第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

三角形， 当为=号时.MC1=8=22 .PE=PF:AE=AF .PF-PF=IPEI+IEF-PF=EF 所以无人机飞行的最短距离是2，②. =2a, yp-y =1(x>q. OA为△EF,F的中位线， 提示：设△ABC的内心为点G, “OA=号EF=a,即OA为定值，故C正确： 过点G作AB,BC,AC的垂线， A OD BE .A为圆x+y2=a在y轴右侧上的动点，P为双 分别交AB,BCAC于点D,E,F,如图，则CE=CF, 曲线导一芹-1右支上的一个动点，结合图易知AP AD=AF.BD=BE. 由题意可知D(q,0),则AD=+q,BD=p一g 不是定值，故D错误 所以AC-BC=AD-BD=2g, 13.②③0.提示：①错误，当1=号时，曲线C表示圆： 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支 ②正确，若C为双曲线，则(4一1)(t一1)<0，∴1< (除去与x轴的交点)， 1或>4：③正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 因为OA=, 则4->1->0,1<1<受：④正确，若曲线C 所以碳点C的轨凌方程为号，产7=1>。 14一t0, 16.5。提示：由已知得F1(一4,0).Fe(4,0) 为焦点在y轴上的双曲线，则 ∴.t>4. 11-1>0, 如图，不妨设P(x·)在第一象限，由G,I分别为 14.(1)以AB所在直线为x轴，COC所在直线为y轴，建 △FPF的重心、内心，GI∥x轴，得△FPF的内 立如图所示的平面直角坐标系。 切圆半径r一3，则Sm一合(PF,+PF+ FF)r=号(PE+PF:+8)·3 设可疑舰艇的位置为P(x,y),由题意可知PB PA=×音=4.AB=6,又46，因此P点的轨 迹是以A,B为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，故 2a=4,c=3,所以a=2,=J5, 又Sam5=2FF:·w=4%, 所以所求的轨迹方程为号-苦-1（≤一2》， 所以号(PE+PF,+8)·号=4， (2取曲线听-苦-1(x≤-2)上任意一点M· 化简得|PF+|PF1-16. 0≤-2》，于是一号-1，即=+4， 又PF1-|PF1=4,则PF1=10,PF:1=6. 5 由题意知，求出M,C间的最短距离即可， 由此可得|PF,P=|PF:+|FFF,因此PF⊥ 1MC1=√(-)+(3-%) F,F,所以△F,PF的外接圆半径R=号PF,=5, =V号6+4+9-6w十 2.2双曲线的简单几何性质 真题演练 √号(6-)+8。 上D提示：因为双曲线后一若-1的离心率为5，所以 22 5=5.又因为c2=a+,所以后=4+=1+ 5.y=2x提示：设A(亡1，y),B(,),则 a (xi-yi=1, =5,力=2（负值舍去），所以该双曲线的渐近线的方程 两式相减，得(x1十x2)(x1一x)=(M十 a -=1, 为y=士 x=士2x,若渐近线方程为y=一2，圆心 h)(y-). 因为x-一z≠0，点M的坐标为(x,y), (2,3》到该渐近线的距离山=4土3-75>1，不符合 5 5 所以=”二必 2y n-rt 题意：若渐近线方程为y=2x.圆心(2,3)到该渐近线 的距离d山=月=-号<1，所以1AB=2-号 又直线1的斜率为号所以与=号，即y=2x 555 6.(1)由双曲线的实轴在x轴上可知其焦点在x轴上，直 =45 线3.x一4y+12=0与x轴的交点坐标为（一4,0），故双 5 曲线的一个焦点为（一4,0），即c=4.设等轴双曲线的 2.D提示：要使选项中的点成为线段AB的中点，则 方程为x-y=a(a>0),则2=2a2=16,解得a2= 必须使A,B两点在双曲线的两支上，设A(·), 8.所以双曲线的方程为x2一y=8. B(空，2)，AB的中点为(x6,),联立 (2)依题意，设双曲线E的方程为需一号=1(1≠0， ,点A(25,一3)在双曲线E上， 式相减，得km=.因为直线AB与双曲线两支交于 250--3= 3 16 9 两点，双曲线的渐近线方程为y=士3x,所以一3<k 六双曲线E的标准方程为文一王 =1. <3.