第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

重滩台手册高中数学选择性必修第-册？S> 1.2椭圆的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：椭圆的几何性质。 1.掌握椭圆的简单几何性质 难点：椭圆的几何性质的应用 2.掌握椭圖的简单几何性质的应用 01必备知识梳理， 基础梳理 国敲黑板 知识点1椭圆的简单几何性质 对椭圆的范围及顶点的 L,椭圆的基本性质 进一步认识 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (1)椭圆是有界的封闭曲 y 线，解题中要注意椭國上，点的 B A 坐标x,y的取值范国. 图形 F (2)椭国的焦点必在它的 B. 长轴上 (3)要明确a,b,c三者的 标准 + +后 几何意义：a是长半轴长，也 方程 (a>b>0) (a>b>0) 是短轴端点与焦点所连线段 的长，b是短半轴长，c是半焦 一a≤x≤a且 一b≤x≤b且 范围 距.a,b,c恰好构成一个直角 -b≤yb -a≤y≤a 三角形的三边长（如图），其中 A1(-a,0),A2(a,0), A(0,-a),A(0,a), a是斜边长，a>b.a>c,且 顶点 B1(0,-b),B2(0.b) B1(-b,0),B(b.0) a2=6+c (4)已知箱圆的四个顶 轴长 短轴的长为2b,长轴的长为2a 点，可以使用几何作图，找出 焦点 F(-c,0),F2(c,0) F(0,-c),F(0,c) 其焦点，方法是以短轴的端，点 焦距 FF:=20 B,(或B:)为圆心，以a为半 对称性 关于x轴，y轴对称，(0,0)为对称中心 径作弧交长轴于两点，这两点 离心率 =11-0<1D 就是该椭國的焦点 a 2.对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点（即最小 值为短半轴长b),到中心距离最大的点是长轴的两个端点（即最 大值为长半轴长a). 68 第二章 圆维曲线收型 (2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点， @刀提个醒 即最大值为a十c,最小值为a一c, (3)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆 10e=￡，由于a>c>0, 的通径，通径长等于2 所以0<e<1. (2)椭圆的离心率对椭回 (4)如图，设椭圆的中心为O,其中一个焦点为F2,B:是短轴 的一个端点，则|B2F2|=a,e=cos∠OF2B2. 形找的影响：精国导十带 1(a>b>0)的长半轴长为a, 当c越接近于a,b就越接近 A FO 于0，这时箭圆就越扁：当C越 接近于0，b就越接近于a,这 时椭圆就越圆. 重难拓展 用离心率e来刻画上述 重难点1 椭圆的离心率 关系：当c越接近于a,e= a 求椭圆的离心率或其范围的两种方法： 就越接近于1，椭圆就越高：当 (1)定义法：根据条件求出a,c,直接利用公式e一。求解。 c越接近于0，e=二就越接近 a (2)方程法：根据条件得到关于a,b,c的齐次等式（不等式） 于0，椭图就越围.当且仅当a 结合b=a一c2转化为关于a,c的齐次等式（不等式），然后将该 b时，c=0,这时两个焦，点重 齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2,转化为关于e或e2的方 合，图形变为圆，它的方程为 程（不等式），解方程（不等式）即可得e(e的取值范围). x2十y2=a2。要注意：国和椭 例工已知F,F2分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一 圆是两种不同的曲线，圆不是 点.若PF⊥PF2,且∠PF2F1=60°，则C的离心率为() 椭圆的特殊情况： (3)如图，在Rt△OBF A1-3 2 B.2-√/3 中，BF=a,FO引=c,则 cI e=C=sin:在△MF,F2中， D.3-1 2c FF 解析在Rt△PFF2中，∠PF2F1=60°， -2=IMF,T+MF:' 不妨设椭圆的焦点在x轴上，且焦距FF2=2,则|PF2|= 1,|PF=、3. 