第2章 3 抛物线-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

IMA+PAI=MBI+PBI, 8m=2(}+是)≥22-1)=2，则Sm≥E, 1PA1=2, PB=4, 当=一1，即m=0时，等号成立 (2)假设存在这样的定点P(n,0). ABI=PAP+PB-2 PAPBI cos 60, 当直线的斜率不为0时，由1)可知 (MAI-MBI=2, 即 pi.Pi=(-y)·(n一n,)=(m-n)( 1AB=25. n)+y为=(mM一√2-n)(m妙一√2-n)+y= 所以点M在双曲线x- 2 =1(x>0,y>0)上. (m+1)一m(W2+n)(y+为)+(2+)°，② 即界线S的方程为x2- y 2 =1(x>0,y>0). 将①代人②可得P减.成=一3-22mm+1+ m一1 (2+)2, 此时要想P成，p式为定值，则=3一2Bm=吉得 =一号从而，P时=一之 (2)依题意知小道所在直线的方程为y=2(x十3) (y>0),所以双曲线右顶点B(1,0)到小道所在直线 即存在这样的定点P(一号0)满足题意 的距离为d=+6,又小道所在直线与渐近线y 当直线的斜率为0时，易知P·P=(n+1)(n 3 2x的距离为2，从而界线S上任意一点M到这条 D=-1,若P(-号.o）,则成=-合满起 小道的距离d0∈(E反+雪] 题意 15()设直线MN的方程为x=my-2,M(,y), 综上所述，存在P(一号.0)满足题意 x=y一2， N(业).由 可得(m-1)y2-2v2my §3抛物线 x2-y=1. 3.1抛物线及其标准方程 +1=0(m≠士1)， 3.2抛物线的简单几何性质 由根与系数的关系可知”十”=22 m2-1y均 真题演练 1.B m2- ① 2.C提示：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准 此时1MN=v/1+m×2m+百-2m+D m-1m2-1可 线x=一号的距离为12，因为点A到y轴的距离为9， 原点O到直线MN的距离为d=一2 ,/1+m 所以号-=12-9，解得力=6。 此时Sw-dMN= ×2(m+1D 3.5:45。提示：因为抛物线的方程为y=4r,故p=2 √1+ m2-1 且F(1,0). =2(m+1) m2-1厂 因为MF1=6,M+号=6，解得xM=5,放M= 2 由M,V都在双曲线的左支上可知一1<<1， 1 令m2-1=1(一1≤1<0)，则 士25，所以S6w=2×(5-1)×25=45. 25 学业质量测评 因为A示=2F成.所以1AF=21FB,即-)2× 1.D2.B3.B 4.A提示：由于倾斜角a=60°， 计品0解得ms=子则sh0-2 3 1+2 则-。 因为四边形AA,CF是直角梯形，其中CF|=p =3 1AA=AF=号，商为AFsm0=号p·22 3 5B提示：易知抛物线的焦点为F(兮，0)小，所以过焦点 2p, 且斜率为1的直线的方程为)一一兰，即1=y十 所以四边形AA,CF的面积为2(p+受p）·2p 2 代入y=2x得y2=2n(叶2）=2y+P,即y 52=5厄.所以p-2, 所以抛物线的准线方程为x=一1. 2py一分=0，由根与系数的关系得”，2=p=2(1, 2 10.B提示：设点A的坐标为(r,a),点B的坐标为(：，b), 为分别为点A,B的纵坐标)，所以抛物线的方程为 直线AB的方程为x=ty十m,与抛物线的方程y=x y=4x,推线方程为x=一1. 联立，得y2-ty一m=0,故ab=一m, 6.2.提示：设点A的横坐标是x1,则依题意得焦点 由OA.Oi=2得a2+ab=2, F(1,0),准线方程x=一L.因为|AF=x+1=2,则 故ab=一2或ab=1(舍去)，所以m=2. =1,故直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物 所以△AB0的面积等于受ma-b=a-d1=a+ 线的通径，故BF=AF=2. 7.C提示：过点A,M,B分别作准线的垂线，垂足分别 名引△AP0的面积等于号×号a=号 81 为C,M,D,如图. 所以△ABO与△AF0的面积之和为a+名引+ 4 g-号+2引≥2V号ax高=3，当且仅 当a=专时，等号成立. 1L.ABD提示：过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦有下 由抛物线的定义，得AF=|AC,BF=|BD. 列性质：①其最短弦长为2p,此时AB⊥x轴： ,M为AB的中点，且MM|=6, ∴.AC+|BD1=12,即AB=|AF1+BF1=12. ②n=仑 业=一产：圆以AB为直径的圆与雅 8.D提示：将方程a2x2+∥y2=1与ax十yr2=0转化 线相切：④十阳一子对照各选项可知，只有 1 1 为子+兰=1与= 1 C中的说法错误 12.32 提示：如图所示， 因为>6>0，所以方>。