第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区】忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90, 是[一号，号]，事实上，在直线1的允许活动范周内， 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3号 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90°） 品 时，直线1的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=m己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当时，=一<0，所以直线的颜斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程， 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“≠ 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-号=一L m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2.1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线（的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (. 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-号] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4oU(o,号) 形，此时直线的斜率不存在 c(-,-号)U[1,+∞ 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号，+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线1垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx-y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一号，则直线1的斜率长的取值范围是 所以一生2=1，解得大=是 2+I (-,-g]u[g+） 所以直线1的方程为y一2=是一1少， 即3x-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l1:3x十4y十2=0和4：6x十8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解l:6.x十8y一4=0可化为3x十4y一2=0，根据两 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 所以AO=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-（-401-6 3十4平 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中r,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4AC中，C|=￥AC-AOP=√5-=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x一3)2+ 误区6。对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m2十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0，且片<0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由22十一1=2一m十2.得r十2一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得COC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故n=-3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解：圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1，t2=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y一6k-8=0 .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得一2一6-8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得u=2士2√/10， 解得发=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2-2√/10)2十(y-4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-子）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的 答案x=6和3z十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 《错溪奉25%)若方限千十兰与=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且k≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)严=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径r=3,若两圆相切，则1CA=4十3=7或1CA= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)F+ (4一1)2=1（无解），a=2士2√10，此时所求圆的 易错题1Ⅱ（错送率30%）已知幅圆的标准方程为云十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(x-2+ y =1(m>0),并且焦距为6，则实数的值为 m 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a一 正解"，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）2=12（无解），∴，a=2±2/6，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知2= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求圆园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知= m2,=25,a2=+2,得m2=25+9=34. 