第1章 2.3 直线与圆的位置关系～2.4 圆与圆的位置关系-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

联立①②③，解得D=一2，E=4,F=-20. m=0, .2=3 故所求圆的一般方程为x2+y2一2x十4y一20=0. %=1. 13.2十y2+3.x-3y-2=0.提示：因为四边形PABN ∴.圆P的方程为x2+(y-1)2=3 的周长C=|PA|+|AB|+IBV|+INP|= ②当=o一1时，由一x=1得(4一1)2一6=1， m=0, √(-1-1)+(-1一a)产+√/(-1-0+(-1-3)+ 2=3. 36=-1. √(0-1)+(3-a-1)下十/(1-1)+(a-4-1) .圆P的方程为x十(y十1)2=3. √4+(1+a)下+√1+(2-a)+x17+1, 综上所述，圆P的方程为x2+(y士1)=3. 所以当4+(1+a)P+1+(2一a)严取得最小值时 15.(x-1)+(y-)广-票.提示：当m=0时4： 四边形PABN的周长最小 y=0,l:x=2,易知P(2,0). √4+(1+a)于+√/1+(2-a)乎=√(-2-0)+(1+a) 当m≠0时，l过定点O(0,0),斜率k,=m: +√/(1-0)+(-2+a),它表示y轴上的点(0，-a) 直线4的方程可化为m(y一1)十x一2=0，因此l4过 与（一2,1）和(1，一2)的距离之和，易知当这三点共线 定点A2.,斜率=一六则6，=一1， 时该距离之和最小，为点（一2,1）和点(1，一2)间的距 .直线l与互相垂直，故PO上PA. 离令60-20.H1,-2》.则a=号 =-1, 连接OA,则直线4与直线：的交点P必在以 所以直线GH的方程为y一1=一(x十2)，令x=0,得 O(0,0),A(2,1)为一条直径端点的圆上，且圆心为 y=-1,所以a=1 线段A0的中点C(1,号)，半径r=2O4= 因此，当四边形PABN的周长最小时，P(1,1D,V(1,2). 设经过A,P,V三点的圆的方程为x2+y+Dx十Ey十 F=0(D+E-4F>0). ∴所求圆的标准方程为红一)+（一专）广= 1+1-D-E+F=0. D=3, 易知点(2,0)在此圆上，故此圆的方程即为所求. 则1十1+D+E+F=0,解得E=一3， 2.3直线与圆的位置关系 1+4+D+2E+F=0, F=-2. 2.4圆与圆的位置关系 故△APN的外接圆的方程为2+y+3.x一3y一2=0. 真题演练 14.(1)设P(xy),圆P的半径长为r L.B提示：将圆x2+y一4x一1=0化为标准方程(x 由题意得y+2=2,x2+3=2 2)2+y=5,可知圆心坐标为(2,0)，半径为5.设圆心 ∴y2+2=x2+3,即y-x2=1. 为O,过点P(0,一2)作圆O的两条切线分别交圆O于 ,点P的轨迹方程为y一=1. 点A和点B,则OP=2√2，OA=OB=5,PA=PB= (2)设点P的坐标为（为，则二= 3.故m∠OPA=E, 21 s∠0PA-是易知△0P ≌△OBP,则∠OPA=∠OPB,故sina=sin2∠OPA= .lo-w=1. .为一xw=士1，即%=x士1. 2sin∠OPA·cos∠OPA=2X5×3=￥正 2w2224 ①当%=m十1时，由-z=1得(+1)2一=1,2.A 3.ABD提示：圆心C(0,0)到直线1的距离d 学业质量测评 1.A2.D3.A 云+ 4.4.提示：如图，连接OO,OP,PQ, 若点A(a,b)在圆C上，则a2+?=P,所以d= 则1001=v3+平=5， 十示r,则直线1与圆C相切，故A正确： 切线长OP=√02-1OP3=25. 若点A(a,b)在圆C内，则a2+<2,所以d ∴.|PQ=2× OPIX OP L=2×25×5=4. 5 +示>r,则直线1与圆C相离，故B正确： 2 0 若点A(a,b)在圆C外，则a2十>2，所以d= V十疗，则直线1与圆C相交，故C错误： 2 012345云 若点A(a,)在直线l上，则a2+-子=0，即2+=r2. 5.1.提示：如图，设两圆圆心的连线℃与圆O交于 所以d= +厅=r,则直线1与圆C相切，故 2 点P',与圆C交于点Q',当点P在P'处，点Q在Q处 时，PQ1最小，最小值为PQ1=0C-n一=1， D正确 Q 4.3x十4y一5=0（答案不唯一）.提示：两圆的圆心分别 P' 为(0,0)和(3,4)，半径分别为1和4.因为两圆的圆心 距等于半径的和，所以两圆外切，共有三条公切线，其 6.(1)当斜率不存在时，直线1的方程为x=4,符合题意： 中一条公切线的斜率为士 三.设该切线的方程为 当斜率存在时，设直线1的方程为kx一y一4k一1=0， 3 则圆心C到直线1的距离2k-3=k-1=2,解得 w1十k 3 x十b(6>0),则 b 9 =1,解得6=号，所以 1+ =-是直线1的方程为3十4y一8=0 与两圆都相切的一条直线的方程为y一一是x十是，即 综上，直线1的方程为x=4或3x十4y一8=0. (2)当直线1的倾斜角为135时，直线1的方程为x+ 3r+4y-5=0. y一3=0，圆心到直线1的距离4=12+3-3=2. [] 提示：因为点A(-2.3)关于直线y=a的 ∴.