>0所以椭侧的焦点在 y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左 由抛物线的定义可知BF到=BM,F(号，0)： 9.D提示：设A(my),B(),∠xFA=0, ,AM⊥MF,∴由直角三角形的性质可知B为线 则1AF=10BF=1中s 段AF的中点，∴B1) 26 把点B的坐标代入抛物线方程，得1=2p×上，解得 为4，对于选项D,显然BM中点的横坐标与？BM D=(负值合去.B(停.) 不一定相等，因此该命题错误。 §4直线与圆锥曲线的位置关系 5w=25=2×(9+号）×1-3 4.1直线与圆锥曲线的交点 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 20) 真题演练 1.由椭调C号+苦=1的右焦点为1,0，且经过点 A(0,1),可得b=e=1,a=+C=2, 则椭圆C的方程为号+了=1 13.65-1,提示：易知抛物线的焦 (2)联立y=x十1与椭圆的方程x+2y=2, 点F(一1,0)，准线方程为x=1. 可得(1+2k2).2+4k1x+22-2=0. 如图，过点A作AH⊥l,AN垂直 设P(y),Q(,) 于抛物线的准线，H.N为垂足，则 △=16k2-4(1+2k)(22-2)>0, AH+|AN1=m+n+1,连接AF,则AF+1AH= 22-2 4+=一1+2次0=1+2 m十n十1，由平面几何知识知，当A,F,H三点共线 时，|AF+AH=m十n十1取得最小值，最小值为 AP的方程为y=边x+1, F到直线1的距离，即三一65，所以m十n的最小值 55 令y=0,可得产即（吾0小： 为1 AQ的方程为y=当二1z+1, 14.(1D由已知得-号=一2，所以p=4. 令y=0.可得x即N(吾0) 2 所以抛物线C的方程是y2=8x (1一)(1-2)=1+y为一(y+) =1十(k1+1)(k+t)一(k1+k.2十2t) (2)由已知得A(一2,0)，F(2,0),所以|AF=4. 设点M(,均)，由抛物线的定义知MF|=十 =1+f-20+·录+-（格） 号-十2-8，所以6-6，代人y-8,得-8X (1-1)3 1+2k 6=48,所以=4a所以S=号AFl=号× 0M1oN=2,即‘=2， 4×45=85 即有1一1=(1-1)2.又1≠士1，解得=0，满足4>0. 15.AB提示：对于选项A,点M到准线r=一1的距离 即有直线1：y=kx恒过原点(0,0). 为(AF+BF)=号AB1,于是以线段AB为 2.(1)设A(xy),B(0y). x=2y-1. 直径的圆与直线x=一1一定相切，进面与直线x= 联立 消x得y2-4py+2p=0, y=2pr. 一号一定相离，对于选项B和选项C,设A(4d,4如， 则△=16p一8p>0,3当十为=4p,3为=2p, 则B(品一日），于是AB=4松+证十2，最小值 :p>0,p> 27答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> §3抛物线 3.1抛物线及其标准方程 3.2抛物线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：抛物线的定义、标准方程和几何 1.理解抛物线的定义 性质 2.理解抛物线的标准方程 难点：抛物线的定义和几何性质的应用。 3.理解抛物线的几何性质. 01心备知识梳理。 基础梳理 冒敲黑板 知识点1抛物线的定义 (1)定点F不在定直线( 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(1不经过点F) 上，这是动点轨迹为抛物线的 距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线( 必要条件，否则，若定点F在 叫作抛物线的准线。 定直线上，则动，点轨迹为过 知识点2抛物线的标准方程 定点F且和定直线（垂直的 一条直线.例如：到定，点F(1, 1.抛物线的标准方程 2)与定直线1：x=1的距离相 与建立椭圆、双曲线的标准方程一样，选择不同的坐标系可 等的动点轨迹为过定，点F(1, 以得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有以下四种不同 2)且和定直线1：x=1垂直的 的形式. 直线y=2. 标准方程 图象 焦点坐标 准线方程 (2)抛物线的定义可归结 为“一动三定”：“一动”即一个 y 动点，设为M:“三定”即一个 y2=2px(p>0) (. = 2 定点F,一条定直线、一个定 值（即动点M与定点F之间 的距离与动点M到定直线I 的距离之比为常数1). y2=-2p.x(p>0) (-台o) x-2 (3)双曲线与抛物线上的 点的性质存在着差异，虽然抛 物线的形状与双曲线的形状 98 第二章 圆维曲线么型 续表 看起来有点像，但绝不能把抛 标准方程 图象 焦点坐标 准线方程 物线看成双曲线的一支。