所以-3<9<3，即边<-3或>3，分析各选 4 To 又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，则双曲线M 项知D选项符合题意 3.A提示：如图，PQ=OF 的标准方程为兰 1 =e,∴PQ过点（受，0） 7.D提示：连接AF1,由题意得FF为圆O的直径，A ∴P(,) 为圆上一点，.△F:AF为直角三角形.又△ABF 又，OP1=a 为等边三角形，根据对称性易求得|AF:|=3c, |AF1=c.由双曲线的定义知/3c一c=2a =(5)+(受）广= e==2=1+ ∴.(）=2.e==2 aJ3-1 44提示：由渐近线方程3十m四=0化简得)y=一 8D提示：由题意知-后所以（台）广-（任） 2 即么一吾同时平方得导一产·义双商线中心，心 15生因为（合）°=5>1，所以女>1.所以 2 >a.所以圆O与黄金双曲线C的左，右两支各有2个 -1,故3=，解得m=3.所以c=a+=3+1 交点，即圆O与黄金双曲线C有4个交点，故选D, 4→c=2,故焦距2=4. 9.D提示：依题意=@亚=+() 学业质量测评 1.C2.C3.A4.z. =a士m时m证-V1+(）. a十 a十m 23 因为么_生m=ab+m=ah-am-m(h-a】 点P有两个， aa+m a(a+m) a(a+m)' 同理，在第二，三、四象限且使得△PFF,为等腰三角 由于m>0a>0,b>0,所以当>b时，0<<1， a 形的点P也各有两个， 0<生m1,<生m,()<(生m), 因此使得△PF,F为等腰三角形的点P共有八个， a十m aa十a a十n 故C错误； 所以<： 对于D,由PA·PA=后十-a2=,得+6 当a<b时，>1，生m>1,4>+m a十m aa十m =2, 所以（台）广>（件），所以> 从而P·PF=号十一2=0，故D正确. 所以当a>b时，<e:当a<b时，e1>. 2[ 提示：由题意知直线1的方程为。+ 10.B提示：如图，利用双曲线的性质可得AF=BF -2.EFI-a+e. 芳=l,即征十ay一ab=0由点到直线的距离公式， 且a>1,得点(1,0)，（一1,0）到直线1的距离分别为 要使△ABE是锐角三角形，只需∠AEB为锐角，故 山=b(a-1) d= b(a+1) ∠AEF<45,所以AF<EF,即仁<a十，整理得 ,则s=d山十d山= a十园 a十 22+ac一2>0，两边同除以a2,化简得e-e一2<0， 2ab 2ab a+ 解得-1<e<2.因为e>1,所以1<e<2. 由≥青，得2>青c,即50v-a≥2 两边同除以d2得5√0-1≥2e,即4e一252+25≤0. 解得牙<r≤ 11.AD提示：设P(z,),x≠a.对于A,由双曲线的 由于>1，故c的取值范围是[汽后] 定义可知只需PA=|PF|即可，即只需P为线段 AF的中垂线与双曲线的交点，故A正确： 1a15.e25 对于B,因为A(-a,0),A(a,0),所以k,k, 提示：(1)由题意可得a十=x, 产。‘。产因为导-=1：所以 .a-3a2+c=0.∴.e-3e2+1=0. 怎（信-云），所以a·n-号放1nn≥ e-3h⑤ 2 e=1h5 21 2kmkT=2,当且仅当k=k1=台 (2)设sin0= V+00s= b +三，则 时等号成立，易得等号不可能成立，故B错误： 2 4a'sincos 0 4a2·6+7 2a2 对于C,若点P在第一象限，则当PF=2时，PF|= 2c-2a,△PFF2为等腰三角形， -2+6 当1PF|=2e时.|PF1=2c+2a,△PFF:也为等 2 腰三角形， 14.(1)如图，建立题设的坐标系，设M(x,y)(y>0)为界 故点P在第一象限且使得△PF,F2为等腰三角形的 线上任意一点，则依题意有 24 IMA+PAI=MBI+PBI, 8m=2(}+是)≥22-1)=2，则Sm≥E, 1PA1=2, PB=4, 当=一1，即m=0时，等号成立 (2)假设存在这样的定点P(n,0). ABI=PAP+PB-2 PAPBI cos 60, 当直线的斜率不为0时，由1)可知 (MAI-MBI=2, 即 pi.Pi=(-y)·(n一n,)=(m-n)( 1AB=25. n)+y为=(mM一√2-n)(m妙一√2-n)+y= 所以点M在双曲线x- 2 =1(x>0,y>0)上. (m+1)一m(W2+n)(y+为)+(2+)°，② 即界线S的方程为x2- y 2 =1(x>0,y>0). 将①代人②可得P减.