由精圆的定义可知，在方程兰 +若-1中，2a=1+v3,2c=2. (4)椭圆的扁圆程度由离 29c=1. 解得a=1十 心率e的大小确定，与精圆的 焦点位置无关。 所以高心率一日品6-1 答案D 69 重随手细高中数学选择性必修第一册？S 重难点2椭圆的其他几何性质的挖掘 国敲黑板 1.椭圆的焦半径 利用椭圆的焦半径分析 椭圆C导+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.设 椭圆中的三类最值问题 点P)是椭圆C上任意一点，则等+源-1，即哈-(1 设精国后+芳=1a> >0)的左、右焦点分别为 .所以PR=vo++-a++1-= F(-c,0),F2(c,0),P(o, )是椭圆上任意一点 V(a十exo)2=|a+exo. 1.由椭圆的焦半径公式 由xo∈[-a,a]知a十e.x>0,即|PF|=a十exo. 知PF,=a+exo,|PF2|= 同理可得PF2=a一exo. a一eto,又一a≤x0≤a,则 即椭圆后+若-1(a>6>0)上的点P(,)相对于左，右 PFiIm=a+c,PFi lmomn= a-c,PF2 lmx=a+e,PF2 lomn 焦点(F,为左焦点，F2为右焦点)的焦半径分别为PF,|=a+ =a一C.即椭圆上的点到焦点 exo,PF2=a-exo. 的最大距离为a十c,最小距离 椭圆+后-1a>6>0)上的点P()相对于下，上焦 为a一c(当且仅当x=士a, 即点P在长轴的相应端点时 点(F为下焦点，F2为上焦点)的焦半径分别为PF|=a十eyo, 取得，这两个，点分别称为“远 PF2=a-eyo. 日点”和“近日点”) 2.椭圆的通径 2.由|PF=a+exo, 过椭圆的焦点且与长轴（即焦点所在的轴）垂直的直线被椭 |PFz|=a-exa知|PF|· 圆酸得的弦叫作椭圆的通径对于椭圆后十芳=1(>6>0)，将 |PF=a2-e2x.又0≤x≤ a,故(PF·|PF|)=a2 e代人得y=r1-导)- 即1y-如图，MN-2 (当且仅当x=0,即点P在 短轴端点时取得)，(PF· 即为椭圆的通径. PF:)m=b2(当且仅当xo= 士a,即点P在长轴端点时 取得). 3.PF·PF=x6+6(1 3,椭圆上到中心距离最远和最近的点 a+-2,因 设点0为坐标原点，点P(x,)为椭圆 62 =1(a 为0≤x瑞≤a,所以(PF· >0)上任意一点，则1P01=V+5%=√诺 5(a2-x话)= PF2)=(当且仅当x a 士a,即点P在长轴端，点时取 √c2x+a2 得)，(PF·PF)=6- (当且仅当x=0,即点P在 又一a≤xo≤a,则当xo=0时，|PO引有最小值b,这时点P在 短轴端点时取得)， 短轴的端点处；当xo=士a时，|PO有最大值a,这时点P在长轴 70 第二章 圆维曲线么型 的端点处.即椭圆上的点到其中心的最大距离为长半轴长α，最小 距离为短半轴长b. 例B已知椭圆C:号+若=1u>b>0)的左，右焦点分别为 卫提个醒7 无论焦，点在x轴上还是 F,F,过点F作斜率为的直线交椭圆C于一点P.若PF⊥ 在y轴上，椭圆的通径长均为 FF2,则椭圆C的离心率为 26 解折1EF:=2c,由PF⊥FR知PF,= 又直线P所的针率为分明尉-台即受-宫 整理得2十ac-a2=0,即e2十e-1=0, 解得=5,1成=-51（舍去. 2 答案51 2 重难点3点差法 冒敲黑板 1.有关弦中点的问题 对于弦中点的问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求 若A出为描国后+苦 解.在用“根与系数的关系”时，要注意前提条件△>0：在用“点差 1(a>b>0)的弦，A(,y). 法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交 B(x必)，弦中点Mzh).则 2.