或(x-2+2/10)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(a,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（错误率3)若精圆千。+苦 C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D,双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求k的值 正解依题意得|FF=10,当a=3时，2a=6<FF,, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF-PF:|=2a>0, ,,点P的轨迹为双曲线的右支和一一条射线。 ,一，听以e一2一2一—1 ak+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a°=9，：= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= ==1k=1 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一子 易错题15（错误来30%0）若方程2加十m1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12一m>0, (2-m<0. 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+二-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx十1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆号+片-1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上<1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为园 3,焦距为2、26，求双曲线的标准方程. m 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十02). 解得 2=a2+6=26, 6=8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件 y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 g=2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足PF|-PF|=2a,当a为3和5时，点P :=18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为兰一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1政 8181. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一≠0，则△=(2k一2k)”一4(4一2)（一k2+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而稀掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0：解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的距 情况： 离与它到直线：3x十y一4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点。 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 -10+(0y-1=3x+y-4 ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2p.x(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线/，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=a2化为标准形式得r2=】 u w. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 8 所以p=2. 答案 8· 故所求的抛物线方程为yY=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x十t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 3y2=4xr, 由 得y2+2y-21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线0A与直线（的E高等于停可得片-停，所 5 4 斜率k的取值， =士1.由于-1e[-之+小.1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代人双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k).x2一(2k-2k).x一十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对： 若4一=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 S 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 .CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A.B.C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值. 一条直线上 正解 由题意知a/B,则兰-中2=音可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, +y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 当/， 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB,BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长。 ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年，OA⊥底面 ABCD,OA=2.M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. ,二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,BD》=180°-120°=60 CD=C市=(Ci+AB+Bd)=C+A店+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A0.0,0).B1,0.0).M0,01,D(-号号.0 B-2 答案 a++c./+e 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD,B,C)= 而-（号停-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cos(A店，M市= AB.MD 1 2 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD a++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量BD和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和B,C所成的角， 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD,和B1C BPCD的余弦值 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a),D0,2a,0),BC=(0,2a,0) 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Ci-(-a,0.0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-b,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBD B.CI -2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2·+正 1=(1,为，)，n=(22+边） m·BC=0,m·CD=0. 则有 和 m·驴=0·P币=0， 2ay=0. -ax2=0, 即〈 和 对上式进行以下讨论： 【-a,x1十az1=0 (2ay-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>O,这时(BD,BC)是锐 令=1.可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当>b时，os(BD,BC)<0,这时〈BD,BC)是 所以m一造 5 钝角，则BD,BC)的补角x一(BD,B,C)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD,BC BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,BC)即异面直线BD,和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n:)= 风调=严后，误认为所要求的余 nn2 8-c2 、a2++e·√+ 弦值即为，其原因是混消了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式 有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式. 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错璞率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲，乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A:种排法，故共有A5AA 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯、2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法：若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A,A三点中任取两个点，在B,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工.现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法。 法计数原理，有CCg十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在4上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CCC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30十80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)”展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2n-l,T=Cx-3(-√2)= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -22Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子，能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得n=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)1展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx(-2)'(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2.解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x的项为T=C肾x2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 架题意得到哈-子·将二项展开式的某项的系数与三 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5+3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1+x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,AA三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)≥C(2), 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C洁1(2)+1， 9 解得101-512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤≤1(i=1,2). 