成=一3-22mm+1+ m一1 (2+)2, 此时要想P成，p式为定值，则=3一2Bm=吉得 =一号从而，P时=一之 (2)依题意知小道所在直线的方程为y=2(x十3) (y>0),所以双曲线右顶点B(1,0)到小道所在直线 即存在这样的定点P(一号0)满足题意 的距离为d=+6,又小道所在直线与渐近线y 当直线的斜率为0时，易知P·P=(n+1)(n 3 2x的距离为2，从而界线S上任意一点M到这条 D=-1,若P(-号.o）,则成=-合满起 小道的距离d0∈(E反+雪] 题意 15()设直线MN的方程为x=my-2,M(,y), 综上所述，存在P(一号.0)满足题意 x=y一2， N(业).由 可得(m-1)y2-2v2my §3抛物线 x2-y=1. 3.1抛物线及其标准方程 +1=0(m≠士1)， 3.2抛物线的简单几何性质 由根与系数的关系可知”十”=22 m2-1y均 真题演练 1.B m2- ① 2.C提示：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准 此时1MN=v/1+m×2m+百-2m+D m-1m2-1可 线x=一号的距离为12，因为点A到y轴的距离为9， 原点O到直线MN的距离为d=一2 ,/1+m 所以号-=12-9，解得力=6。 此时Sw-dMN= ×2(m+1D 3.5:45。提示：因为抛物线的方程为y=4r,故p=2 √1+ m2-1 且F(1,0). =2(m+1) m2-1厂 因为MF1=6,M+号=6，解得xM=5,放M= 2 由M,V都在双曲线的左支上可知一1<<1， 1 令m2-1=1(一1≤1<0)，则 士25，所以S6w=2×(5-1)×25=45. 25答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10第二章 圆维曲线么图型 2.2双曲线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的简单几何性质。 1.理解双曲线的简单几何性质， 难点：对渐近线概念的理解 2.理解双曲线的简单几何性质的应用。 口01必备知识梳理◆ 基础梳理 ☑划重点 知识点1双曲线的简单几何性质 对于双曲线离心率的变 62 =1(a>0,b>0)为例，如图. 化与双曲线形状的关系，我们 是通过与e之间的关系来 研究的.因为卢=正 1.范围 ,所以e慧大，台包越 双曲线在不等式x≤一a或x≥a所表示的区域内. 大，即渐近线y=士bx的斜 2.对称性 率的绝对值越大·这时直线 双曲线关于x轴、y轴、原点对称，原点是其对称中心.双曲 y=-6 与直线y=名：的 线的对称中心叫作双曲线的中心. 夹角也就越大，于是双曲线的 3.顶点 形状就从扁狭逐渐开阔，也就 A1(一a,0)和A2(a,0)是双曲线的顶点.线段A1A2叫作双曲 是e越大，它的开口就越宽. 线的实轴，它的长等于2a,a叫作双曲线的实半轴长：线段BB (其中B(0,一b),B2(0,b)叫作双曲线的虚轴，它的长等于2b, b叫作双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 国敲黑板 双曲线的渐近线方程为y=土x,从图中可以看出，双曲线 0一疗=1中的1改 荐一-芳-1的各支向外延棉时，与这两条直线逐渐接近。 为0即为渐近线，1改为一1 即为共轭双曲线， 5.离心率 双曲线的离心率。一日一美双曲线的离心率毯大，它的 开口就越宽 87 更难包手曲高中数学选择性必修第一册S心 知识点2特殊双曲线 马记方法 1.等轴双曲线 等轴双曲线有两个非常 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程为 明显的特征：①离心率e=v2; x2-y2=士a2. ②两条渐近线互相垂直.这两 2.共轭双曲线 个特征可作为判断双曲线是 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线与原双曲 否为等轴双曲线的充要条件 线互为共轭双曲线 刘重点 如y 1的共轭双曲线是吉一芳=一1（千万不要理解 共轭双曲线具有如下性质： a21 (1)它们具有相同的渐近 为其共轭双曲线是 a2=1). 线，反之不一定成立 (2)它们的四个焦，点共圆： 重难拓展 (3)设它们的离心率分别 重难点1双曲线的离心率 为e,,则ei十e吃=eie. 1.双曲线离心率的定义 通记方法 我们把叫作双曲线 号一若=10>0,6>0)的离心率，用e 求双曲线离心率及其范 围的常用方法 表示 1,求双曲线离心率通常 2.