用“点差法”求解弦中点问题的步骤 直线AB的斜率如=一行西 (1)设弦的两个端点坐标为A(x1,y),B(x2,y2). (2)代入圆锥曲线得两个方程，相减得到弦中点坐标与弦所 即kw·kw=一 熟练掌揽 在直线斜率之间的关系. 这个结论对快速解决与弦中 在处理直线与圆锥曲线相交弦中点的有关问题时，一般采用 点有关的问题很有帮助. “点差法” 例B已知AB是椭圆后+芳-1（公>b>0)不垂直于x轴的 任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和 直线OP的斜率之积是定值. 证明设A(x1,y),B(x2y2)且x≠r2 则+-1,0浮+-1@ 由①-②得二道-听二道】 a 所以山二业=_（十x2) `x1-x2 a2(y1+y2) 71 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？S> 所以k出=当二业=一（十2） x1—T2 a(y1+y2)1 又=4士兴，所以k=-E·1 x1十x2 a‘k 所以kkop= 仁（定值 -02关健能幼提升。 题型方法 解得x=a土√a2-2】 题型1求椭圆离心率的大小与范围 由于点M在第一象限， 1.求椭圆的离心率 所以x=a一va2-2b 求椭圆离心率的值，关键是要找到a,b,c 由3MF2|=|NFz|,得|MN=2MF2|, 之间所满足的关系式，这就需要利用图形的直 即2c=2(a-√a2-2b), 观性，充分挖掘它的隐含条件，寻求a,b,c之间 又因为b?=a2一c2,所以c2十2ac一2a2= 所满足的等式， 0.所以(}+名-2=0，即2+2-2=0. 例4(2024·北京八中检测)设椭圆C: 言+首=1a>6>0)的左，右焦点分别为F 解得e=-1十v3或e=-1-√3（舍去）. 答案B F2,点M,N在椭圆C上（点M位于第一象 2.求椭圆离心率的取值范围 限)，且点M,N关于原点O对称，若|MNI= 求椭圆离心率的取值范围，关键是寻找关 |FF2,√3MF2=|NF21,则椭圆C的离心 于a,b,c的不等式，这就需要利用椭圆上的点 率为(). 的横、纵坐标以及角的取值范围、判别式、均值 A./2-1 B.3-1 定理等来构建不等式，从而求出e的取值范围. 例5(2024·武汉二中月考)已知椭圆C: c号 n号 三+芳=1(a>6>0,A,B是其长轴的两个端 [解析根据题意可作 点(A位于B的左侧)，若椭圆上存在一点Q, 图如图所示 使∠AQB=120°，求椭圆C的离心率e的取值 因为|MN|=|FF2|, 范围。 线段MN,FF2互相平分， 解析设Q(x,y), 所以四边形MFNF2是矩形，其中∠FMF 则a十aaa Γ2 由对称性，不妨设y>0,于是∠AQB是 设MF2|=x,则MF|=2a-x. QA到QB的角， 在Rt△MFF2中，|MF12+|MF2|2 y FF2|,即(2a-x)2+x2=4c2, ·tan∠AQB=T-ax+a 2ay x2+y2-a21 整理得x2一2a.x十2=0， 1+ x-a 72 第二章 圆维曲线么出型 :∠AQB=120°， 题型3椭圆的最值问题 2ay 小x+-a=一3 与椭圆有关的最值问题具有较强的综合 性，涉及数学的多个知识点，如几何、三角函数 整理得3(.x2+y2-a2)+2ay=0.① 等，亦与椭圆的定义、方程联系紧密，对思维能 力要求比较高. “联立①②可得1-)y+2ay=0. 例7(224·长郡中学检测)已知椭圆号+ 2ab 普-1的左焦点为R,右顶点为A,点M的横 y≠0，y 3c2 坐标为号，设线段MF与椭圆交于点P,直线 又y≤b, ,2ali h 3c2 PA,MA的斜率分别为k1,k2,则kk2的取值 ∴.2ab≤3c2.∴.4a2(a2-c2)≤3c 范围是 .3c+4a2c2-4a≥0， 解折如图，设P().M号)，因为 即3e+4e2-4≥0， F(一2,0)，A(3,0),所以直线PF的方程为 解得≥号或<-2合去. v年2+2. 