第1章 直线与圆 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第-章直线与圆收 单元复习归纳 专题分布 考点频次 考试分值 命题趋势 1.直线的倾斜角与斜率。 ★★ 【题源特点】对直线的领斜角与斜率的概念的 5年11考 理解和互化，直线方程的几种形式及其应用，直线位 2.直线的方程 ★★ 置关系的判定及距离公式的应用，这些内容在历年高 5年19考 考中都有涉及，特别是在客观题中出现的频率很高. 3.两条直线平行与垂直的 ★★ 另外，要深刻理解斜率公式、点到直线的距离公式的 判定。 5年16考 4.直线的交点坐标与距离 ★★ 意义，注意数形结合思想在解题中的应用.高考对本 公式 5年23考 5~12分 章的考查一般以中、易难度的题目为主，但小陷肼较 多，要引起足够的重视，对每一个概念、公式的使用条 5.圆的方程. ★★ 5年27考 件及适用范国要有准确的理解 【题型形式】题型多为选择题和填空题，只有少 6.直线与圆的位置关系. ★★★★ 5年46考 数省份（如江苏等）将圆单独作为解答题进行考查， ★ 如：2020·全国I卷，T11:2020·全国Ⅱ卷，T5: 7.圆与圆的位置关系 5年8考 2020·全国Ⅲ卷，T10. 01知识网巧构建， 直线的倾斜角（范围：0°≤a<180) 倾斜角与斜率 定义：k=tana(a≠90) 直线的斜率 公式：k=当二出(m1≠x2) Cg一1 点斜式方程：y一=k(x二x),不能表示垂直于x轴的直线 斜截式方程：y一x干，不能表示垂直于x轴的直线 的 两点式方程：y二业=工二（≠x1y≠），不能表示垂直于坐标轴的直线 截距式方程：。十}=1(：≠0,6≠0)，不能表示垂直于坐标轴或过原点的直线 般式方程：Ax十By十C一O(A,B不同时为0)，可以表示任意直线 两条直线的位置关系一相交、平行、垂直，重合 两直线的交点坐标：方程组 (Aix+Biy+C=0 Agx十B2y+C=0 的解 直线和圆的方程 直线的交 两点间的距离公式：「PP:=√(x一)十（一y) 点坐标与 距离公式 距离 点到直线的距离公式：平面上任意一点P(x,)到直线l:Ax+By 公式 十C=0(A,B不同时为0)的距离d=A+By+C VA+B 两条平行直线间的距离公式：两条平行直线L:Ax+By+C=0,l: Ax十By十C=0(其中A,B不全为0，且C:≠C2)间的距离d IC-C: A+B 圆的标准方程：(x一a)2十(y一b)严=产(r>0) 圆的方留 圆的一般方程：.x2+y+Dx+Ey+F=0(D+E3-4F>0) 直线与圆的位置关系一相离、相切、相交 圆与圆的位置关系一外离、外切、相交、内切、内含 51 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 02微转题妙总结。 微专题1对称问题及其应用 的中点M在I上（即I是线段AB的垂直平 1,点关于点的对称 分线). 由中点坐标公式易知，点M(x,y)关于点 5.常见的对称结论 P(a,b)的对称点为N(2a-x,2b-y). 设直线l:A.x十By十C=0. 2.求直线关于点的对称直线 (1)l关于x轴对称的直线是Ax十B(一y)十 方法一（特殊性方法）利用中点坐标公 C=0. 式求得点P(x,)关于点A(a,b)的对称点坐 (2)l关于y轴对称的直线是A(一x)+ 标为P(2a一xo,2h一%).求一条直线关于点 By+C=0. A(a,b)的对称直线的方程时可在该直线上取 (3)l关于原点对称的直线是A(一x)+ 两个特殊点，再求它们关于点A的对称点的坐 B(-y)+C=0 标，然后利用两点式求其直线方程 (4)l关于直线y=x对称的直线是Bx十 方法二（一般性方法）可设所求的直线 Ay+C=0. 上任一点的坐标为(x,y),再求它关于点A(a, (5)1关于直线y=一x对称的直线是 b)的对称点的坐标，而它的对称点在已知直线 A(-y)+B(-x)+C=0. 上，将其代入已知直线方程，便可得到关于x,y (6)点A(x,y)关于直线x+y十c=0的对 的方程，即为所求的直线方程， 称点A'的坐标为（一y一，一x一c),关于直线 3.点关于直线的对称点 x一y十c=0的对称点A”的坐标为(y一c,x十c). 