- 3, aCA.BD=0,.C正确。 所以OA=OHP+AP=(HD-OH) BB∥CC,∴.CM与B1B所成的角等于CM与 即+（停a)=(5。-2),解得a=46。 CC所成的角，易得该角小于受，D不正确. 13.如图，取PC的中点E,连接VE, 所以DH-高。-& 则MN=Ei-Ei 因为PM=O-O市，P-O六-O 成=号=号i=-号恋。 所以P成.P成=(OM-O)·(O六-O币)=O应. ON-OP.(OM+ON)+OP. 成-P成-庄=号心-号P心-P元，连接AC,则 而aM.ON--4,O+OM-0,则PM.p-O求-4 心-AC-AD=AB+AD-A. 由题意可知2≤1O1≤OD=8-2=6, 35 所以0OP-4≤32， 棱锥的棱长为2，则A(1,一1,0)，B(1,1,0),D(一1， 故P立，P衣的取值范围为[0,32]， -1,0,50.0w2.(22号)， §3空间向量基本定理及空间向量运算的 坐标表示 31空间向量基本定理 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 真题演练 L.C提示：以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线 2=(-,是，号）i=(-1-12. 分别为x轴y轴、：轴建立空间直角坐标系，如图.由条 件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0/5),B(1,15), c0s(A花S市=4正.S市 AELISDI 3 所以ADd=(-1,0),D弧=(1,1)，则由向量夹角 需蹑品 公式.得cms(A可，D诚》=A远·D呢 六AE.SD所皮的角的余弦值为导 6.以点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 异面直线AD,与DB所成角的余弦值为 E 则A(a,0,a),C(0,a,a).设AE=BF=x(0≤x≤a), 则E(a,x,0),F(a-x,a,0) 所以AF=(-x,a,-a),CE=(ax-a,-a). 第1题图 第2题图 因为A市.CE=(-x,a,一a)·(a,x-a,-a) 2.依题意知，OF⊥平面ABCD,如图，以点O为原点，分 别以AD,BA,O亦的方向为x轴、y轴、：轴的正方向建 -ar十ax-a2+a=0,所以AF⊥CE,即AF⊥CE 立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0),A(一1,1， 7.A提示：由题意知d=aa十3b+Yc=a(e1十e十e)十 0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0), 3e+e-e)+y(e-e2+e)=(a+B+y)e+(a+ 则AD=(2.0,0),AF=(1.-1,2)GE=(0,-1,2). B-y)·e+(a-3+y)ea,又d=e+2e+3ea, 设G正=xAD+4AF,则(0，-1,2)=1(2,0,0)+ a+3+y=l, /2λ十4=0， 所以a十3-y=2,解得B=-1. (1,一1,2)，所以 一4=一1，解得 2 2=2. =1 a-B+y=3, 所以G成=一2+应，即G成，A市，正是共面向量. 8.D提示：设CB=1,因为CA=CC,=2CB, 所以CA=CC:=2,分别以CA,CC,CB所在的直线为 又EG在平面ADF,所以EG∥平面ADF x轴y轴、轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0), 学业质量测评 B0,0,1),B(0,2,1),C(0,2,0),所以BC=(0, 1.C2.B3.D 4.(4,-1,3). 2,-1),AB=(-2,2,1). ，提示：建立如图所示的空间直角坐标系，令正四 所以osBC,A成》=风·A码=4-1一5 BC:AB5X3 5 363 第三章 空间向量与立体几何 §1空间直角坐标系 §2空间向量与向量运算 重点和难点 课标要求 重，点：空间直角坐标系（右手系）的建 1.了解空问直角坐标系的建立. 立，空间向量的加减、数乘及数量积的 2.理解空间两点间的距离. 运算 3.了解空间向量的概念 难点：空间向量运算的几何意义及其 4.理解空间向量的加减、数乘、数量积运算. 应用 01必备知识梳理一。 基础梳理 国敲黑板 知识点1空间直角坐标系和空间向量的概念 建立空间直角坐标系的 1.