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项。 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PO=PAB)=高×号-高 第；台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(A AA) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP3-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-B)-号-号 +3P P:Ps. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(BA)的含 P(=2)=P(AAA)+P(AA:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PP: 抽到白球.而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP十PP-3PPP, P(=3)=P(AAA）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P)= 号 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-古成-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -PPP 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:P, 9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)×1+P(=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a=子 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9d-a十3-a=1,解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论 10更难包手细高中数学选择性必修第-册S> §2双曲线 2.1双曲线及其标准方程 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的定义及其标准方程 1.理解双曲线的定义. 难点：双曲线标准方程的推导及应用. 2.理解双曲线的标准方程. 口小01必备知识梳理。 基础梳理 刀划重点 知识点1双曲线的定义 (1)当0<2a<|F,F21, 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（大 动点M的轨迹是双曲线。 于零且小于|FF2)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双 (2)当2a=|F1F2,动点 曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 M的轨迹是分别以F1,F2为 (1)距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若F,F 端点，指向F1,F所在直线两 表示双曲线的左、右焦点，有两种情形： 侧的射线 ①若点P满足|PF2|-|PF|=2a(a>0),则点P在左支 (3)当2a>FF,,动点 M不存在，因而轨迹不存在. 上，如图1. (4)当2a=0,动点M的 轨迹为线段F,F2的垂直平 分线. 同敲黑板 (1)双曲钱的标准方程是 图1 图2 指在“标准”条件下的方程，即 ②若点P满足|PF|-|PFz|=2a(a>0),则点P在右支 焦点在坐标轴上，且中心为原 上，如图2. 点的双曲线方程 (2)双曲线的定义用集合语言表示为： (2)焦点F,F:的位置是 P=MMF-MF2=2a,0<2a<FF). 双曲线的定位条件，它决定了 知识点2双曲线的标准方程 双曲线标准方程的类型，“焦 点跟着正项走”，若x项的系 位置 标准方程 图象 焦点 焦距 数为正，则焦点在x轴上；若 y少项的系数为正，则焦点在 焦点 F(-c,0) y轴上. 在x 2e (3)在标准方程中，因为 轴上 (a>0,b>0) F2(c,0) a,b,c三个量满足c2=a2+ ,所以a,b,c恰好构成一个 78 第二章 圆维曲线收型 续表 直角三角形的三边且为斜 位置 标准方程 图象 焦点 焦距 边，如图。 焦点 F(0,-c) 在y a2-1 轴上 (a>0,b>0) F2(0,c) 重难拓展 司敲黑板 重难点1双曲线的方程 (1)对于方程Ax+By= 例口（多选题）若方程 ,千十片=1所表示的曲线为C,则 1,当A0,B0且A≠B时，它 表示椭圆，根据A,B的大小 下列命题中正确的是( 关系判断焦点所在坐标轴：当 A.若1<1<5，则C为椭圆 AB<0时，它表示双曲线，根 B.若t<1,则C为双曲线 据A,B的正负关系判断焦，点 C.若C为双曲线，则焦距为4 所在坐标轴。 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<1<5 (2)双曲线方程的通式为 面由题意可知，若方程千，十片1表示搭国：则满足 m.x2-y2=1(mn>0). 5-t>0. t-1>0, 解得1<t3或3t5. 5-1≠t-1, 当t=3时，方程x2十y2=2表示圆，所以A不正确. 当方程二，十一=1表示焦点在y轴上的椭圆时，满足 5-t>0, t-1>0, 解得3<15，所以D正确. 5-tt-1, 当t<1时，5一t>0,t一1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲 线，所以B正确 当1=0时，方程号-兰-1表示双曲我，此时双南线的线距 为2、6，所以C不正确. 答秦BD 重难点2与双曲线焦点有关的问题 1.焦点三角形 双曲线上的点P(x,%)与两焦点F,F2构成的△PFF2叫 作焦点三角形 79 更避包手细高中数学选择性必修第-册？S> 若n=|PF,2=|PF|,∠FPF2=0,△PFF2的面积为S, 刀提个醒 则在双曲线后一芳-1a>0,6>0)中，S= 0 点与双曲线位置关系的 tan 2 判断 2.共焦点的双曲线 双曲线是非封闭曲线，平 与双曲线后一芳-1(a>0,6>0)有公共焦点的双曲线方程 面内点P(xa,%)和双曲线 为。1(-aA<)】 a一京=1(a>0,b>0)的位 置关系如下： 3.