题型2根据椭圆的几何性质确定椭圆 的方程 例⑥已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长 令x= 得n=2即M号 轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0),则该 13y 椭圆的标准方程为 22于是得=g 3k=30+2) 解析设椭圆的标准方程为工+Y=1 136 71 所以k1k一3(-3)(x+2)° ① (m>0,n>0,m≠n). 由点P在精圆上，得6=号(9一)，代入 2510 =1, 25+0=1, 由题意得 m n 或mn ①得=00-3品十×号（9-6) 13 2m=5×2√m2n=5×2m, m=25,.m=25, 1+十 解得 或 n=1 n=625. 因为点P是线段MF与椭圆的交点， 故所求精圆的标准方程为后十了=1或 则点P只可能在直线x=一2的右侧且异 于点A,即x0∈(-2,3)， 所以1十2>号故<一 答案 25+y=1或+x 625+25=1. 26 73 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？S> 题型4椭圆方程在实际生活中的应用 解析 2+2 设轨道方程为 =1(a>b> 1已知椭圆后+若-1(a>6>0,其两 0),c=√a2-b. 焦点坐标分别为(c,0),(一c,0),则由一焦点射 ,a+c=800+34,a-c=8+34, 向椭圆上任一点的光波或声波经该椭圆反射 ,∴.a=438,c=396, 后必经过另一焦点.椭圆所具有的这一独特的 于是b=a2-c2=35028. x2 光学性质在现实生活中有着广泛的应用， y 轨道方程为191844十350281. (2)求解此类问题的关键是通过建立平面 设变轨时探测器位于点P(xo,y%), 直角坐标系，将问题归结为求椭圆的标准方程 则x话+y%=ab81975.1, 问题.有关椭圆的问题应注意如下结论：“椭圆 上的点到一焦点的最大距离和最小距离分别 又191844+35028-1， 为a十c,a一c” 解得xo≈239.7，%≈156.7（由题意知 例8(2024·华师一 x0>0,%>0). ∴.探测器在变轨时与火星表面的距离为 附中单元检测)我国计划发 A五 w(x一c)2+6-R≈187（百千米）. 射火星探测器，该探测器的 .探测器在变轨时与火星表面的距离约 运行轨道是以火星（其半径R约为34百千米） 为187百千米 的中心F为一个焦点的椭圆.如图，已知探测 易错警示 器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离约为8百千米，远火星点 ◆易错题12（错误率33%）若椭圆， +8+ (轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面 -1的离心率e=求k的值， 9 的距离约为800百千米.假定探测器由近火星 ◆易错题13（错误率30%）若直线y 点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距 离为ab百千米时进行变轨，其中a,b分别为 kx+1(∈R)与椭圆号+片-1恒有公共 椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与 点，求实数m的取值范围。 火星表面的距离（精确到1百千米） 参考答案见《全书易错题集》第4页 03-核心素养聚焦一。 考向分类 别为e1,e2.若e2=3e1,则a=(). 考向1求椭圆离心率的大小或范围 B.2 C.5 D.6 例9(2023·新课标I卷)设椭圆C1: 若+y=1(a>1).C:着+y=1的离心率分 解析由题意得e=va】,e 2 74 第二章 圆维曲线么出型 -又。=5a,则-。巨解4 命题意图：考查椭圆的几何性质的应用 命题规律 真题探源：由教材P55练习3改编 25(负值含去： 选填题、 常考题型 难度系数0.4高考热度★★★★ [答案A 解答題 核心素养 逻辑推理，直观想象 素养水平水平一 命题意图：考查椭圆的离心率 命题规律 真题探源：由教材P56B组第1题改编 真题演练 常考题型选填题难度系数0.7高考热度★★★★ 1.