空间直角坐标系的建立 基本原则是使尽可能多的点 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么之轴就垂直于水 在坐标轴上，特别地，对于长 平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与 方体，一般取相邻的三条棱所 在的直线分别为x轴、y轴、 大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方 之轴建立空间直角坐标系. 向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为之轴正方向. 我们也称这样的坐标系为右手系。 卫划重点司 2,两点间的距离 (1)零向量的方向是任意 的，有向线段的起，点A和终点 已知空间中P(1,1,1),Q(x2,2,2)两点，则P,Q两点间 B重合时，AB=0, 的距离|PQ|=√(x2一x)+(一y)+(2-1)严 (2)在空间中，同向且等 3.空间向量的定义及表示 长的有向线段表示同一向量 或相等向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.如力、速 定义 (3)空间任意两个向量都 度、位移等 可以平移到同一个平面内，成 长度或模 向量的大小叫作向量的长度或模 为同一个平面内的两个向量. 几何 与平面向量一样，空间向量可以用有向线段表示，有向线 (4)两个向量只有相等和 表示方法 不相等的关系，不能比较大 表示 段的长度表示空间向量的模 小，但它们的模可以比较大小 130 第三章 空间向最与立体几何型 续表 (5)单位向量不一定相 等，但单位向量的模一定相等 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a,b,其模分别 且为1. 记为a,b 符号 表示方法 表示 空间向量也可以用表示它的有向线段的起 B 点、终点的字母表示.如图，向量a也可记作 Ai,其模记为a或A店 4.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：一a:AB的相反向量：BA 相等向量 相同 相等 a=b 知识点2空间向量的加减运算与数乘运算 冒敲黑板 1.空间向量的加减运算 (1)实数入与空间向量a 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 的来积应记作a,但不能写为 AXa,A·a等. 角形法则 (2)空间向量数乘运算的 图形叙述 结果仍是一个向量，且与原向 量平行.空间向量数乘运算既 加法运算 可以实现向量a的模的改变， 也可以实现向量a的方向的 平 语言叙述 共起点为邻边作平行四边形，共点对角线为和 改变。 (3)实数与向量可以进行 形法则 图形叙述 乘积运算，但不能进行加减运 算，如A十a,A一a均无意义. (4)由于空间中任意两个 向量a,b都是共面向量，所以 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 空间向量的数乘运算律与平 减法运算 缌 面向量的数乘运算律相同 图形叙述 (5)0a=0,A0=0(a∈R). 0 加法 交换律 a+b=b+a 运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 131 更滩食手细高中数学选择性必修第一册心 2.空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数入与空间向量a的乘积λa仍然是一个 定义 向量，称为向量的数乘 A>0 a与向量a的方向相同 几何 a的长度是a的长度 <0 a与向量a的方向相反 意义 的x倍 A=0 0=0,其方向是任意的 分配律 (a+b)=Aa+ab 运算律 结合律 (ua)-()a(r为实数) 知识点3空间向量的数量积 国敲黑板 L,空间向量的夹角 (1)当(a,b》=0时，a与b 同向：当(a,b》=r时，a与b 如图，已知两个非零向量a,b,在空间中任取一 反向：当(a,b)=受时，a⊥b 定义 点O,作OA=a,Oi=b,则∠AOB叫作向量a,b (2)防止混淆下图中的两 的夹角 个向量的夹角：图1中∠AOB =(Oi.OB),图2中∠AOB 记法 (a.b) =π-(OA,O店)，就是说 范围 0≤(a,b)≤元.当a,b》= 受时，a1b (-OA,OB》=0A,-OB) -(OA.OB). 