焦点弦（过焦点的弦） =1,则点 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径 P(,%)在双曲线上 例②已知F,F2分别为双曲线C:x2一y2=1的左、右焦点， 点P在C上，∠FPF2=60°，则PFI|PF2=(). (2)若草-蓉>1，则点 a A.2 B.4 C.6 D.8 P(x,%)在双曲线内。 解析由双曲线的方程得a=1,c=、2,由双曲线的定义得 8)号-是<1.则点 PF-PF2=2. P(x%)在双曲线的两支 在△PFF中，由余弦定理得FF2|2=PFI2+PF2 之间. 21PF1IPF2|cos60°，即8=|PF1|2+|PF2I2-PFPF2|= (PF|-PF2|)+|PFPF2|=4+PFPF2,解得IPFI· PF2|=4. 答秦B 02关键能力提升。 题型方法 F2:x2十y-10x+9=0,动 题型1双曲线方程的探求方法 圆M与定圆F,F2都外切， 1.定义法 求动圆圆心M的轨迹方程。 利用双曲线的定义先求出a,然后由？ 解析圆F1:(x十5)2+y=1,圆心F(-5, c2一a2求出仔，从而求得方程. 0),半径n1=1. 在利用定义法时注意以下几点： 圆F2:(x-5)2+y2=4,圆心F2(5,0),半 (1)动点M是否满足双曲线的全部定义？ 径r2=4. (2)条件|MF|-IMF,|=2a与1MFI 设动圆M的半径为R,则有|MF|=R+ MF2|=一2a是否同时成立？ 1,MF2|=R+4, (3)焦点所在的坐标轴是否明确？ .|MF2|-|MF1|=3<10=|FF2l. 例3(2024·杭州学军中学单元测试)如 ,点M的轨迹是以F,F2为焦，点的双曲 图，已知定圆F1:x2+y2十10x十24=0，定圆 线的左支，且a=多c=5,于是份=2-心-明 80 第二章 圆维曲线么图型 故动国圆心M的轨迹方程为 解析]将，点A的纵坐标代入椭圆方程得 9 91 A(±√15,4)， ≤- 又两焦点分别为F(0,3),F2(0,一3)， 2.待定系数法 所以2a=N(15-0)2+(4+3)2- 先根据题意确定焦点在x轴上还是在y轴 W(/15-0)2+(4-3)2=8-4=4. 上，以便确定方程的形式，然后根据条件求出 所以a=2,=c2-a2=9-4=5. a,,即“先定形，再定量”.形即为两种方程的 形式，量即为a2,?的值. 所以双尚线的方程为-号-1 在利用待定系数法时注意以下几点： 题型2利用双曲线的标准方程求变量 (1)当焦点在x轴上时，双曲线的方程可 的值或取值范围 设为后一苦=1。>0，>0).然后由条件求出 例5(2024·武汉三中检测)方程 m2+1 a,b. +2y2 (2)当焦点在y轴上时，双曲线的方程可 m一—2-1表示双曲线，则实数m的取值范围 是 设为学养=1>0.6>0)，然后由条件求出 解析将双曲线方程化成标准方程为 a.b. x y2 (3)如果已知双曲线的方程为标准式，但不 m2+12-m =1,则2一m>0,解得m<2,故 知焦点所处的位置，也可把双曲线的方程设为 m∈(-co,2). m.x2一y=1(m>0),然后由条件求出m,n. 答案（一0∞，2）. (4)共焦点双曲线的设法 题型3双曲线定义的运用 与双商线号-若-1u>0,6>0)有公共 1.确定有关几何量的值 例⑥(2024·贵阳一中月考)设F,F2分 焦点的双曲线的方程可设为千入产入 别是双曲线C:x-苦=1(6>0)的左，右焦点， （一<<)：与双曲线号-系=1a>0,b> P是C上一点，若|PF|+|PF2|=6,且 △PFF2的最小内角为30°，则双曲线C的焦 0)有公共焦点的双曲线的方程可设为兰 a2+ 距为( ). -—A=1(-a2<<F). A.√2 B.2W2 C.3 D.23 解析不妨设P是双曲线右支上的一点， 例④(2024·北师大附中单元检测)设双 由双曲线的定义可知，|PF,|一|PFz=2a= 曲线与椭圆十芳=1有相同的焦点，且与椭 2.因为|PF|十PF2|=6,所以|PF|=4, 圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线 |PF:=2.因为a<c,且a=1,所以|FF2|> 的方程 2=|PF2.所以PF2为△PFF2的最短边， 81 更滩食手细高中数学选择性必修第一册S心 △PF1F2的最小内角为∠PFF2=30°.由余弦 |PN|2=PC22-=|PC22-1. 定理可得，|PF22=FF2|2十|PFP ..PM3-PN2=PC2-PC- 21F1F2|PF1|cos∠PFF2,即4=42+16 3=(|PC|+PC2|)(|PC|-|PC21)-3. 2X2X4X停整理得-2c+8-0,所以 ,P为双曲线右支上的点，且双曲线的焦 点为C,C2, c=√/3，所以|F1F2=2c=2、3. .|PC|-|PC2|=2. 答案D 又，IPC|+lPC2|≥CC2|=8(当P为 2.有关动点轨迹方程问题 双曲线的右顶点时取等号)， 例☑已知一动圆P过定点M(一4,0)，且 ∴.|PM2-PN2=(|PCI+IPC2I)· 与已知圆N:(x一4)十y=16相切，则动圆圆 (|PC|-PC2|)-3≥8×2-3=13. 心P的轨迹方程为( 即PM2-PN|2的最小值为13. A星--I>2 答案13. B普益-1<2) 题型4双曲线的实际应用 例9(2024·辽宁实验中学测试)某中心 c苦6-到 接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报 告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨 响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观 解析由题知PN|-PM|=4,2a=4, 测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是 2c=8,所以b=2、3.所以动圆圆心P的轨迹 1020m.试确定该巨响发生的位置（假定当时 方程为一1 的声音传播速度为340m/s,相关各点均在同 一平面上). [答案C 3.有关双曲线的最值问题 例8(2024·绵阳中学检测)已知过双曲 线r-若=1的右支上一点P分别向圆C: (x十4)2+y=4和圆C2:(x-4)2+y=1作 解析如图，以接报中心为原，点O,正东、 切线，切点分别为M,N,则|PM一PN2的 正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐 最小值为 标系.设A,B,C分别是正西、正东、正北方向 解析由已知得2=1+15=16，所以双曲 的观测点，则点A(一1020,0)，B(1020,0), 线的焦点坐标为（士4,0）. C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点，连接 圆C的圆心坐标为C(一4,0)，半径n= PA,PB,PC,AC,由A,C两处同时听到巨响 2,圆C2的圆心坐标为C2(4,0),半径2=1. 