当抛 物线上的点趋向于无穷远时， 过曲线上的，点的切线接近于 x=2py(p>0) (o.) 和对称轴平行：而当双曲线上 的点趋向于无穷远时，过曲线 上的点的切线接近于和渐近 x2=-2py(p>0) y号 线平行，抛物线没有渐近线： 从方程上看，抛物线方程与双 2.参数p的几何意义 曲线方程有很大差别. 抛物线的标准方程中参数饣的几何意义是抛物线的焦点到 后敲黑板 准线的距离（即焦准距），所以饣的值永远大于0.当抛物线标准方 (1)四种形式的抛物线顶 程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误. 点相同，均为O(0,0),离心率 知识点3抛物线的简单几何性质 均为1，它们都是轴对称图形， 抛物线的几何性质如下表，设A(,y),B(x,2) 但是对称轴不全相同. (2)抛物线的开口大小 ①从方程的角度看：在方 图象 程y2=2px(p>0)中，对于x 的一个确定的值，p越大，则 标准 y=2pr y2=-2p.x x=2py x2=-2py y也越大，即对应的点离对 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 称轴越远，抛物线的开口越 顶点 0(0,0) 大，反之，p越小，开口越小 ②从图形的角 A 离心率 e=1 度看：如图，过抛物 焦准距 p 线y=2p.x(p>0) 对称轴 x轴 y轴 x的取 的焦点F(0)且 x≥0 x≤0 R 值范围 垂直于x轴的直线与抛物线 开口方向 右 左 上 下 交于A,B两点，当=号时， 焦点 y=士p,所以AB=2p,线段 坐标 (2.0) (-o (o) (o.-) AB叫作抛物线的通径，长度 准线 =号 是2p,这是常数p的又一几 方程 2 何意义，所以p越大，通径越 通径长 2p 大，即抛物线的开口越大，反 焦点弦 之，p越小，通径越小，即抛物 x1十x2十p p-(十x2) y十y十p p一(y+) AB 线的开口越小 99 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> 重难拓展 国蔽黑板 重难点1抛物线的焦点弦 与抛物线焦点弦有关的 例①已知抛物线y=4.x,经过其焦点F且斜率为k(k>0) 几个常用结论 的直线l与抛物线相交于M,N两点，且MF|=3NF1,则k= 设AB是过抛物线y 2px(p>0)的焦点F的弦，若 A(x1,3),B(2):a为弦 解机方法一设直线1的领斜角为0，则9E(0,受)。 AB的倾斜角，则 因为1MF=1Os0NF=1名g且MF=3到NF, 西 4%=一F. 所以1名01 3p (2)AF]-1BF 解得c0s0=2所以k=1am0=3。 -1+cos a 方法二在抛物线y2=4x中，p=2, (3)弦长|AB=x十x2十 1=2=1. 2p 所以MF十NFP D= sin a 又因为1MF=31NF,所以MF=4,NF=号 雨+丽品 (5)以弦AB为直径的圆 于是MN=9 与准线相切 设直线1的领斜角为0，则0E(0,》,MN= 解得血0=（负值会. 故k=tan0=3. 答案、3. 02关健能幼提升。 题型方法 例②平面上一动点P到定点F(1,0)的 题型1抛物线定义的应用 距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨 如同椭圆和双曲线一样，抛物线的定义也 迹方程。 具有“双向性”：一方面，满足到定点和定直线 解析设点P的坐标为(x,y), 的距离相等的点的轨迹是抛物线，利用它可以 则有√(x-1)2+y2=x+1, 两边平方并化简，得y2=2x十2x, 求某些动点的轨迹方程：另一方面，抛物线上 即y2= 「4.x(x≥0)， 的点到焦点的距离等于到准线的距离，利用它 0(x0). 可以将两个距离相互转化，使某些问题得到快 故动，点P的轨迹方程为y=4x(x≥0)或 速解决 y=0(x<0. 100 第二章圆维曲线么 题型2根据几何性质求抛物线的标准 方程 32-8p_15 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位， 5 2 即根据题中条件确定抛物线的焦点位置：后定 解得p=3或p=1(舍去). 量，即求出方程中力的值，从而求出方程。 例3(2024·盐城阜宁中学检测)抛物线 有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛 物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称 轴（或在对称轴上）：反之，平行于抛物线对称 轴（或在对称轴上）的人射光线经抛物线反射 答案D 后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y=2px 题型3过抛物线的焦点弦的综合问题 (1<p<4),一条平行于x轴的光线从点A(8, 如图，AB是抛物线y2 2p)射出，经抛物线E上的点B处反射后，与抛 2p:x(p>0)过焦点F的一条 物线E交于点C,若△ABC的面积是受，则D 弦.