设点P(xa,%)关于直线Ax十By+C=0 (7)曲线f(.x,y)=0关于直线x+y十c=0 的对称点为P(x,y) 的对称曲线为f(一y一c,一x一c)=0,关于直线 ·含)=-1 x一y十c=0的对称曲线为f(y一c,x十c)=0. 则利用 A.+B.y+C=0 以上结论用来解填空题、选择题时特别有 2 2 效，应加以理解并记忆 可以求点P的坐标， 例①直线y=2x是△ABC的一个内角的 4.直线关于直线的对称直线 角平分线所在的直线，若A,B两点的坐标分别 直线1与l2关于直线1对称，它们具有以 为A(一4,2)，B(3,1),求点C的坐标 下几种几何性质： 解析]易知点A,B不在直线y=2x上，因 (1)若1与l2相交，则直线l是l1,夹角 此y=2x为∠C的角平分线所在的直线， 的角平分线所在的直线。 设点A(一4,2)关于直线y=2x的对称，点 (2)若11与12平行，则直线1在11，l2之间 且到(，l2的距离相等。 为A'a:b),则r一合子，线段AM的中点坐 (3)若点A在11上，则点A关于直线（的 对称点B一定在I2上，此时AB⊥I,且线段AB 标为2，生)， 52 第一章 直线与圆收型 b-2.2=-1, 解析圆C:(x一1)2+(y一2)2=4的圆心 a+4 a=4, 则 解得 为C(1,2),半径r=2. 2=2.4, b=-2, 2 2 当直线的斜率不存在时，直线【的方程为 即A'(4,-2) x=一1，此时圆心到直线l的距离d=|一1一1 ,y=2x是∠C的角平分线所在的直线， =2=r,满足题意： .点A'在直线BC上 当直线的斜率存在时，设直线【的方程为 ·直线BC的方程为十2一4 y=k(x+1)十3，即x一y+k十3=0，则 1+23-4 k一2+k十3=2，解得k= 即3.x+y-10=0. vk2+1 4 y=2x, x=2, 由 解得 故直线1的方程为2x-y叶十3=0，即 y=4. 4 3x+y-10=0, .点C的坐标为(2,4). 3x-4y+15=0. 微专题2圆的切线及其应用 综上所述，直线l的方程为x=一1或3x 1.若点(x6,%)在圆上，斜率存在时，先求 4y+15=0. 点与圆心连线的斜率k(k≠0)，由切线与过切 答案x=-1或3.x-4y十15=0. 点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为 微专题3与直线、圆有关的最值问题 一太，由点斜式方程可求出切线方程：斜率为0 1.与距离有关的最值问题 点到直线的距离是点与直线上的点间距 或斜率不存在时，则根据图形可直接写出切线 离的最小值 方程为y=%或x=xo. 两条平行线间的距离是两条平行线上各 2.若点(x,%)在圆外，可采用几何法和代 取任意一点所得两点间距离的最小值. 数法两种方法来求。 2.求最值问题的两种常用方法 方法一（几何法）当斜率k存在时，设直 方法一（代数法）利用解析几何知识，可 线方程为y一y%=k(x一xa),即kx一y十一 设一个函数，然后用函数求最值的方法进行 kx%=0.由圆心到直线的距离等于半径求出斜 计算。 率，即可得出切线方程。 方法二（代数法）当斜率k存在时，设直 方法二（几何法）根据几何图形直观判 线方程为y一%=k(x一xo),即y=k.x一kxo十 断在哪种情况下取得最值.常用结论有：两点 ,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二 之间线段最短：直角三角形的斜边大于直角 次方程，根据判别式△=0求出斜率，即可得出 边：三角形的两边之和（差）大（小）于第三边. 切线方程！ 例3(2024·北京四中单元测试)已知点 例2(2024·杭州二中检测)已知点 M(3,5),在直线1：x一2y十2=0和y轴上各找 M(-1,3),圆C:(x-1)+(y一2)2=4，若过 一点P和Q,使△MPQ的周长最小 点M的直线I与圆C相切，则直线l的方程为 解析由点M(3,5)及直线1：x一2y十2= 0,可求得点M关于直线I的对称点M1(5,1), 53 更滩食手细高中数学选择性必修第一册 ?SD 同理可得，点M关于y轴的对称点 当点P为原点O时，PO川最小，且PO M2(一3,5)，如图.