声，得|PA|=PC,故点P在AC的垂直平分 ,PM,PN分别为两圆的切线， 线PO上，PO的方程为y=一x ∴.1PM2=|PC12-7=|PCI2-4, ,点B比点A晚4s听到巨响声， 82 第二章 圆维曲线么型 ∴.|PB-PA=340×4=1360(m). 易错坐示 由双曲线的定义知，点P在以A,B为焦 ◆易错题14（错误率29%）已知F1(一5， 点的双南线后-普1的左支上 0),F2(5,0),动点P满足|PF1|一|PF2 依题意得a=680,c=1020, =2u,当a为3和5时，点P的轨迹分别是 b=2-a2=10202-6802=578000. (). y2 故双曲线的方程为462400578000=1. A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 又点P在y=一x上，将y=一x代入上式 C.双曲线的一支和一条直线 中，得x=±680√5. D.双曲线的一支和一条射线 ,1PB|>|PA|,.x=-6805, ◆易错题15（错误率30%）若方程 即点P(-680√5,680W5). 32 故1PO=68010m. 2一m十m-3=1表示双曲线，则实数m .巨响发生在接报中心的北偏西45°距中 的取值范围为 心680/10m处 参考答案见《全书易错题集》第4页 03-核心素养聚焦一。 考向分类 由余弦定理得|PF2=|PA2+|AF|2一 考向1双曲线的定义及应用 2PA|AF|cos∠PAF,即(17-IPA|)2= 例1D(经典·全国【卷)已知F是双曲 1PA+1F-2PA×15×器，解得PA= 线C:-首=1的右焦点，P是C的左支上一 10,于是Sam=2PA1 IAFl sin∠PAF= 点，A(0,6V6).当△APF的周长最小时，该三 角形的面积为 2×10X15×4后-=126. 25 解析如图，由已知得 [答案12V6. a=1,c=3,则F(3,0),AF 命题意图：考查双曲线的定义以及化归 =15.设F是双曲线的左焦 命题规律能力 点，连接PF,AF,根据双曲 真题探源：结合教材P59相关知识命制 线的定义有|PF一|PF|=2,所以|PA十 常考题型选填题难度系数0.5高考热度 PF=PA+PF+2>AF+2=17. ★★ 当点P是线段AF!与双曲线的交，点时，上式取 核心素养 逻辑推理、直观想象 素养水平水平二 等号，此时PA+|PF=PA+PF十2最 考向2双曲线的标准方程及应用 小，即△APF的周长最小，此时n∠0AF-吉 例11(2020·全国1卷)设F1,F:是双 ∠PAF=2∠OAP,所以cOs∠PAF=1 曲线C:x-苦-1的两个焦点，0为坐标原 2ain∠0AP-器进而求得m∠PAF-4看 25· 点，点P在C上且|OP|=2,则△PFF2的面 83 更难食手细高中教学 选择性必修第一册？SD 积为( 食题演练 B.3 1.(2021·金国乙卷，考向1)双曲线 c号 D.2 苦-1的右焦点到直线x+2y一8-0的距离为 解析方法一由题意知a=1,b=13, 2.(经典·浙江卷，考向1)设双曲线x2一 所以c=√a2十=2，则|FF2=2e=4. 又OP=2=FR,所以△PFF是 营=1的左有焦点分别为F,若点P在双 曲线上，且△FPF2为锐角三角形，则|PF+ 以P为直角顶点的直角三角形， |PF2的取值范围是 于是得PF12十|PF2|=|FF2|2=16. 3.(2019·全国Ⅲ卷，考向2)已知F是双 由双曲线的定义得|IPF,|一|PF2|| 2a=2, 曲线C:着-普=1的一个熊点，点P在C上， 两边平方得PF1|+PF22-2PF1|· O为坐标原点.若1OP|=|OF1,则△OPF的 PF2=4,所以PFPF2=6. 面积为( SAm,r.=2IPF:lIPF:I=2X6=3. A昌 c n昌 4.(经典·全国1卷，考向2)已知方程 方法二设F1,F2分别为双曲线C的左、 2? 2 右焦点，则由题意可知F1(一2,0)，F2(2,0), m2+n 3m2-n =1表示双曲线，且该双曲线两 OP=2,所以|OP=|OF|=|OF2I, 焦点间的距离为4，则n的取值范围是( 所以△PF,F2是直角三角形，所以S△m,F A.(-1,3) B.(-1,3) 6 =3(其中0=∠F1PF2). C.(0,3) D.(0,/5) 0 tan 45 tan 2 5.(经典·全国I卷，考向2)已知M(x, 答案B )是双曲线C:号-了=1上的一点，5,5 命题意图：主要考查双曲线方程的求法 是C的两个焦点，若MF·MF<0,则的 命题规律真题探源：结合教材P61练习2的相关知 取值范围是( 识命制，考查数形结合的能力 A(-) R(- 常考题型选填题难度系数0,6高考热度★★★ 核心素养 逻鲜推理、直观想象 素养水平水平二 c(-2, D.(-25,23 33 -04学业质量测沙。 A 基础过关练 测试时间：20分钟 A.1 B C.4 D.10 1.[题型2](2024·武汉洪山高中检测)已知双 2.[题型3]半径不等的两定圆O,O2无公共点 曲线二g+亡。 =1的焦点在x轴上，若该 (O,O是两个不同的点)，动圆O与圆O, 双曲线的焦距为4，则a等于(). O2都内切，则圆心O的轨迹是(). 84 第二章 圆维曲线么图型 A.双曲线的一支 综合提能练 测试时间：30分钟 B.椭圆或圆 7.[题型1、3]如图，F,F y C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆 分别是双曲线三-兰 a2 3.[题型2](2024·重庆一中测试)“mm<0”是 =1(a>0,b>0)的左、 “方程mx2+ny2=1表示双曲线”的( 右焦点，过点F(一7， A.充分不必要条件 0)的直线（与双曲线的左、右两支分别交于 B.必要不充分条件 A,B两点.若△ABF2为等边三角形，则双曲 C.充要条件 线的方程为( D.既不充分也不必要条件 B若-y=1 4.[题型3已知在双曲线号一号=1左支上有一 点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF C-苦-1 n器-y-1 的中点，O为坐标原点，则OV等于( 8.[题型3](2024·人大附中测试)已知点P在 A.4 B.2 C.1 n号 曲线C:后-号=1上，点Q在曲线C: 5.[题型3]已知椭圆后+苦=1和双曲线号 (x+5)2+y=1上，点R在曲线C3:(x一 5)2+y2=1上，则|PQ1-PR的最大值是 y2=1的公共焦点为F,F2,P是两曲线的 ( ). 一个交点，那么cos∠FPF2的值是( A.6 B.8 C.10 D.12 A.3 B号 c 9.[题型2]已知双曲线-上=1(m>m>0) m n 6.[题型1]求适合下列条件的双曲线的标准 和椭圆号+号=1有相同的焦点，则十日 方程： 的最小值为(). (1)a=25,经过点A(2,一5)，焦点在y轴上： A.2 B.4 C.6 D.9 (2)与椭圆号+若-1有共同的焦点，且它 10.