求双曲线的离心率或其范围的方法 有两种方法： (1)求a,b,c的值，由定义直接求e. (1)利用条件求出a与c (2)列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助=2一a 或a与b的值，利用e= a 消去b,然后转化成关于e的方程（或不等式）求解 例☐已知双曲线导-若-1a。>0,6>0)的左，右焦点分别 +(即得. (2)由题意构建关于a,c 为F,F2,点P在双曲线的右支上，且PF=4PF2|,则双曲线 的齐次方程，利用=后即可 离心率的取值范围是( ）. 化为关于e的方程，解方程即 A(32] &1,] C.(1,2] .[+ 得，此时要注意>1的条件. 2.求双曲线离心率的范 解析]由双曲线的定义可知，|PF|一PF2=2a, 围，关键是能根据题设中的显 又因为PF=4PF1,所以PF,= 性条件或隐性条件构建关于 3 a,b,c的齐次不等关系，结合 由双面线上的点到焦点的最短距离为（一a,可得>〔一a, c2=a2+方及￡=e即可化归 解得<3即<3 为关于e的不等式（组），通过 解不等式（组）求e的取值范 又双曲线的离心率e>1, 围.同样要注意e>1的限制 故该双曲线离心率的取值范国为1，] 条件 答案B 88 第二章 圆维曲线么型 重难点2双曲线的渐近线 国敲黑板 1.求双曲线号-苦=1o>0,6>0)或等-若=1u>0,6> 双曲线中的三个特殊三 角形 0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令二-兰 对于双曲我导一芳-1 得)=士品：或令号-若=-0得y=士 (a>0,b>0),A1,A,为双曲 2已知渐近线的方程为y=士之，可设双曲线的方程为。 线的顶点（即实轴的端点）， B,B为双曲线虚轴的端点， y2 =A(a>0,b>0,A≠0). F,F为双曲线的左、右焦点 (1)在图1中，连接AB, 例2(2024·西安高新一中检测)已知直线x=2a与双曲线 在Rt△OAB中，|OA|=a, =1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C的 OB:=b,A2B:=c. 左、右焦点分别为F,F,且cos∠PF,F=一}，则双曲线C的渐 近线方程为( ). A.y=±15x By=±315 11x 图 C.y=±2⑤ 11x D.y=士5x或y=土3⑤ 11x M 解析(1)由题意可知点P的坐标为(2a,士2b),F(一c,0), F2(c,0).由条件得2a>c,即￡<2. 图 又F2p=(2a-c,士2b),F2F=(-2c,0), 则1F2P1=√(2a-c)2+(±2b)2=V5c2-4ac, FF|=2c,F2P.F2F=-2c(2a-c). 由FP.F2F=|FP1 F2 Flcos∠PFF1得-2c(2a-c)= 、5-4ac×2cX(-). 图3 (2)在图2中，过，点A:作 即64a2-60ac+11c2=0,所以5=16或5=4（会去）. a11 垂直于x轴的线段A2M,交 双曲线的一条渐近线于点M, 所以g-9-1=v(9-1=3. a 在Rt△A,OM中，tang= a 故双曲线的渐近线方程为y=士3 (其中0=∠A,OM,即渐近线 重难点3有关双曲线的焦点三角形问题 y=总的领斜角).OA1= 如图，P是双曲线号一荐=1上任意 a,则lAM=b,|OM=c,且 一点，当点P,F,F不在同一条直线上 有e=√+(2)=中0 时，它们构成一个三角形—一焦点三角形. 1 cos 89 更滩包手细高中数学选择性必修第一册S 有关双曲线的焦点三角形有一个重要公式：S△F,5= (3)在图3中，过点F2作 0 tan 2 套直于斯近线y一合的钱段 (其中∠FPF2=0). NF:,垂足为N,在R△OFN 例3(1)(2024·榆林模拟)已知F1,F2分别为双曲线C: 中，0F:=m0=名，所以 x2-y=1的左、右焦点，点P在C上，∠FPF2=60°，则PF|· 1ON|=a,|F,N|=b,且有 PE2=( ). +(- cos A.2 B.4 C.6 D.8 当双曲线的焦，点在y轴 (2)(2024·吉林一中期末)已知双曲线的两个焦点为F(一√5， 上时，美似地，e=sin00为渐 0),F2(/5,0),P是双曲线上的一点，且PF⊥PF2,|PFI|PF| 近线y=分x的倾斜角). =2,则双曲线的方程是(). c-= Dr-￥=到 [解析(1)方法一设PF,=m,PF2|=n, m-n=2, 则 (22)2=m2+n2-2mncos/FPF2, m2-2mn十n2=4, m2-m十2=8. ∴.mn=4,即PFPF2=4. 22 2×12 方法=1PF11PF:|=1-cOs∠RPF=1os60= 2 =4. 