设A(x1,y),B(x2,2), M AB的中点M(x0,%),过点 的值为( ). A,M,B分别向抛物线的准线 A B.2 c D.3 l作垂线，垂足分别为A1,M,B1,则根据抛物 线的定义，有AF|=|AA,BF1=|BB|,故 解折由题意知抛物线的焦点为下(， ABI=AF+BF=AA+BB 1. 又因为MM是梯形AA,BB的中位线， 0),AB∥x轴， 所以|AB=|AA1I+|BB=2IMM. 将y=2p代入y2=2p.x, 1.焦点弦长公式及其应用 得x=2p,则B(2p,2p) 例④(2024·西北师大附中月考)过抛物 由题意可知B,F,C三点共线，所以直线 BC的方程为y=2p。·(x-》 线y=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为否的 卫 2p一2 直线，交抛物线于A,B两点，若十B 1 即y=(x-) =2,则实数p的值为( 代入抛物线方程并整理，得8x2一17px十 A B.1 c D.3 2p2=0. 设该方程的两个实数根分别为，x2, 解析由题意得F(2,0),设直线AB的方 则十=172 8 程为y得(x-多)，A(n),B(.由 则BC=n十十p=12+p-爱D 8 y-得(x》消去得2-1x+车=0， 又点A(8,2p)到直线BC的距离d= y2=2px, 32-6p-21_32-82 ∴a十=7p,m=年.又“AF=n十 101 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> 台，BF到=+号 利用函数的单调性等，也可用均值不等式求解. 2.与抛物线有关的最值问题的两种典型 “A十B丽 1 U十x2十p 问题及求法 x+(国十a)+ 4 (1)求抛物线上一点到定直线的最小距 =子二2，解得力=1 离.可以利用点到直线的距离公式表示出所求 的距离，再利用函数求最值的方法求解，也可 答案B 转化为与定直线平行的抛物线的切线问题，再 2.用几何法或代数法解焦点弦的相关问题 由两平行线间的距离公式求解。 例同设抛物线C:y=4x的焦点为F,直 (2)求抛物线上一点到定点的最值问题. 线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|= 可以利用两点间的距离公式表示出所求距离， 3BF,则1的方程为( 再利用函数求最值的方法求解，此时要注意抛 A.y=x-1或y=-x+1 物线上点的设法及变量的取值范围. B一1或)= 3(x-1) 例6已知F为抛物线C:y2=2px(p>0) 的焦点，定点A(1,2)和动点P都在抛物线C C.y=3(x-1)或y=-3(x-1) 上，点52,0.则PFB的最大值为 2 D.v三x-1)或y= 2 (x-1) 解析因为点A(1,2)在抛物线上， 解析如图，作出抛物线 所以4=2p,解得p=2. 的准线4及点A,B到准线的 y=4 所以抛物线C的方程为y=4x,其焦，点为 垂线段AA1,BB,并设直线IB F(1,0). F 交准线于点M. M 设动点P(x,y)(x≥0)，则y=士2x,不 设|BF|=m,由抛物线的 妨令P(x,21x),结合抛物线的定义可知x 定义可知BB,|=m,AA|=AF=3m. |PF-1. 由B/AA可知照-惯， MBI 当x=0时，P0.0),PE1=0: PBI MB 即%-MBm 当0时，B (x-2)2+4xx2+4 所以MB=2m,则MA|=6m. 1 1 故∠AMA1=30°，则∠AFx=∠MAA1= 4 ,4=年，当且仅当x=2时取 x· 2 60°，结合选项知应选C [答案C 题型4与抛物线有关的最值问题 综上所运，B的最大位为子 1.与抛物线有关的最值问题的求解思路 (1)具备定义背景的最值问题，可用定义 省离 转化为几何问题来处理. 题型5与抛物线有关的实际应用问题 (2)解决最值问题的常用方法是由条件建 例7汽车前灯的反光曲面与轴截面的交 立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行 线为抛物线，灯口直径为197mm,反光曲面的 求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法， 顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质 102 第二章 圆维曲线收 可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反 因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约 光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平 35mm处. 