[题型2、3](2024·湖北孝感高中检测)若 们的一个交点的纵坐标为4. 椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两 个焦点F,F2的距离之比为2：1，且存在 △PFF2,则称此椭圆或双曲线存在“O 点”.下列曲线中存在“Ω点"的是( c2-若=1 D.x2-y2=1 1.[题型2]已知双曲线C:若-旷=1(a>0) 与圆x2+y=4恰好有2个不同的公共点， 85 更滩点手细高中数学选择性必修第一册 ?SD F是双曲线C的右焦点，过点F的直线与 (1)建立适当的坐标系，并求可疑舰艇所有 圆x2十y=4相切于点A,则点A到双曲 可能出现的位置的轨迹方程； 线C左焦点的距离为( (2)在A,B两处舰艇对可疑舰艇攻击后，C A.B5 处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察 C.5 D./17 攻击效果，则无人机飞行的最短距离是 12.[题型2、3](2024·武汉三中月考)（多选 多少？ 题)已知0为坐标原点，P为双曲线 蒂-1右支上的一个动点（不经过顶点）， F,F2分别是双曲线的左、右焦点， △PFF2的内切圆的圆心为I,过点F2作 FA⊥PI,垂足为A,则下列结论正确的是 (). A.I在定直线上 S△FE为定值 B S△FF C.OA|为定值 D.AP为定值 13.[题型2](2024·海南中学月考)已知方程 二，+，片-1表示的曲线为C给出以下 四个判断： ①当1<1<4时，曲线C表示椭圆： ②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线； ③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 1<8: 培优突破练 测试时间：10分钟 ④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线， 15.[题型1、3](2019·浙江大学自主招生)已 则>4. 知△ABC的顶点A(-p,0),B(p,0),其内 其中正确的是 (填序号). 心在直线x=q上，且p>q>0,则顶点C的 14.[题型4门(2024·南京外校检测)中国海军 轨迹方程为 在某次演习中派出3艘舰艇，某时刻三艘 16.[题型3](2018·全国高中数学联赛福建赛 舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静 区预寒)已知F,R分别为双曲线C:号 止的点)，如图，OA=OB=OC=3,假设可 疑舰艇在某处发出信号，A点接收到信号 -1的左，右焦点，点P在双曲线C上，G 的时间比B点接收到信号的时间早（注： 分别为△FPF2的重心、内心，若GI∥x轴 信号的传播速度为)，C处舰艇保持静止 则△F,PF2的外接圆半径R= 86两边同时除以a2并化简，得2+e一1<0，解得 所以MB=NQ=8, -51<6又0<<，0c<6 可得点Q的坐标为(6,8)，如图 2 3所示. 12.1)由0<m<5知a=5,b=m,则e=1-(么） 直线AQ的方程为8x一11y+ 40=0,根据点到直线的距离公 √答=解得m或m=一（合去 图3 式可得P到直线AQ的距离 5 所以椭圆C的方程为号 y =1, d=8X(-3)-1×1+40= () √8+11 185 根据两点间的距离公式可得 AQ=/(6+5)+(8-0)=/185, (2)不妨设P,Q在x轴上方，过 所以△APQ的面积为2×√I85×5 点P作x轴的垂线，垂足为M, 设x=6与x轴交点为N,如图 综上所述，△APQ的面积为亮. =6 1所示. 图1 14.(1)设B(x,y),则P(y一5，-5-x),代入C的方程 A(-5,0),B(5,0).BPI=|BQ,BP⊥BQ,∠PMB 得B的锁迹方程为y-5》+士5=1. ∠QNB=90, 9 4 因为∠PBM+∠QBV=90°，∠BQN+∠QBN=90°， (2)如图，连接QF,PQ+|PF≥QF1=√18+65 所以∠PBM=∠BQN,则△PMB≌△BNQ =13(/5+1)2=15+3. 所以1PM=BN1=6-5=1. 设右焦点为F,连接PF,QF 设点P的坐标为(.xr),可得=1， IPQ+PFI=6+PQI-PF'<6+QF1=6+ 将代人号+1紧=1， 118-65=6+√15-5. 可得xn=3或xp=一3， 故PQ1十|PF的取值范围为V5+3,6+/5-√. 即点P的坐标为(3,1)或（一3,1）. ①当点P的坐标为(3,1)时，MB=5-3=2, 由△PMB2△BNQ,得|MB|=INQI=2, 可得点Q的坐标为(6,2)，如图 2所示， P Q §2双曲线 则直线AQ的方程为2x一11y 2.1双曲线及其标准方程 36 +10=0. 真题演练 图2 根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离 1.5. 4=12X3-1×1+101=55 2.(2v7,8. 提示：由题意，不妨设点P在双曲线的右 /2+11 √1255 支上，∠FPF=00<0<90),则 根据两点问的距离公式可得 PF+PE=VOPF-PFD2+4PFPF 1AQ1=v(6+5)+(2-0)严=55. 24 所以△APQ的面积为号X55×号-是， =4+1-cos0 3 ②当点P的坐标为(-3,1)时，MB=5+3=8 现考虑两种极端情况：当PF⊥x轴时，cOs0= 5 19 PF+|PF2|有最大值8：当0=90时，|PF|+ “方程mx十y=1表示双曲线”的必要条件.综上可 PF:|有最小值27.因为△F,PF为锐角三角形，所 得，“mm<0”是“方程m.2十y2=1表示双曲线”的充 以PFI十PF2的取值范围为(2、7,8). 要条件. 3.B提示：因为2=a+=9,所以OP=1OF1=3.设 4.A提示：如图，设双曲线的左焦点为F.,O,N分别 点P的坐标为(xy),则x2+y=9,把x=9-y代入 是线段F,R,MF的中点∴ON=之MF. 双曲线方程得=号所以S件=210F1y=号 又：MF-lMF,=2a=10,.|MF1=MF1- 4.A提示：由题意得(m十)(3m2-)>0,解得-m2< 10=18-10=8..10W1=4. <3.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2十 n十3m2-n=4,即m=1,所以-1<1<3. 5.A提示：由双曲线的方程知F,(一3,0)，F(W5,0), 从而Mf=(-3-0,一为)，MF=(3-0,一%)， 5.A提示：不妨设点P在第一象限，F,F。分别为左、 即MF·MF=后一3+5.又点M(,w)在双曲线 右焦点，因为点P在椭圆上，所以|PF|十PF| 上，所以号-=1，即店=2+2.所以M· 26.又点P在双曲线上，所以1PF,|一|PF1=23, MF=2+26-3+=36-1<0,故-图 两式联立，得|PF1=6+3,PF1=6一3. 学业质量测评 又FR=4,根据余弦定理可以求得as∠FPR,=合 1.C 6.(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标 2.D提示：两定圆O,O无公共点，则它们的位置关系 是外离或内含.