(2023·新课标Ⅱ卷，考向2)已知椭圆 直观想象、逻辑 C写+y=1的左，右焦点分别为，R,直线 核心素养 素养水平 水平二 推理、数学运算 y=x十m与C交于A,B两点.若△FAB的面 考向2由椭圆的几何性质求方程 积是△F2AB面积的2倍，则m=( 例10(2022·新高考全国1卷)已知椭 A号 R号 c-9 n-号 圆C号+芳=1a>6>0).C的上顶点为A, 2.(2021·全国乙卷，考向1)设B是椭圆 两个焦点为F,F,离心率为2过点F,且垂 C号+芳=1o>6>0)的上顶点，若C上的任 直于AF2的直线与C交于D,E两点，DE= 意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的 6,则△ADE的周长是 取值范围是( 解析设F,F2分 A[停. B[2) 别为椭圆的左、右焦点， 点D在点E上方，由离 c.(o. D(o,2引 心率知a=2c,则b= 3.(2018·全国卷Ⅱ，考向1)已知F,F √3c,所以∠AFO=60°. 因为DE⊥AF2,所以∠DFO=30°，代入焦点 分别是椭圆C:号+芳-1a>>0)的左，右焦 弦公式DE=。一20得袋=6，解得 2ab 点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率 为号的直线上，△PF,R:为等腰三角形， c-总a=只所以点A(0,18).如图连接 ∠FF2P=120°，则C的离心率为( AF1,AD,易知AF|=|FF2|=2c,又DE A号 B司 c AF2,故DE为AF2的垂直平分线，则|AD= 4.(2022·新高考全国Ⅱ卷，考向2)已知 FD,|AE=|FE,于是△ADE的周长为 DE+AD+AEI=DE+FD+ 直线1与椭圆后十芳=1在第一象限交于A,B F2E=DE+2a-FD+2a-FE= 两点，l与x轴、y轴分别交于M,N两点，且 DE+4a-DE=4a=13. MA=|NB,MN|=2√/3，则直线l的方程 答案13. 为 75 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？S> -04学业质量测评。 A 基础过关练 测试时间：20分钟 6[题型2]设桶圆C,号+芳=1(a>6>0y过 1.[题型1](2018·全国I卷)已知椭圆C: 三+号-1的-个焦点为〔2.0)，则C的离 点0,0，商心率为号 (1)求C的方程： 心率为( ). A号 B (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所 截线段的中点坐标. c号 D22 3 2.[题型2]已知椭圆行+少=1的两个焦点分 别为F,F2,过点F作垂直于x轴的直线与 椭圆相交，其中一个交点为P,则PF2|为 ( A B.3 c号 D.4 综合提能练 测试时间：30分钟 3.[题型1](2024·河北正定中学月考)设e是 7.[题型1](2024·厦门一中单元检测)已知 椭圆子+若=1的离心率，且e∈（合1小，则 F1,F2分别是椭圆的两个焦点，点M在椭圆 内部，且满足MF:⊥MF2,则该椭圆的离心 实数k的取值范围是( 率的取值范围为( A.(0,3) (3,》 A.(0,1) B(0,2) Co,3U(9.+∞） D.(0,2) c.(0.) n竖 4.[题型3](2024·山西师大附中测试)已知椭 圆r+子-1和点A(合2》，B(合1小，若椭 8.[题型1门已知点P在离心率为2的椭圆E: 圆某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直 吾+芳=1上，F是椭圆的一个焦点，M是以 线的斜率为k,则k的取值范围为( ). PF为直径的圆C,上的动点，N是半径为2 A.[-4,-2] B.[-2,-1] 的圆C2上的动点，圆C与圆C2外离且圆 C.[-4,-1] D[-1,- 心距CC=2,若MN的最小值为1，则 9 5.[题型2](2024·天津一中月考)椭圆牙十 椭圆E的焦距的取值范围是(). A.[1,3 B.