行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm)? 易错恶示 解析如图，在车灯的一个 ◆易错题17（错误率32%）若动点P到 轴截面上建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为y=2p.x(p> OF C 定点F(1,1)的距离与它到直线1：3x十y 0),灯泡应安装在其焦点F处.在 4=0的距离相等，则动点P的轨迹是 x轴上取一点C,使|OC=69mm,过点C作 x轴的垂线，交抛物线于A,B两点，线段AB A.椭圆 B.双曲线 就是灯口的直径，即AB=197mm,则，点A C.抛物线 D.直线 的坐标为(69,17） ◆易错题18（错误率28%）若抛物线 y=a.x的准线方程是y=2,则a的值是 将点A的坐标代入方程y2=2px(p>0) 中，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为 参考答案见《全书易错题集》第5页 (35,0). -03核心素养聚焦。 考向分类 26,故A正确；对于B,由A的分析可知直线 考向1抛物线的定义与标准方程的应用 AB的方程为y=26(x-),代入y=2pr,得 例8(2022·全国新高考Ⅱ卷)（多选题）已 知O为坐标原点，过抛物线C:y=2x(p>0) 122-13r十3D=0,解得x=是p浅x=3p: 焦点F的直线与C交于A,B两点，其中A在第 一象限，点M(p,0).若|AF=AM,则( 所以=号，所以%=一所以OB1 A.直线AB的斜率为2√G V后+%-号0F,故B错误：对于C由类 B.OB=OF C.AB>4OF 物线的定义得1AB到=十m十p= 2p+b= D.∠OAM+∠OBM<1809 2D>2p,即AB>4OF,故C正确；对于D, 解标对于A,由题意得F(多，0)小，因为 由上述分析易知OA=犀p,AM=p, AF=AM,且M(p,0),所以c=十M 2 1OB= 3P,IBMI =Y10 3p,则由余弦定理的推 寻，代入抛物线方程了=2红，解得%=9 论，得cos∠OAM=1OA+AM2-OM 2IOA·AM 所以A(是，p,所以k=k r+r- 21 >0,cos∠OBM= 2x/pxp 5v33 103 重滩台手细高中数学选择性必修第一册？> IOBMIOME 真题演练 2OB·BM 3pX10 2 1.(2021·全国Ⅱ卷，考向1)抛物线y= 2p.x(p>0)的焦点到直线y=x十1的距离为 √2，则p=( >0,所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以 V70 A.1 B.2 C.2、2 D.4 ∠OAM+∠OBM180°，故D正确. 2.(2020·全国L卷)已知A为抛物线C: [答案ACD y=2px(p>0)上的一点，点A到C的焦点的 距离为12，到y轴的距离为9，则p=(). 命题意图：考查抛物线的定义等相关知识 命题规律 A.2 B.3 C.6 D.9 真题探源：根据教材P73练习第3题演变 3.(2021·北京卷，考向1)已知抛物线 常考题型选填题难度系数0.5高考热度★★★★ y=4x的焦点为F,点M在抛物线上，MN垂 直x轴于点N,若MF=6,则点M的横坐标 核心素养 直观想象，逻辑推理 素养水平 水平一 为 :△MNF的面积为 04学业质量测评， 基础过关练 测试时间：20分钟 点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛 1.[题型2](2024·福州一中月考)已知抛物线 物线的准线方程为( 的焦点坐标是（一1,0），则抛物线的标准方 A.x=1 B.x=-1 程为( C.x=2 D.x=-2 A.r2=4y B.x2=-4y 6.[题型1、3]已知过抛物线y2=4x的焦点F C.y2=4x D.y2=-4x 的直线交该抛物线于A,B两点，AF|=2, 2.[题型1](2024·郑州一中检测)设抛物线 则BF= y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P B 综合提能练 测试时间：30分钟 到该抛物线焦点的距离是( 7.[题型3](2024·广东省实验中学检测)过抛 A.4 B.6 C.8 D.12 物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于 3.[题型3]过抛物线C:y=12x的焦点作直线 A,B两点.若AB的中点M到抛物线准线的 I交C于A(1y),B(x2,y2)两点，若x十 距离为6，则线段AB的长为( x2=6,则|AB引=( ). A.6 B.9 A.16 B.12 C.10 D.8 C.12 D.无法确定 4.