由轴对称及平面几何的知识 =0.由于对称性，仅考虑圆孤(x-2)》+(y 可知，直线M1M2分别与直线l和y轴的交点 即所要找的点P和，点Q: )=号（≥0，≥0)，显然，当点P为1D 时，|POnx=√2. 答案√2. 微专题4与圆有关的轨迹问题的四种 求法 根据M1,M两点可得直线M1M的方程 直接根据题设给定的条件 为x+2y-7=0. 直接法 令x=0,得直线M1M与y轴的交点为 列出方程求解的方法 根据圆的定义列方程求解 Q(0,), 定义法 的方法 x+2y-7=0, 利用圆的几何性质得出方 解方程组 得两直线的交点 几何法 x-2y+2=0, 程的方法 为P, 找出要求的点与已知点的 代入法 关系，代人已知点满足的关 (相关点法) 所以点P侵)与点Q0,号)即为所求 系式的方法 例5(2024·杭州二中月考)设定点 点评本题若用直接法求解比较烦琐，而从 M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动，以 图形方面考虑，利用数形结合的方法可以使问 OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P 题变得形象、直观，利于求解.利用轴对称的性 的轨迹。 质，求点关于直线的对称点，再结合图形，求出 解析如图，设P(x,y), 符合题意的点P,Q,使得△MPQ的周长最小. V(xo,%),则线段OP的中点 例团(2024·天津实验中学检测)已知动 点P(x,y)满足x2+y2一|x一|y=0,O为坐 坐标为（受，），线段MN的中 标原点，则PO的最大值是 点生标为23，士 因为平行四边形的对角线互相平分，故 2=从而 xo=x十3， 因为 %=y-4. N(.x十3，y-4)在圆上，故(x十3)2+(y一4)2=4 解析如图，方程x2十y2一|x一y|=0 因此所求的轨迹为國(x十3)2十(y一4)2=4，但 可以转化为(1x-2)》+(1y-)-2,所 应除去两点（一号，号）和（一，器（点P在 以动点P(x,y)的轨迹为原点和四段圆孤 OM所在直线上时的情况). 54 第一章直线与圆} 03-单元学能测评。 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题 6.已知圆C:(x一a)2十(y-a)2=1(a>0)与 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 直线y=2x相交于P,Q两点，则当△CPQ 只有一项是符合题目要求的》 的面积为2时，实数a的值为( 1.直线y=x与圆x2+y2=1的位置关系为 (). A号 B.10 2 D.1 4 A.相切 7.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是一部经 B.相交但直线不过圆心 典巨著，代表了希腊几何的最高水平，它将 C相交且直线过圆心 圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有 D.相离 插足的余地.阿波罗尼斯证明过这样一个命 2.过点(3，一6)且在两坐标轴上截距相等的直 题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0 线的方程是( ). 且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称 A.2x+y=0 为阿氏圆.已知圆C的圆心C在直线y= B.x+y+3=0 2x-4上，半径为1，点A(0,3),若圆C上存 C.x-y+3=0 在点M,使sin∠MOA=2sin∠MAO,则圆 D.x+y+3=0或2x+y=0 心C的横坐标a的取值范围是( 3.圆心在y轴上，半径为5，且过点（一5,8）的 A.1≤a≤2 圆的方程为( R0Ka<号 A.x2+(y-8)2=25 Cl<a≤ D0Ka<号 B.x2+(y+8)2=25 8.已知P是函数f(x)=x2图象上的一点，过 C.(x+5)2+(y-8)2=25 点P作圆x2+y2一4y+3=0的两条切线， D.(x-8)2+3y2=25 切点分别为A,B,则PA·PB的最小值为 4.