[2,4] 兰-1的离心率为2则m一 C.[2,6] D.[3,6] 76 第二章圆维曲线么出型 9.[题型1](2024·重庆八中月考)已知F1,F2 (2)若点P在C上，点Q在直线x=6上， 分别是椭圆后+若=1>6>0)的左，右焦 且IBP|=|BQI,BP⊥BQ,求△APQ 的面积. 点，P为椭圆上一点，且PF·(OF+OP) 0(O为坐标原点).若PF1=21PF1,则 椭圆的离心率为( A6-5 B63 2 C.6-5 D6-5 2 10.[题型1、2](2024·武汉十一中月考)（多选 题若随圆G:后+ =1(a1>b1>0)和椭 圆C+ =1(a2>b2>0)的离心率相 C 培优突破练 测试时间：10分钟 房 13.[题型2,3](2022·武汉大学强基自招)设 同，且a>a2,则下列结论正确的是( A.椭圆C,和椭圆C2一定没有公共点 F为椭圆C:号+号-1的左焦点，P为椭 B.4=b 圆C上一点，如图所示. az b2 (1)作正方形FPAB(F,P,A,B按逆时针 C.a-a<所-b房 排列)，当P沿椭圆运动一周，求动点B D.a-az<b-b2 的轨迹方程： 11.[题型1门(2024·东北育才高中检测)如图， (2)设Q(3,2)为椭圆外一点，求PQ+ 椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上， |PF的取值范围。 A,A2,B,B2为椭圆的顶点，F2为右焦 点，BF2的延长线与AB2交于点P,若 ∠BPB,为钝角，则该椭圆的离心率的取 值范围是 B 12.[题型2](2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆C: 云+盖-10<m<5)的离心率为，A, B分别为C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程： 7712.4.75.提示：以两根桅杆的顶端A,C所在的直线为 y-3=+1-号-3=}8r2-80 x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，AC,B的方向 分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系.因 解得一√3≤x≤√3. 为AP|+1PC=30,AC1=15,且|AP1+1PC|> x>0,∴.0<xr≤/5 AC,所以点P在以A,C为焦点的椭圆上，此椭圆 ∴点P的横坐标的取值范围是(03] 的标准方程为2十68.万=L因为点P的纵坐标 15.设Mx,%),P(x,y),Q(y),由题设知x≠0， 为≠0.直线MP和MQ的方程分别为x1x十1y=?, 为-7.5，代入椭圆方程可解得P(一12.25，一7.5)，所 x十y=B.因为点M在直线MP和MQ上，所以 以点P到桅杆AB的距离为12.25-7.5=4.75(m). 十=扩，十必为=，可知P,Q两点的 1Rr+兰-1.提示：设点A在点B上方，点万（一 坐标都满足方程xx十y=?,所以直线PQ的方程 3 为xx十y=行. 0),F2(c,0),其中c=√/1一.因为AF⊥x轴，所 以点A的坐标为(c,?).设点B的坐标为(x,如)， 可得直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E(仁.0】 由|AF1=3FB1,可得AF=3FB,即 和F(0.左). 36 5 -2c=3(x1十c), = 3c· 解得 代入椭圆方程 所以△OF的面积Sar=专1OE11OF1= -房=3， %、1 2% 可得5.2+号：=1，解得：=景，所以椭圆方 9 因为+a2%=a,又话+a6≥2 abl royo, 程为+兰=1， 所以<空 3 所以Sar≥名，当且仅当分病-d-些时， 2 141:椭阔C号+芳-1o>6>0经过点M(1.受》。 △POF面积取符最小值二 F1,F:是椭圆C的两个焦点，FF2=23, L2椭圆的简单几何性质 2c=2v3, ra=2, 真题演练 +品-1解得61 L,C提示：设F,F:到直线y=x+m的距离分别为 a2=6+2. c=5. d,d.