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则allbcos(a,b)叫作向量a,b的数 定义 量积，记作a·b,即a·b=|a1bcos(a,b).零向量与任意向 图1 图2 (3)向量夹角的范围与直 量的数量积为0，即0·a=0 线夹角的范围有区别：两向量 向量a,b的数量积等于a的长度a与b在a的方向上的投影 夹角的范围满足0≤(a,b》 几何 1bcos(a,b)的乘积，或等于b的长度|b与a在b的方向上的 开，两直线夹角的范围为 意义 投影acos(a,b)的乘积 [0,受]两异面直线所成的角 (a)·b=1(a·b),a∈R 与两向量的夹角相等或互补. 运算律 a·b=b·a(交换律) (4)当a·b=0时，a与b 可能都不为0，如a⊥b时， a·(b十c)=a·b十a·c(分配律) a·b=0. (⑤)向量数量积的运算不 重难拓展 满足消去律和乘法的结合律， 重难点1回路法求模与夹角 即a·b=a·c→b=c,(a·b)· 1.空间两个向量a,b的数量积，记作a·b,即a·b=ab1· c=a·(b·c)都不成立 cos〈a,b〉. 2osa,b=8治特殊地，若aL6,则a·b0 3.回路法求模，比如AD=AB+BC+CD,则有|AD2 (AB+BC+CD)*. 132 第三章空间向量与立体几何么型 例1(2024·中山一中检测)如图，在平 行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5,AD 3,AA'=7,∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA 品记方法远 =45°. B (1)求空间中两，点间的距 (1)求AB.AD: 离或线段长度可转化为求相 (2)求AC的长. 应向量的模 (2)求空间中两条直线的 丽折(1A店.Ad=5X3Xc0s60°-号 夹角可转化为求两条直线对 ()AC=(AB+AD+AA)=AB+AD+AA 应向量的夹角，但要注意空间 两条直线的夹角与对应向量 +2(AB.AD+AB.AA7+AD.AA7)=52+3+72+2×(5× 的夹角的范围。 3号+5x7×号+3X7× )=98+56、2, (3)和垂直相关的问题可 转化为向量的数量积为0的 所以AC1=√98+56v2. 情况 重难点2共线向量与共面向量 冒敲黑板 共线（平行）向量 共面向量 (1)0与任一向量a都是 表示空间向量的有向线段 共线向量， 位置 所在的直线的位置关系：互 (2)向量的平行（共线）不 定 关系 相平行或重合 平行于同一个 具备传递性，即若a∥b,a∥c, 平面的向量 不一定有b∥c.但当a为非零 特征 方向相同或相反 向量时，平行（共线）的传递性 特例 零向量与任意向量共线 成立，即若a≠0，a∥b,a∥c, 共面向量定理：向量p与两个 则b∥c. 充 共线向量定理：对空间任意两个向 不共线向量a,b共面的充要 量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是 件 条件是存在唯一的有序实数 存在唯一的实数入，使a=边 对(x,y),使p=xa十yb 例☑已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a十6b,CD= 7a一2b,则一定共线的三点是( A.A,B,D B.A,B,C C.B.C.D D.A,C.D 解折BD=BC+CD=-5a十6b+7a-2b=2a十4b,BA= -AB=-a-2b, .BD=-2BA,BD与BA共线 又，它们经过同一点B,A,B,D三点共线 答案A 133 更滩食手细高中数学选择性必修第一册S心 例3(2024·绍兴诸暨中学月考)如图，在正方体ABCD ABCD1中，E,F分别是BC,CD的中点，求证：E,F,B,D 四点共面。 B 证明设DA=a,DC=b,则DB=DC+C第=b+a,F它 FC+C店-b+2a=D成. 所以DB∥F. 而E,F,B,D四点不共线 因此DB∥FE,故E,F,B,D四点共面. 重难点3共线向量定理和共面向量定理的推论 冒敲黑板 1.共线向量定理的推论一三点共线问题 (1)单位向量有无数个， 如图，1为经过已知点A且平行于已知非零向 它们的方向不确定，因此，它 量a的直线，对空间任意一点O,点P在直线1上的 们不一定相等，零向量的方向 充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta,① 是任意的，但所有的零向量都 相等. 