设点A(3,一5)，B(-2,-2),直线1过点 ( P(1,1)且与线段AB相交，则直线I的斜率 A B.2、2-3 k的取值范围是( ) A.k>1或k≤-3B.一3≤k≤1 C.0 n C.-1≤k≤3 D.以上都不对 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题 5.已知圆C1:x2+y十4x一4y-3=0,动点P 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 在圆C2:x2+y-4x-12=0上，则△PCC2 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选 面积的最大值为( 对的得部分分，有选错的得0分》 A.25 B.45 9.若P,Q分别为直线11：3x+4y+5=0,l2: C.85 D.20 a.x十8y十c=0上的动点，且l41∥l2,则下列 55 更滩食手册高中数学选择性必修第一册S卫 说法正确的有( ). (1)若直线1与直线3.x十y一1=0平行，求 A.直线2的斜率为定值 直线I的方程： B当c=25时，PQ的最小值为号 (2)若点A(3,1)到直线1的距离为5，求直 线1的方程， C.当|PQ的最小值为1时，c=20 D.c≠10 10.已知点M(1,2)关于直线l:y=kx十b对称 的点是N(一1,6)，直线m过点M,则 (). A.kb=-2 B.I在x轴上的截距是一8 C.点M到直线I的距离为1 D.当m∥1时，两直线间的距离为、5 11.已知一组圆C:(x-1)2十(y-k)2= (k∈N+),则下列说法正确的有(). A.存在k,使圆与x轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交 C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 16.(15分)已知圆O:x2十y2=4和点M(1,a). 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共 (1)若过点M有且只有一条直线与圆O相 15分.将答案填在题中的横线上) 切，求实数a的值，并求出切线方程； 12.已知圆的方程为x2+y+2a.x十9=0，圆 心坐标为(5,0)，则它的半径为 (2)若a=2,过点M的圆的两条弦AC,BD 13.已知圆C:x2+y2=4上至少存在两点到直 互相垂直，求AC+BD的最大值. 线x十y一b=0的距离为1，则实数b的取 值范围是 14.已知过点P(3,0)的直线与圆C:(x一2)2+ (y一1)=4交于A,B两点(A点在x轴上 方)，若BP|=3|PA|,圆的切线1与AB 平行，则直线AB与切线！间的距离是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时 应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(13分)直线1经过两直线l1:3.x+4y一2 0和l2:2x十y十2=0的交点. 56 第一章 直线与圆么超 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，设二次 (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积 函数f(.x)=x2+2.x十b(x∈R)的图象与两 最大？ 坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆 记为C. 60m (1)求实数b的取值范围； 170m C东 (2)求圆C的方程： (3)圆C是否经过某定点（其坐标与b无 关)？请证明你的结论。 19.(17分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的长为2，宽为1，AB,AD边分别在 x轴、y轴的非负半轴上，点A与坐标原点 重合，如图.将矩形折叠，使点A落在线段 DC上 (1)若折痕所在直线的斜率为k,试求折痕 所在直线的方程： (2)当一2十3≤k≤0时，求折痕长度的最 大值。 