12 (2).PF1⊥PF2,∴.0=∠FPF2=90° IPF.IIPE.I-2.S.m-gPFIIPE1. tan 2 即 tan45e=1,∴b=1. 又c=5,a=2-F=2. 故双南线的方程为听-了=1 答案(1)B(2)C 90 第二章 圆维曲线么出型 重难点4双曲线的其他几何性质 1.双曲线的通径 过双曲线的焦点，作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截 得的线段MN叫作双曲线的通径，如图。对于双曲线号一若 1。>0,b>0),将x=c代人号一苦=1得y=士名，故双曲线的 通径长MN=2光类似地，双曲线若-希=1(a>0,6>0)的通 径长也为2 图1 图2 2.双曲线的焦半径 双曲线上的点P与其焦点的距离称为焦半径，设双曲线的左 (下)焦点为F,右（上）焦点为F.点P(x0,%)是双曲线上任意 一点，记n=|PF|,=|PF2. 1对于双曲线后-普=1>0,6>0)，若点P在右支上，则 n=ew十a,r2=e.xo一a:若点P在左支上，则r=一e.xo一a,r2= -exo十a. (2)对于双曲线芳-系-1(a>0,6>0),若点P在上支上，则 r=e%十a,r2=e%一a:若点P在下支上，则r=一e%一a,r2= -e%+a. 例④(2024·扬州一中检测)（多选题）如 y 图，已知双商线C号-芳-1a>0.6>0)的 M 左、右焦点分别为F,F2,左、右顶点分别为A, B,点M在双曲线C上，且MF⊥x轴，直线FAOB卧产 MA,MB与y轴分别交于点P,Q.若|OP|= eOQ(e为双曲线C的离心率)，则下列说法 中正确的有( ). A.e=2+1 B.AF:AO=3:1 C.直线OM的斜率为一2 D.直线AM的斜率为一3 91 更雕食手细高中数学选择性必修第一册心 解析根据题意得A(一a,0),B(a,0),F1(一c,0),M一c, 名，由△BOQ△BF,M,可得品=P,所以0Q B a+c, 由△AOP△AFM可得0-A 所以OP1= c-a' 因为OP=eOQ,所以尽=e· c-a a十c 整理可得a十c=e(c-a),即1十e=e(e一1)， 即e2-2e-1=0,又e>1,解得e=2十1，故A正确： 1AF=一a=e-1=√2，故B错误： AO a b 由MF,=,OF,=c,可得直线OM的斜率为-a= 尼=2-2=1-e=-2,故C正确： acac b2 易得直线AM的斜率为一 MF AFI c-a d -(e十1)=-2-2，故D错误. 答案AC 口02-关建能力提升。- 题型方法 方程. 题型1求双曲线的标准方程 由-9得- 例固根据以下条件，分别求出双曲线的 标准方程： 由点P3,一②在双南线上得是l② 1)过点P(3,-2,离心率e= 2 由a2+6=2,结合①②得a2=1.B= (2)F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠FPF2=60°，S△m,R= 若双尚线的实轴在y轴上，则设兰-系 1(a>0,b>0)为所求双曲线的标准方程. 12、3,离心率为2. 解析(1)若双曲线的实轴在x轴上，则设 同跟有后-员是是=1心+= 云一节=1(a>0,b>0)为所求双曲线的标准 解得=一号（不合题意：金去， 92 第二章 圆维曲线么型 故所求双曲线的标准方程为x2一Y=1. A在第一象限)，线段AF的中点为P,O为坐 4 标原点.若OA=OF,2OP|=√3OB1,则 Γ的两条渐近线的斜率之积为( ). (2)设双曲线的标准方程为后一清 =1(a> A.-4-2√/3 B.-3-23 0,b>0),由题意知FF|=2C,e=￡=2，由双 C.3-23 D.-4+2√3 曲线的定义得|PF|一|PF2|=2a=G 解析如图，设双曲线厂的左焦点为F1, 由余弦定理得(2c)2=|PF2+|PF2I2 连接AF1. 2PFPF cos FPF=(PF-PF)2 +2PF PF2(1-cos/FPF2), ..4c2=c+PFPF. 又：Sam,s-号PE1PEsm6=12B, .PFl|PF21=48.∴.32=48. 根据双曲线T与直线y=k.x的对称性可 .c2=16.∴.a2=4,b=12. 知OA=OB1. 故所求双由线的标准方程为气一适1 因为|OA=|OF1,2OP=3OB1,线 题型2求双曲线离心率的大小或范围 段AF的中点为P, 例⑥(2024·东北育才中学测试)已知双 所以|AF|=2IOPI=√3c,OP⊥AF. 曲线荐-若-1。