其中向量a叫作直线1的方向向量. (2)和平面向量一样，在 若在l上取AB=a,则①式可化为OP=OA+1AB 空间中，若两个空间向量相 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间 等，则它们的方向相同且模相 任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 等，但起点、终点未必相同 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用 (3)空间中的任意两个向 平面向量判断平面内三点共线是一样的. 量总是共面的，但任意三个向 事实上，O币=OA+tAB=(1-t)OA+tOB,显然(1-t)+ 量可能共面，也可能不共面。 t=1. 故“存在x,y,使得O币=xOA+yO(x十y=1)”是“P,A,B 三点共线”的充要条件。 特别地，若P,A,B三点共线，则O币=Oi十A店，若1= 则O币=2(OA+O8).说明P是AB的中点. 2.共面向量定理的推论一四点共面问题 如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序 134 第三章空间向量与立体几何么型 实数对(z,),使AP=xAB十yAC(p=xa十yb)或对空间任意 -点O,有OP=OA+xAB土yAC ③ ③式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任 意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定， 国记方法 事实上，OP-OA+.xAB+yAC=(1-x-y)OA+xOB+ 判断向量共线的方法 yO元，显然，(1-x一y)十x+y=1 利用“a=h→a∥b”,结 故“存在x',y',2',使得Op=xOA+yO+心(.x'+y+ 合图形，由空间向量的线性运 x'=1)”是“P,A,B,C四点共面”的充要条件 算，建立向量a与b的线性关 系(a=b),即得a与b共线. 例④对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若有关系式 证明三点共线的方法 O沪-OA+2AB+2AC,求证：点P与点A,B,C共面. 对空间任意三点P,A,B, E明方法-由已知得OP-OA=2AB+2AC,即A 可由下列结论得出三点共线： 2AB+2AC. (1)PA∥PB(证明三，点 因为A,B,C三点不共线，所以AB,AC不共线. 共线，可利用向量共线，即先 由向量共面的充要条件知点P与点A,B,C共面 证PA=入PB,再利用有公共 方法二由已知得OP=OA+2(O-OA)+2(OC-OA). 点P证得)： (2)对于空间任意一点 即OP=-3OA+2OB+20C O,存在入∈R,使得OP=(1 由于A,B,C三点不共线，且一3十2十2=1，故点P与点A, A)OA+AOB. B,C共面 -02关健能动提升。 题型方法 2.共面的证明 题型1利用向量证明立体几何问题 对空间任意四点P,M,A,B,可通过证明 1.共线的证明 下列结论来证明四点共面： 对空间任意三点P,A,B,可通过证明下列 (1)MP=xMA+yMB. 结论来证明三点共线： (2)对空间任意一点O,OP=OM+ (1)PA=λPB. xMA+y MB. (2)对空间任意一点O,O币-OA+1AB】 (3)对空间任意一点O,OP=xOM+ (3)对空间任意一点O,O币=xOA+yO yOA+OB(x+y+x=1). (x+y=1). (4)PM∥AB(或PA∥M店或PB∥AM. 135 更随食手细高中教学选择性必修第一册心 例5(2024·新疆建设兵团二中单元测 例6(2024·南昌莲塘一中测试)如图1， 试)如图1，已知P是平行四边形ABCD所在 在正方体ABCD-A,BCD中，点M,N分别是 平面外一点，连接PA,PB,PC,PD,点E,F, AD,BD的中点.求证：MV∥平面ABBA. G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA 的重心.求证：E,F,G,H四点共面 H 图1 图2 证明如图2，连接AB1,设AA=a,AB 图1 图2 b.A-c,所以Ai-2Ai-2(i-A 证明如图2，分别连接PE,PF,PG,PH 并延长交对边于点M,N,Q,R =2(c-a), ,E,F,G,H分别是所在三角形的重心， M,N,Q,R为所在边的中点. 