O(A) 18.(17分)如图，为保护河上古桥OA,规划建 一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护 区的边界为圆心M在线段OA上并与BC 相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任 意一点的距离均不小于80m.经测量，点 A位于点O正北方向60m处，点C位于 点O正东方向170m处(O℃为河岸)， am∠BC0- (1)求新桥BC的长： 575)2+(y-5)*=25. 5.B提示：圆C:x+y十4r一4y-3=0,即(x+2)+(y (2)存在.圆O的圆心(0,0)到直线1的距离d= -2)2=11圆心为C(-2,2),圆C2:x2+y-4一12= 10=52. 0,即(x一2)+y=16,圆心为C2(2,0).半径为4，则 CC|=√16+4=25，故△PCC的面积的最大值 当r满足r十5<d,即r<52-5时，动圆C中不存 在与圆O:x2十y=2相切的圆： 为2×25×4=45 当r满足r+5=d,即r=52-5时，动圆C中有且 6.B提示：由题意得，圆C:(z-a)2+(y-a)2=1(a>0) 仅有一个圆与圆O:.2十y2=2相外切： 的圆心为C(a,a),半径为r=1,所以圆心到直线y= 当r满足r+5>d,即r>52-5时，与圆O:x+ 2x的距离为d=2.所以弦长|PQ1=2√P一正= 5 y=产相外切的圆有两个. 综上，当r=52-5时，动圆C中满足与圆O:x2+ 2√1-号，所以△CPQ的面积S=PQ·d=2X y=户相外切的圆有且仅有一个. 5 5 x+y2=2, 16.5.提示：联立方程得 7.D提示：在△MAO中，由sin∠MOA=2sin∠MAO得 (x-3)+y=5, MA=2MO设Mx,y),则x2+(y-3)=4(x2+y),化 x=1,x=1, 解得 或 y=1y=-1. 简得x2+(y十1)=4，则圆心为E(0.一1)，半径R=2. 又点A在第一象限，则A(1,1).设点D(x,%),因为 圆C与圆E要有交点，故2-1≤√a+(2a-4+1)产≤ AC=2AD,所以D为AC的中点 2+1,解得0心<号。 设AD的中点为E(,+1） ，22 ,此时D=E, 8.A提示：设圆x2+y-4y+3=0 十1 即x+(y一2)=1的圆心为M,圆 2 6x+1一3一5，得=一 心坐标为(0.2)，半径为1，如图所 5 2 示.因为cos∠APB=os2∠APM= 又u·b=一1，则可得m=5, 1-2sim∠APM=1-2(a) 则直线CD的斜率为5. 17.(0,0).提示：因为圆C关于直线ax十y一12=0对 =1-p所以i,i=PAIIPBI∠APB= 称，所以直线ax十y一12=0过圆C的圆心(0,2)，得 IPA∠APB=(PMI-D(1-P,所以 b=6,故动点S在直线y十6=0上.设S(1,-6),A(, 2 M),B(2),则S4:0x+(M-2)(y-2)=16,SB: Pi.P成=PM+p一3设P(m,m).所以 x十（为-2）(y-2)=16. 1PM12=(m-0)2+(m2-2)2=m-3m2+4=（m 01-8为=0， 代入St,一6)，得 x21-82=0, 是)）广+子>子，当且仅当㎡=多，即m=士时取等 则直线AB的方程为tx一8y=0, 所以直线AB过定点(0,0). 号，由对勾函数y=x十二的单调性可知P·P丽 单元学能测评 PM+p一3在[子，十)上单调递增，所以 1.C2.D3.A4.A iP=子+号-3=一 11 9ABD提示：，号-景且号≠号 所以实数b的取值范围是（一32,32） 6,c≠10.故A,D正确.易知PQ的最小值为两平行直 14.2-2或2+25.提示：因为(3-2)+(0-1)< 3 3 线间的距离d,当=25时d=1D=是，故B 4.所以点P(3,0)在圆C内，即点P在弦AB上 62+8 因为点P在x轴上，点A在x轴上方， 正确.同理，当PQ的最小值为1时，d=10-cL /62+87 所以点B在x轴下方，如图所示 1,解得c=20或c=0.