>0,6>0)的左，右焦点分别 又因为1o=c,10P=9. 为F,F2,点P在双曲线的右支上，且PF= 所以PF=c,AF=2PF=c 4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值 根据双曲线的定义可知AF一AF=2a, 为(). A青 C.2 n写 所以3c-c=2a, 解析设P(xp,yp),则双曲线的焦半径 所以-（=+3 |PF|=e.xp十a,|PF2|=exp-a,由|PF= 所以Q十 =4+23 4|PF2|可得exp十a=4(exp-a),即3exp= 5a,所以xp= 职由于点P在双曲线的右支 所以总-3+25. 所以双曲线厂的两条渐近线的斜率之积 上，则是>：从万<号即光双曲线的离 为、足 =-3-23. a 心率e的藏大值为？ [答案B 答案B 易错警示 题型3与双曲线的渐近线有关的问题 ◆易错题16（错误率35%）已知双曲线 例⑦(2024·南京师范大学附属中学段 的渐近线方程为y=士号，焦距为2√26，求 考)已知双曲线r:号一芳=1a>0,b>0)的右 双曲线的标准方程 焦点为F,直线y=kx与P交于A,B两点（点 参考答案见《全书易错题集》第4页 93 更避包手细高中数学选择性必修第-册？S> 03-核心素养聚焦一。 考向分类 命题意图：考查双曲线离心率的求法 命题规律 考向1求双曲线离心率的大小或取值 真题探源：利用教材P64相关知识命制 范围 常考题型选填题难度系数0.4高考热度★★★★ 例8(2023·新课标I卷)已知双曲线C: 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 荐-芳=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为 考向2双曲线的几何性质及应用 F,F2.点A在C上，点B在y轴上，FA 例日（2023·天津卷)双曲线号-芳 F店F=-号F店，则双曲线C的离心率为 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过点 F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知 军折由FA=-号瓦店可得A,R,B三 P5=2,直线PR,的斜率为是，则双曲线的 方程为( ) 点共线，且含-号 1 设|F2A|=2m,|F2B|=3m,由双曲线的 定义可知|AF1|=2a十2m.因为点B在y轴 解析由PF2=2知b=2,则可设双曲线 上，所以由对称性可知FB=3m.因为FA 的一条渐近线方程为y=2,直线PF,的方 a F1B,所以在Rt△AF,B中，sin∠FAB= 品-器-是∠RAB=喻= 2 IABI 程为y=一 (x-c),联立 解 2am=号解得m=a,故1A=2a+2m 5m 得点P的金标为P(台行)则m 4a,|AF2|=2m=2a,易知|FF2|=2c.在 2ac △AFF中，cos∠F,AF2=16d2+4a2-4 4+a 2 16a2 + ,解得a=2,所以双曲线的方程 号解得50=9d,故离心率e=-35 5 答案D 2a+2mA 命题意图：考查双曲线的几何性质 2m F 命题规律真题探源：利用双曲线的标准方程和几何 性质命制 3m 31 常考题型选填题难度系数0.5高考热度★★★★★ 直观想象，逻辑 核心素养 素养水平 水平二 推理、效学运算 94 第二章 园维曲线么组 真题演练 A.(1,1) B.(-1,2) 1.(2023·全国甲卷，考向2)已知双曲线 C.(1,3) D.(-1,-4) c =1(a>0,b>0)的离心率为√5，C的 3.(2019·全国Ⅱ卷，考向1)设F为双曲 一条渐近线与圆(.x一2)十(y一3)2=1交于 线C号-苦=1o>0.6>0的右焦点，0为坐 A,B两点，则|AB=( 标原点，以OF为直径的圆与圆x2十y=a2交 A哥 取25 于P,Q两点.若|PQ=|OF,则C的离心率 为( ) C36 5 D45 5 A.2 B.3 C.2 D.5 2.(2023·全国乙卷，考向2)设A,B为双 4.(2021·全国乙卷，考向2)已知双曲线 曲线-苦-1上的两点，则下列四个点中可 C需=1(m>0)的一条渐近线为5x+ 为线段AB中点的是( ). my=0,则C的焦距为 04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：20分钟 [随型2]若双前线后-兰=1a>0,6>0)的 1.