[题型3]过抛物线y2=2p.x(p>0)的焦点F 8.[题型2]在同一平面直角坐标系中，方程 作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两 a2x2+by2=1与a.x+by2=0(a>b>0)的 点，且AF>BF,则的值为 曲线大致为( A.3 B.2 c 5.[题型2]已知抛物线y2=2px(p>0),过其 焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两 104 第二章 圆锥曲线 9.[题型 2、3\left]\left(2024 ·辽宁省实验中学段考)已 14.[题型 1，2\left]\left(2024⋅ ·孝感高中检测)已知抛 知过抛物线 $$y ^ { 2 } = 2 p x \left ( p > 0 \right )$$ 的焦点F的直 物线 $$C ： y ^ { 2 } = 2 p x \left ( p > 0 \right )$$ 的准线为直线 线与抛物线交于A，B两点，且 $$\overrightarrow { A F } = 2 \overrightarrow { F B } ，$$ l：x=-2， 焦点为F. 抛物线的准线l与 x 轴交于点 $$C ， A A _ { 1 } \bot l$$ 于 (1)求抛物线C的方程； 点 $$A _ { 1 } ，$$ ，若四边形 $$A A _ { 1 } C F$$ 的面积为 $$5 \sqrt 2 ，$$ ，则 (2)若l与x轴交于点A，点M在抛物线C 准线1的方程为(). 上，且M到焦点F的距离为 8， ，求 △AFM $$A . x = - \sqrt 2$$ $$B . x = - 2 \sqrt 2$$ 的面积S. C.x=-2 D.x=-1 10.[题型 4 已知F为抛物线 $$y ^ { 2 } = x$$ 的焦点，点 A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， $$\overrightarrow { O A } \cdot \overrightarrow { O B } = 2$$ (其中O为坐标原点)，则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 (). A.2 B.3 $$C . \frac { 1 7 \sqrt 2 } { 8 }$$ $$D . \sqrt { 1 0 }$$ 11.[题型 3\left]\left(2024⋅ 六安一中周练)(多选题) 经过抛物线 $$y ^ { 2 } = 2 p x \left ( p > 0 \right )$$ 的焦点F的直 线交抛物线于A，B两点，设 $$A \left ( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right ) ，$$ $$B \left ( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right ) ，$$ ，则下列说法中正确的是(). A.当AB与x轴垂直时， |AB| |最小 $$B . \frac { 1 } { | A F | } + \frac { 1 } { | B F | } = \frac { 2 } { p }$$ 培优突破练 测试时间：10分钟 15.[题型1、3、4](清华大学自主招生暨领军计 C.以弦AB为直径的圆与直线 $$x = - \frac { p } { 2 }$$ 划试题)(多选题)过抛物线 $$y ^ { 2 } = 4 x$$ 的焦点 $$D . y _ { 1 } y _ { 2 } = - p ^ { 2 }$$ F，作直线交抛物线于A，B两点，M为线段 12.[题型 2.3\left]\left(2024⋅ ·南京东山外国语学校月 AB的中点.则下列说法正确的是() 考)已知点 A(0，2)，抛物线 $$y ^ { 2 } = 2 p x \left ( p > 0 \right )$$ A.以线段AB为直径的圆与直线 $$x = - \frac { 3 } { 2 }$$ 的焦点为F，准线为 l， ，线段FA交抛物线于 一定相离 点B.过B作l的垂线，垂足为M.若 AM⊥ B.|AB| |的最小值为4 M MF， ，则 △AFM 的面积 S= . C.|AB| |的最小值为2 13.[题型1、4](2024·成都外国语学校测试) D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 已知抛物线方程为 $$y ^ { 2 } = - 4 x ，$$ 直线l的方 程为 2x+y-4=0， 在抛物线上有一动点 A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距 离为n，则 n -n 的最小值为. 105