设两定圆O,O2的半径分别为n,2 准方程为亡一无=1(a>0,b>0).由题设知a=2 (>),圆O的半径为R.当两圆O,O外离时， a=25, 且点A(2,一5)在双曲线上，所以 1O01=R-n,10O=R-r,.100|-101 n一n<1OO|,此时圆心O的轨迹是双曲线的一支： a2=20, 当两圆O,O内含时，OO|=n一R,00|=R-n, 解得 F=16. .1O0,+10O=n-n>OO|,此时圆心O的轨 迹是椭圆。 故所求双曲线的标准方程为号希-1。 3.C提示：因为0，所以m,n均不为0且异号，方程 (2)易知椭调号+需-1的两个焦点为R(0,一3。 mr+y=1可化为工 =1.因为品与异 1 m n F(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(、15,4) 号，所以方程工 星十义三1表示双曲线，故“m<0”是 (或(-√/15,4) 1 m 设双曲线的标准方程为号一若=1。>0，>0.则 “方程mx十y=1表示双曲线”的充分条件：反之，若 49 (/15) =1, （a2=4. m2十y-1表示双曲线，其方程可化为左+ y 解得 1 2=5. a2+=32, 1,则可知与异号，则必有mm<0,枚“mm<0”是 故所求双曲线的标准方程为号-号=1. 20 7.C提示：根据双曲线的定义有AF一AF=2a,① LD提示：因为双曲线C号-旷=1a>0)与圆F+ |BF,|-BF=2a,@ y2=4恰好有2个不同的公共点，所以2=4，即双曲 由于△ABF为等边三角形，则AF2|=AB=BF1, ①+②，得1BF|-|AF=4a, 线C的方程为号-y=1,所以F5.0.因为过点F AB=AF=BF:=4a,BF=6a. 的直线与圆x2+y=4相切于点A,所以|AF|= 又∠FBF=60,所以(2c)=(6a)2+(4a)产-2×6a× 1(W5)2-22=1, 4如×号，即7a=C=7,解得d=1,则=C-d=6. 所以Sae=号1A01·AF=号×2X1=1. 所以双曲线的方程为2 61 过点A作AB⊥x轴于点B,则S6YF=AB· &C提示：不幼设G:后-苦-1的两个焦点分别为 0OF,所以AB=后0B=后即A(合 F(-5,0)与F(5,0),且PF|-|PF|=8,而这两 点正好是两圆(.x+5)2十y2=1和(x-5)2+y2=1的 看)，所以A到C左焦点(-后，0)的距离为 圆心，两圆(x十5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径 分别是2=1，n=1,所以|PQ=1PF1十1， 信+)+( =/17 |PR=PF:|一1，所以|PQ|一|PR的最大值为 12.AC提示：设△PFFg的内切圆在PF,PF2,FF (PF|+1)-(|PF1-1)=|PF|-|PF1+2=8+ 上的切点分别为D,C,B,连接B,如图所示. 2=10. 9D提示：易知椭圆写+号-1的熊点在x编上，且 =5-4=1.:双曲线兰-兰=1(m>n>0)和椭圆 加程 + =1有相同的焦点，“m十n=1(m>>0). F OY B ∴+-（+）m+=5++≥5+ 设切点B的坐标为(，0)， PF-PF:I=IPDI+IDF-PCI-ICF:I 2八票受-，当且仅当品-兴即m=号m=司 =BF-BF:=(c+m)-(c-m)=2m=2a, 时取等号。÷十品的最小值为9 ·a一，即B为双曲线的右顶点， 内切圆圆心为1，B⊥x轴， 10.D提示：假设|PF|=2|PF1,若是椭圆，则 内切圆圆心I在直线x=a上，故A正确： 1PF|+|PF|=2PF:|+|PF1=31PF|=2a,即 PR,=号，PF:=号：若是双曲线，则PF m(+PR:1+IFE D)r- PF:=2PF:-PF:=PF2=2d,PF= 之PF.+PR:)r十crr为内切圆半径. 4a,PF:=2a.可以验证，对于选项A,B.C,上述条 S,=FR·r=m 件下的数量关系都不能保证构成△PFF:,只有选项 D,由于4=1，c=2,所以PF1=4,PF21=2, ∴3长不是定值，故B错误： FF=22构成三角形.即存在“Ω点”的曲线是 设FA与PF,相交于点E, x2-y2=1. PA为∠FPF的角平分线，.△PEF为等腰 21 三角形， 当为=号时.MC1=8=22 .PE=PF:AE=AF .PF-PF=IPEI+IEF-PF=EF 所以无人机飞行的最短距离是2，②. =2a, yp-y =1(x>q. OA为△EF,F的中位线， 提示：设△ABC的内心为点G, “OA=号EF=a,即OA为定值，故C正确： 过点G作AB,BC,AC的垂线， A OD BE .A为圆x+y2=a在y轴右侧上的动点，P为双 分别交AB,BCAC于点D,E,F,如图，则CE=CF, 曲线导一芹-1右支上的一个动点，结合图易知AP AD=AF.BD=BE. 由题意可知D(q,0),则AD=+q,BD=p一g 不是定值，故D错误 所以AC-BC=AD-BD=2g, 13.②③0.提示：①错误，当1=号时，曲线C表示圆： 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支 ②正确，若C为双曲线，则(4一1)(t一1)<0，∴1< (除去与x轴的交点)， 1或>4：③正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 因为OA=, 则4->1->0,1<1<受：④正确，若曲线C 所以碳点C的轨凌方程为号，产7=1>。 14一t0, 16.5。提示：由已知得F1(一4,0).Fe(4,0) 为焦点在y轴上的双曲线，则 ∴.t>4. 11-1>0, 如图，不妨设P(x·)在第一象限，由G,I分别为 14.(1)以AB所在直线为x轴，COC所在直线为y轴，建 △FPF的重心、内心，GI∥x轴，得△FPF的内 立如图所示的平面直角坐标系。 切圆半径r一3，则Sm一合(PF,+PF+ FF)r=号(PE+PF:+8)·3 设可疑舰艇的位置为P(x,y),由题意可知PB PA=×音=4.AB=6,又46，因此P点的轨 迹是以A,B为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，故 2a=4,c=3,所以a=2,=J5, 又Sam5=2FF:·w=4%, 所以所求的轨迹方程为号-苦-1（≤一2》， 所以号(PE+PF,+8)·号=4， (2取曲线听-苦-1(x≤-2)上任意一点M· 化简得|PF+|PF1-16. 0≤-2》，于是一号-1，即=+4， 又PF1-|PF1=4,则PF1=10,PF:1=6. 5 由题意知，求出M,C间的最短距离即可， 由此可得|PF,P=|PF:+|FFF,因此PF⊥ 1MC1=√(-)+(3-%) F,F,所以△F,PF的外接圆半径R=号PF,=5, =V号6+4+9-6w十 2.2双曲线的简单几何性质 真题演练 √号(6-)+8。 上D提示：因为双曲线后一若-1的离心率为5，所以 22