故C错误. 10.BD提示：因为点M(1,2)关于直线1：y=kx+b对称 .C 的点是N(-1,6),线段MN的中点坐标为(O,4),所 6-2 1-7·=-1, k= 2 则直线AB必不可能与y轴垂直，可设直线AB的方 以 解得 所以b=2.故A 4=k×0+b. b=4. 程为x=my十3. 错误，由上述分析可知直线1的方程为)=之x十4， =my+3, 由 (x-2)2+(y-1)2=4, 令y=0,解得x=一8.所以直线y=kx十b在x轴上 得(m+1)y+(2m-2)y-2=0, 的截距是一8，故B正确.由点到直线的距离公式和平 易知该方程有两个不相等的实数根。 行直线间的距离公式可知C错误，D正确。 设A(my),B(x) 11.ABD提示：根据题意可得圆C的圆心为(1，k),半 径为k(k∈N,). 则为<0<十为-名为=是 对于A,当k=k,即k=1时，圆的方程为(x一1)十 因为BP=3PA,所以0-=3M一0， (y-1)2一1，圆与x轴相切，故A正确。 即一为=3y, 对于B,直线x=1经过圆的圆心(1，k),直线x=1与 则为十为=一2”= 即号 2+1 所有的圆都相交，故B正确。 由M>0可得>1， 对于C,圆C+的圆心为(1，k+1),半径为(k十1)2， 圆C与圆C+1的圆心距d=1,半径之差为2k十1,2k 十1>1，所以圆C内含于圆C+1,若k取无穷大，则 整理得m2一6十1=0， 可以认为所有直线都与圆C相交，故C错误. 解得m=3-22(舍去)，m=3+2v2. 对于D,将(0,0)代入圆的方程，则有1十k=,不存 则直线AB的方程为x=(3十22)y十3，即(3+22)y 在k∈N,使上式成立，故所有圆均不经过原点，故D 一x+3=0,则圆心C(2,1)到直线AB的距离d= 正确 3+22-2+34+22_23 12.4. V(3+2,2)2+(-1)产6+233 13.(-32,32).提示：由圆C:x2+y=4可得圆心 因为圆心C(2,1)到切线1的距离是半径2， 为C(0,0)半径为2， 若圆C:x+y=4上至少存在两点到直线x+y 所以直线AB与切线1间的距离是2-2,5或2+ 3 b=0的距离等于1，则满足圆C到直线x十y一h=0 2☒ 3“ 的距离d3, 3.x+4y-2=0, x=一2， 所以0+0-1<3，解得-3v2<32. 15.(1)由 解得 2x+y+2=0, y=2. 12 所以交点坐标为（一2,2）. 所以当AC|=|BD|时，|AC十|BD|的最大值 设直线1的方程为3x十y+c=0(c≠-1)， 为2√10. 把点（一2,2）代人方程，得c=4, 17.(1)令x=0,得二次函数的图象与y轴的交点是(0，b). 所以直线/的方程为3x十y十4=0. 令f(x)=x2+2x十h=0,由题意知b≠0且△=4 (2)由(1)知，当直线1的斜率不存在时，直线1的方程 4b>0,解得br<1且≠0. 为x=一2，此时点A(3,1)到直线1的距离为5，满足 (2)设所求圆的一骰方程为x2+2+Dx+Ey+F=0 题意：当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y一 (D+E-4F>0), 2=k(x十2)，即kx-y十2k+2=0,则点A(3,1)到直 令y=0,得x+Dx十F=0,这与x2+2x十b=0是同 线1的距离d=3k-1+2张+2L=5k+L=5,解 一个方程，故D=2,F=. /2+(一1)月 /食十1 令x=0,得y+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代人 得仁是 得E=一b-1, 所以直线1的方程为12x-5y+34=0. 所以圆C的方程为x2+y+2.x一(b+1)y十b=0( 综上，直线1的方程为x=-2或12x一5y十34=0. 1且≠0). 16.(1)由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4,则a= (3)圆C必过定点.证明如下： 士5. 假设圆C过定点(0)(”与b无关)，将该点坐 标代人圆C的方程并整理，得后十哈十2一十 当a=3时，点M1,3),kw=3,k= 3” b1-0)=0,(*) 此时切线方程为y一3=一(x一1D, 为使（￥）式对所有满足<1且b≠0的b都成立，只 3 0=0,=-2. 