[题型2](2024·武汉六中月考)已知双曲线 两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率 荐-苦-1的右熊点为(3,0)，则该双面线的 是 离心率等于( ) 5.[题型1已知双曲线2一y=1和斜率为2 A3平 B3② 的直线（交于A,B两点，当！变化时，线段 4 c AB的中点M的坐标(x,y)满足的方程是 2.[题型3](2024·郑州一中测试)已知双曲线 6.[题型1](1)中心在原点，实轴在x轴上，求 C后-芳=1。>0,6>0)的离心率为号则 y 一个焦点为直线3x一4y十12=0与坐标 轴的交点的等轴双曲线的方程， C的渐近线方程为( By严士安女 (2)已知双曲线E与双曲线6一首=1共渐 近线，且过点A(2√3，一3).若双曲线M C=士2 D.y=士x 以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴， 试求双曲线M的标准方程. 3.[题型1]若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有 公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则 该双曲线的方程为( A.y2-3.x2=36 B.x2-3y2=36 C.3y2-x2=36 D.3.x2-y=36 95 更难食手细高中教学 选择性必修第一册？S心 B 综合提能练 测试时间：30分钟 A.(1,十∞) B.(1,2) 7.[题型2](2024·武汉 C.(1,1+2) D.(2,1+√2) 一中月考)如图，F和 11.[题型1、3](2024·湖南师范大学附属中学 B分别是双曲线 检测（多选题）已知双曲线号带=10> y2 若=1(a>0,6>0)的 0,b>0)的左、右顶点分别是A,A2,左、右 焦点分别是F,F2,P是双曲线上异于A1, 左、右焦点，A,B是以点O为圆心、以OF A2的一点.现给出下列结论，其中正确的是 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 (). △F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率e A.存在点P,使得|PF2-|PA=2a 为(). B.存在点P,使得直线PA,PA的斜率的 A.3 B.5 笔对值之和，十，< ay D.1+√3 C.使得△PFF2为等腰三角形的点P有 8.[题型2](2024·西安铁一中学检涮)把离心 且仅有四个 率e=5的双曲线C:号-若-1a>0, D.若PA·PA=F,则PF·PF=0 2 >0)称为黄金双曲线，若以原点为圆心，虚 12.[题型2双曲线号-苦-1a>1,6>0)的 半轴长为半径画圆O,则圆O与黄金双曲线 焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0，b),且点 (). (1,0)到直线1的距离与点（一1,0）到直线1 A.无交点 B.有1个交点 的距离之和≥号c,则双曲线的离心率的 C.有2个交点 D.有4个交点 取值范围为 9.[题型2](2024·武汉十一中月考)将离心率 13.[题型2](2024·华东师大附中单元测试) 为e的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长 b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得 如图，双前线后-苦 =1(a>0,b>0)的两 到离心率为e2的双曲线C2,则( 顶点为A1,A2,虚轴的两端点为B,B2,两焦 A.对任意的a,b,e>e2 点为F,F2.若以AA为直径的圆内切于 B.当a>b时，e1>e2;当a<b时，e<e 菱形FBF2B2,切点分别为A,B,C,D.则： C.对任意的a,b,e1<e2 D.当a>b时，e1<e2;当a<b时，e1>e2 10.[题型2](2024·黑龙江大庆铁人中学检 测)已知F是双曲线若一若=1a>0,b> 0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点 (1)双曲线的离心率e F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B (2)菱形F,BFB2的面积S与矩形ABCD 两点.若△ABE是锐角三角形，则该双曲线 的离心率e的取值范围为(. 的面积S,的比值 96