因为F(-2,0),F(2,0),所以d= “椭圆C的标准方程为行+广=1 一2+m,d=2士m.因为Sk=2Sas,所 2 (2)设P(x,y)(x>0,y>0) 以号AB·d=2X号1AB1·d,即d=2d.所以 c=5,∴.令F(-3,0),F(5,0), 则Pi=(-3-x,-y,P币=(W3-x,一y 一2+m=2小2十m1,解得m=-号或-32联立 3 pi·Pi=(一3-x,一y)·(3-x,一y) x2+3y2=3, 消y得4x2+6.x十3m2一3=0，则△= x2+y2-3. y=x十m, 又听+y=1,即y=1-千，P币·丽=2+ 36m-16(3m-3)>0,解得m2<4,所以m=-马 16 2.C提示：设P),由题意知以0,6似因为导+普 (十x)一x2+y十)y一)=0.由题意知 6 1G=+e,所以PB=+6-b=G(1-芳)十 十0≠：所以兴中产·的器=一专则 -6炉=一后(+2)+艺+r+优. 兴·（一品）=-之整理得m=2.① 因为一b≤<6，所以当-名≤-6，即作≥C时， 又因为MN=23, 所以由勾股定理得十r=12.② |PB=4,即PBmx=2b,符合题意.由≥c2可 m=2、2, 得0≥2，椰0<号： 联立①②，结合m>0,>0,解得 n=2, 当-艺>-b.即<时PB=仁+。+，即 所以直线1的方程为22十之-1.即十y一23=0 2v2 名+。+f<,化简得口一)P<0,显然该不等式 学业质量测评 1.C2.C 不成立 3.D提示：由题意可得椭圆的焦 3C提示：当0<k<4时e=。=号e(), a 点在x轴上，如图所示， 即号<号11<4-k<4,即0<k<a.当>4 2 设1F1F:1=2c. :△PFF:为等腰三角形，且 时==∈（侵），即<是<1→ ∠FFP=120°， .|PF=|FF:|=2c. }1<1-<10<<→>号 OF=c, .点P的坐标为(c+2ccos60°，2sin60),即点P(2n3c). 综上，实数k的取值范围为0,3U(侣，+∞). :点P在过点A且斜率为的直线上， 4.A提示：设椭圆+千=1的某弦的两个端点分 别为P(),Q(,),中点为M(x%,%), 。停解得后- +4-1,0 4.x十2y-2互=0.提示：设直线1的方程为王十 则 +-1,@ 义=1，侧分别令x=0,y=0,得点M(m,0),N(0,n) (m>0,n>0).设A(x1,y1),B(·y),由题意 ①-@.得(i-)+}0i-)=0, 知线段AB与线段MN有相同的中点，所以 即k=当二丝=-4(：十2=4国 一rg y十 十=m十0 2 2· 1十3=1， :点M在线段AB上， 即 因为k=飞N,所 当十必-0十”， h十为= 2 21 6=号1,6=“.-2 3% 以二业=0二A=一”.将A(1,M)B(为) '-m-0 :2<2<4,故-4长-2≤-2.则k∈[-4，-2. +9= 53或9。提示：若0<m<4,则a=4,=m 分别代入椭圆方程得 两式相诚得 六=A=m,e=4=号，解得m=3 2 17 若m>4,则？=4，a2=m,.e=√/m-4, =解得m= .e=m 综上可知，m=3或m=3 16 61将点0,4代人椭圆C的方程，得碧=1，则6=4 ∴2Oi=Oi+oi,0i=,FD O亦+O币=FP a a25 :Pi·(O亦+Op)=0,PF,FP=0. 解得a=6六桶阙C的方程为后+活-士 P⊥F市 :P序=2P币，不妨设P庐=m, (2)过点(3.0)且斜率为号的直线方程为y=号（ 则P示=2m 3),设直线与C的交点为A(1,”),B(x2,). :P市1+Pi1=2a=m十v2m, 将直线方程y=专(x一3)代人椭圆C的方程，得 云+“2公2》-1，即2-3-8=0，故十=2 m-元2i-0 25 FF|=2c. 设线段AB的中点坐标为(x,y,则x'=西十五 ∴.4c2=m2+2m2=3mr=3X4a2(3-2v2). 2 是-产=号a+-0)=-号 3 d-号=g-62=6 2 e=6-3. 即所求中点坐标为（受。