同理，AN=号(b十c). .顺次连接M,N,Q,R所得的四边形为 所以M=AN-AM=2(b+) 平行四边形，且有P陀=Pi,P币=号p爪， 2c-a)=2a+2 P心-P,pi-P呢 因为AB=AA+AB=a十b. ,四边形MNQR为平行四边形， 所以M=2AB,即MN∥AB. 成-P心-Pi-r-号pM=号Md 因为ABC平面ABBA,MN庄平面 -号M+M旅)=号(PN-Pi+号(P成 ABB,A1,所以MN∥平面ABB1A. 4.垂直关系的证明 Pm=号（是P㎡-P+号（是Pi 证明两条直线垂直可以转化为证明这两 多=E成+E成 条直线的方向向量垂直，首先将两条直线的方 向向量表示为几个已知向量a,b,c的线性形 .E,F,G,H四点共面 式，然后利用向量的数量积等于0说明两条直 3.平行关系的证明 线的方向向量垂直. 立体几何中的线线平行可转化为两个向 例7(2024·长沙明 量的平行，即证明两个向量具有数乘关系.证 德中学测试)如图，在正A 明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平 方体ABCD-A BC D中， 行，然后根据空间向量的共线定理证明.特别 E,F,G分别是棱CC1, 地，线面平行可转化为该直线所在的向量可用 BC,CD的中点，求证： 平面内两个不共线的向量表示。 AG⊥平面DEF 136 第三章空间向量与立体几何么型 证明设正方体的棱长为a. CN=CE·cos∠ACM=2×cos30°=√3， :AG·D求=(AA+AD+D心)· ∴.MN=CM-CN=√3. (DC+C)=AA·D心+AD.DC+DG· 又.'AM=AC·sin30°=2，BN=BC DC+AA.C+AD.C京+DG.C京-DG. sin30°=1，且(NB,NE)=120°， D心+i.C=a2-2a2=0. ∴.NB,AM①=60 .AMMN,..AM.MN=0. .AG⊥DF,同理可证AG⊥DE 同理，MN.N=0. 又，DF∩DE=D, .AB-AM+MN+NB ∴.AG⊥平面DEF .A=AM+M+N官+2AM· 题型2利用空间向量求长度与距离 MN+2AM.NB+2 MN NB=4+3+1+ 求空间两点间的距离或某条线段的长度 21AMNB1cos60°=10. 可以利用空间向量将其转化为求向量的模的 .AB=/10, 问题，基本思路如下： 即折后线段AB的长度为、10. (1)选择以两点为端点的向量，将此向量 题型3利用空间向量求异面直线所成 表示为几个已知向量的和或差的形式， (2)求出几个已知向量的模和两两之间的 的角 夹角 利用空间向量的数量积，即利用公式 a·b (3)利用公式a=√a·a求出模，即求出 cosa,b》=a6可以求异面直线所成的角， 空间两点间的距离。 但应注意以下几点：(1)选择较小、易求其数量 例8(2024·河北正定中学测试)如图1， 积和模且关联较多的向量来表示异面直线的 在△ABC中，∠ACB=60°，CD为∠ACB的平 方向向量：(2)注意区别异面直线所成角的范 分线，AC=4,BC=2,过点B作BN⊥CD于点 围与空间两个向量夹角的范围.一般地，异面 N,延长后交CA于点E,把图形沿CD折起， 使∠BNE=120°（如图2），求折后所得线段AB 直线所成的角的范围为(0，牙，而向量夹角的 的长度 范围为[0，π. 例9(2024·广西师 B 大附属外校检测)如图，已A 知在平行六面体ABCD A1B1C1D,中，底面ABCD 是边长为a的正方形，侧棱AA:的长为b,且 图1 图2 ∠A1AB=∠AAD=120°.求直线BD1与AC 解析如图2，过，点A作AM⊥CD交CD 所成角的余弦值. 的延长线于点M, 解析设AB=a,BC=b.AA=c. 则CM=AC·cos∠ACM=4Xcos30° .AC-AB+BC. 23, BD=BA+AA+A Di, 137 更滩食手细高中数学选择性必修第一册S心 .'.AC=a+b,BDj=-a+b+c. 易错警示 ∴.AC.BD=(a+b)·(-a+b+c) ◆易错题21（错误率31%）（多选题）下 =-a2+b十a·c+b·c. 列命题是真命题的是( ）. AC=√/AC=√+2a·b+b,BD1= A.若A,B,C,D在一条直线上，则A 1BD2=√a+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c. 