即x十3y-4=0. 需1一%=0，结合()式解得 或 %=1=1. 当a=一B时.点M1.一3).km=一5，k- 3 经检验，点(0,1)，（一2,1）均在圆C上，因此圆C 过定点。 此时切线方程为y十5=受x一1D,即x一5y一40 3 18.(1)如图，以点O为坐标原点， 所以所求的切线方程为x十3y一4=0或x一3y OC所在直线为x轴，建立平 60m 4=0. 面直角坐标系xOy, 170m (2)由条件知M(1w2),如图，连 由条件知A(0,60),C(170, 接OM,过圆心O作AC,BD的 O),直线BC的斜率k=一tan∠BCO= 3 垂线，垂足分别为E,F,所以四边 形OEMF是矩形. 又AB1BC,所以直线AB的斜率kM= 3 设AC=2x,|BD1=2y, 设点B的坐标为(a,b), 则OE1=4-x2,OF8=4-y2. 则r=b0 a-170 =-子ku=0-是 a一04 所以OM2=EFP=4-x+4-y=8-2-y=3, 解得a=80,b=120. 即x2+y=5. 所以1BC=√(170-80)+(0-120)7=150. 由基本不等式得(x十y)2≤2(x2+y2)=10, 因此新桥BC的长是150m 又AC|+1BD|=2x+2y=2(.x+y)≤210， (2)设保护区的边界圆M的半径为rm,|OM1= 当且仅当x=y时取等号， dm(0≤d60). 13 由条件知直线BC的方程为y=一专一170， ∴.折痕长度的最大值为√32-165=2(6-√/2). 即4x+3y-680=0. 又2(W6一2)>2，故折痕长度的最大值为2(，6一2). 因为圆M与直线BC相切，所以点M(O,d)到直线 第二章 圆锥曲线 BC的距离是r, 即r=18d-680L-680-3d §1椭圆 /4+3 5 1.1椭圆及其标准方程 因为点O和点A到圆M上任意一点的距离均不少于 真题演练 80m, 1.C r-d≥80， 680-3d-d>80, 5 2.12.提示：设线段AB交椭圆于点P,连接FP和 所以 即 r-(60-d)≥80， 680-3d-(60-dD280. F,P(其中F,F分别是椭圆C的左、右焦点)，利用中 5 位线定理可得AM+IBM=21FP1十2F:P|=2X 解得10≤d≤35. 2a=4a=12. 故当d=10时，一6803最大，即圆的面积最大. 6 3.由椭圆的定义可知2a=|PF|+PF4=(2+2)+ 所以当1OM=10m时，圆形保护区的面积最大. (2-/2)=4,故a=2 19.(1)当=0时，此时点A与点D重合， 设椭圆的半焦距为c,由已知PF⊥PF:得2=|FF|= 折痕所在直线的方程为)y=之 √PF+PF下=√/(2+V2)2+(2-√2)=2/3， 当k≠0时，将矩形折叠后，点A落在线段DC上的点 即c=3,从而b=va一2=1. 记为G(a,1), 故所求椭圆的标准方程为片+了=1。 则点A与点G关于折痕所在的直线对称， k·k=一1，即·k=一1，得a=一点. 4根据椭圆的对称性可知P(一1，)，P(1,)两点 必在椭圆C上 故点G的坐标为（一k,1), :P的横坐标为1，椭圆必不过P(1,1), 从而折痕所在的直线与直线AG的交点坐标（线段 AG的中点)为M(一-令，号)，故折痕所在直线的方 ∴P0,1),B(-1,)P(1,)三点在椭圆C上 程为y-(+)，即y=++号 把点P(0,1),P(一1，罗)的坐标代入椭圆C的方 22 当k=0时，y=号满足方程 a2=4. 程，得 解得 综上所述，折痕所在直线的方程为y=k红十号 +3 a4F =1, =1. (2)当k=0时，折痕的长为2 ∴椭圆C的方程为听+少=1 当一2十3k<0时，折痕所在的直线交直线BC于 学业质量测评 点E(2,2k+号+)交y轴于点F(o,“生) 1.D2.D 3.C提示：当1<k<4且k≠2.5时，曲线C表示椭圆， :F=公+[-(2+号+2)打=4+ 所以①为假：当k=2.5时，4一k=k一1，此时曲线表示 4≤4+4(-2+5)=32-165， 圆，所以②为假：若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆， 14