一号） 10AB提示：依题意得=合-&，即、1一（会） 7.C提示：由题意得点M在以坐标原点O为圆心，OF 为半径的圆上，且与椭圆没有交点，则>，所以> 1一（合），所以会-，所以公-会，因此B正 2a->pa>2→后<<号结合> 确：因为a>ag,所以椭圆CG和椭圆C一定没有公 0.解得0<K号 共点，因此A正确：设么=么=m,其中0<m<1,则 有(ai-房)-(a5-房)=(1一r2)(a-a)>0,即有 8.C提示：因为M是以PF为直径的圆C,上的动点，N ai-候>a一候，则a一ai>所一候，因此C错误； 是半径为2的圆C上的动点，圆C与圆C2外离且圆 (a1-h)-(a2-b)=(1-m)(a1-au)>0,即有 心距GC=号MN的最小值为1，所以CC= a一b>a一h,则a1一a>h一，因此D错误. 2+1+P四-号，解得PF=8又因为点P在椭网 2 1.(，)。提示：设椭圆的标准方程为+苦 E上，所以a一c≤IPF≤a十c.因为椭圆E的离心率 1(a>b>0),则B(0,-b),B(0,b),F(c,0).A(a, 为2，所以a=2e,所以≤3≤3c,故1≤≤3，所以2≤ 0),∴.BA=(a,-b),FB=(-c,-b). 2c≤6. :∠BPB为饨角，∴下B与BA的夹角为锐角。 9.A提示：如图，取PF的中点A,连接OA :B:A.FB=-ac a--ac0. 18 两边同时除以a2并化简，得2+e一1<0，解得 所以MB=NQ=8, -51<6又0<<，0c<6 可得点Q的坐标为(6,8)，如图 2 3所示. 12.1)由0<m<5知a=5,b=m,则e=1-(么） 直线AQ的方程为8x一11y+ 40=0,根据点到直线的距离公 √答=解得m或m=一（合去 图3 式可得P到直线AQ的距离 5 所以椭圆C的方程为号 y =1, d=8X(-3)-1×1+40= () √8+11 185 根据两点间的距离公式可得 AQ=/(6+5)+(8-0)=/185, (2)不妨设P,Q在x轴上方，过 所以△APQ的面积为2×√I85×5 点P作x轴的垂线，垂足为M, 设x=6与x轴交点为N,如图 综上所述，△APQ的面积为亮. =6 1所示. 图1 14.(1)设B(x,y),则P(y一5，-5-x),代入C的方程 A(-5,0),B(5,0).BPI=|BQ,BP⊥BQ,∠PMB 得B的锁迹方程为y-5》+士5=1. ∠QNB=90, 9 4 因为∠PBM+∠QBV=90°，∠BQN+∠QBN=90°， (2)如图，连接QF,PQ+|PF≥QF1=√18+65 所以∠PBM=∠BQN,则△PMB≌△BNQ =13(/5+1)2=15+3. 所以1PM=BN1=6-5=1. 设右焦点为F,连接PF,QF 设点P的坐标为(.xr),可得=1， IPQ+PFI=6+PQI-PF'<6+QF1=6+ 将代人号+1紧=1， 118-65=6+√15-5. 可得xn=3或xp=一3， 故PQ1十|PF的取值范围为V5+3,6+/5-√. 即点P的坐标为(3,1)或（一3,1）. ①当点P的坐标为(3,1)时，MB=5-3=2, 由△PMB2△BNQ,得|MB|=INQI=2, 可得点Q的坐标为(6,2)，如图 2所示， P Q §2双曲线 则直线AQ的方程为2x一11y 2.1双曲线及其标准方程 36 +10=0. 真题演练 图2 根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离 1.5. 4=12X3-1×1+101=55 2.(2v7,8. 提示：由题意，不妨设点P在双曲线的右 /2+11 √1255 支上，∠FPF=00<0<90),则 根据两点问的距离公式可得 PF+PE=VOPF-PFD2+4PFPF 1AQ1=v(6+5)+(2-0)严=55. 24 所以△APQ的面积为号X55×号-是， =4+1-cos0 3 ②当点P的坐标为(-3,1)时，MB=5+3=8 现考虑两种极端情况：当PF⊥x轴时，cOs0= 5 19答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10