与CD是共线向量 又.la=|bl=a,c|=b,a·b=0,a· B.若A,B,C,D不在一条直线上，则AB e-b.c--gab. 与CD不是共线向量 C.向量AB与CD是共线向量，则A,B, :.AC.BDj=-a+a2-ab=-ab, C,D四点必在一条直线上 AC=√a2+0+a=,2a, D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C BDj|=v2a2+6+ab-ab=v2a+b. 三点必在一条直线上 AC.BD 易错题22（错误率29%）如图，在平 .'.cos (AC.BD)= ACI BD 面角为120°的二面角a-AB3中，ACCa, -ab -b/4a3+2b BDC3,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 √2a·v2a2+ 4a2+2b 点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线段CD 记直线BD1与AC所成的角为0， 的长 则9E(0,], .直线BD与AC所成角的余弦值为 b√4a+2 4a2+2b6 参考答案见《全书易错题集》第6页 03-核心泰养聚焦。 考向分类 证明因为DC=DA+AC, 考向1利用向量法证明平行问题与垂 且D是棱AA1的中点， 直问题 所以DC=2AA+AC 例10（经典·全国卷节选）如图，在直三 由DC⊥BD,得DC.BD=DC·(BC+ 棱柱ABC-AB,C中，AC=2AA,D是棱 Ci+2AA)=DC·BC+DC·(Ci+ AA1的中点，DC⊥BD.求证：DC⊥BC 2AA)=0. 因为AC-2AA, 所以DC·(Ci+2AA)=(2AA+ 138 第三章空间向量与立体几何 AC).(AA:-AC)=(AA)-AC*=0. CF⊥平面ADF 所以DC·BC=0.所以DC⊥BC 命题意图：利用空间线面关系证明线线垂直 命题规律 真题探源：根据教材P103练习第5题演变 常考题型解答题难度系数0.5 高考热度 ★★ 核心素养 直观想象，数学运算 素养水平水平 第1题图 第2题图 真题演练 2.(经典·浙江卷，考向1)如图，在四面体 1.(经典·广东卷节选，考向1)如图，四边 ABCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,M是 形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,AFI AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.求证： 上，且AQ=3QC.求证：PQ∥平面BCD 04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：20分钟 A.PC与Bd B.DA与PB 1.[题型1]设a,b是不共线的两个向量，，∈ C.PD与AB D.PA与CD R,且a+b=0,则( 5.[题型3]在空间四边形OABC中，OB=OC, A.A==0 B.a=b=0 ∠A0B=∠A0C=5,则cos(OA,BC) C.λ=0，b=0 D.u=0,a=0 ( ）. 2.[题型1门(2024·武汉四中单元测试)对于空 间三个向量a,b,a十2b,它们一定是( ) A司 c.-2 D.0 A.共线向量 B.不共线向量 6.[题型2]如图，已知PA⊥ C.共面向量 D.不共面向量 平面ABC,∠ABC=120°， 3.[题型1](2024·重庆一中检测)对于空间任 PA=AB=BC=6,则PCA 意一点O和不共线的三点A,B,C,且有 等于( OP-xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则 A.6√2 B.6 x=2,y=一3，=2是P,A,B,C四点共面 C.12 D.144 的(). A.充分不必要条件 B 综合提能练 测试时间：30分钟 B.必要不充分条件 7.[题型1]已知非零向量e,e2不共线，若 C.充要条件 AB=e+ez,AC=2e+8e:,AD=3e-3ez, D.既不充分也不必要条件 则A,B,C,D四点( 4.[题型1]已知四边形ABCD为矩形，PA」 A.一定共圆 平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则 B.恰是空间四边形的四个顶点 下列各组向量中数量积可能不为0的是 C.一定共面 (). D.肯定不共面 139