所求弦长为2×√4-(2)=22. 对称点为A(-2,2a-3,所以km=3号.所以直线 7.C提示：设动圆圆心的坐标为(x,y).因为和x轴相切， AB的方程为y=322十.即3-0r一2y+2a=0 所以动圆半径r=y.又因为动圆与圆x2+y=1外 由题意知，直线A'B与圆(x+3)+(y+2)=1有公 切，所以vx+3y=1+y,化简可得x=2y+1. 共点.因为圆的圆心为（一3，一2），半径为1，所以由点 8.C提示：方程x2+y2-8x十15=0可化为(x-4)2十 y=1.故圆C:x产+y2-8r十15=0的圆心为C(4,0), 到直线的距离公式得一3(3)+2X2+2a≤1，整 √(3-a)+2 半径为1. 理得6d-1lu十3<0，解得号<a≤多，故实数a的取 由题意知，直线y=kx一2上至少存在一点(x,k一 2),以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点. 值范围是[号·] 因为两圆有公共点，所以√(，一4)+(k一2)乎≤2， 9 整理得(k十1).x6一(8+4).x十16≤0 d=是=反，所以1AB1=2斤一不=22，对于圆0 、2 则关于的不等式有解的条件是[一(8+4k)] 上的任意两点P,Q,|PQ|≤2n=|AB|,故C不 64(+1)≥0，解得0<k≤专，故k的最大值为 正确： 9.B提示：设|AC=x,则x≥3。 对于D,圆心O到直线AB的距离的最大值为d十 由PC⊥AP可知|AP1=/AC-PC平=，C-2. n=2+/2,故D正确. :AC垂直平分PQ, 12.3或7.提示：：A∩B中有且仅有一个元素， .I PQI-2x IPCIX API=2xx ∴圆x2+y=4与圆(x-3)2+(y-4)=2相切. ACI 当两圆内切时，√3+F=2一r,解得r=7: 2ExV1-号. 当两圆外切时，√32+4=2十r,解得r=3. .当x=3时，PQ取得最小值，最小值为22× 13..提示：设两圆的交点为A(n),Bm v1音-2 3 则A,B两点的坐标是方程组 “V1-<1,p阳<22 x2+y2+2.x-6y+1=0,① 的解， x2+y2-4x+2y-11=0② :2≤PQ<2厄. ①-②，得3x-4y+6=0. 3 10.BD提示：由题意可得圆M的圆心为（一cos0,sin0), :A,B两点的坐标都满足此方程， ∴.3x一4y十6=0即为两圆公共弦所在的直线方程 半径为1，则圆心到直线：y=kx的距离d= ,圆C的圆心为（一1,3），半径为3 -kcos o-sin ol sin()sin(0+ √1+ /1十 又圆心C到直线AB的距离为山=号， g)l≤1（其中sinp=一 +R60s9- 1 +) AB=2,P一不=号，即两圆的公共弦长为号 所以直线1与圆M有公共点，且对于任意实数k,必 14.[-2,1]. 提示：设M(x,y),则Mi=(一1-x 存在实数0，使直线1与圆M相切. -y,Mi=(1-x,-y,所以Mi·Mi=(-1 11.ABD提示：对于A,因为圆O的标准方程为(x x)(1一x)+y=x2+y-1=3,即点M的轨迹方程 1)+y2=4,圆心为0(1.0)，半径n=2,圆0的标 为x2十y2=4.又M为圆(x一a十1D产+(y一a-2)2= 准方程为x2+(y-1)=2,圆心为O(0,1),半径 1上的点，所以两圆有交点.所以2一1≤ n=2,所以100|=/(1-0)+(0-1)F=2,故 √(a-1)+(a+2)≤2+1，解得-2≤a≤1. A正确： 15.(1)设动圆C的方程为(x一a)”+(y-b)2=25,其中 对于B,因为|n一n|<OO<n+n,所以两圆 圆心(a,b)满足a一b+10=0. 相交，所以PQmx=|O,O|十n十n=2十22，所以 :动圆过点(-5,0)，(-5-a)+(0-b)2=25. 0≤PQ1≤2+22，因为3+2∈[0.2+22]，所以 a-b+10=0. 联立方程 圆O上存在点P,圆O)上存在点Q,使得PQ= (-5-a)2+(0-b)2=25. 3十2，故B正确： [a=-10,a=-5, 解得 或 对于C,两圆方程作差可得r一y十1=0，即直线AB b=0 (b=5. 的方程为x一y十1=0，圆心O到直线AB的距离 故所求圆C的方程为(x+10)2+y=25或(x+ 10 5)2+(y-5)*=25. 5.B提示：圆C:x+y十4r一4y-3=0,即(x+2)+(y (2)存在.圆O的圆心(0,0)到直线1的距离d= -2)2=11圆心为C(-2,2),圆C2:x2+y-4一12= 10=52. 0,即(x一2)+y=16,圆心为C2(2,0).半径为4，则 CC|=√16+4=25，故△PCC的面积的最大值 当r满足r十5<d,即r<52-5时，动圆C中不存 在与圆O:x2十y=2相切的圆： 为2×25×4=45 当r满足r+5=d,即r=52-5时，动圆C中有且 6.B提示：由题意得，圆C:(z-a)2+(y-a)2=1(a>0) 仅有一个圆与圆O:.2十y2=2相外切： 的圆心为C(a,a),半径为r=1,所以圆心到直线y= 当r满足r+5>d,即r>52-5时，与圆O:x+ 2x的距离为d=2.所以弦长|PQ1=2√P一正= 5 y=产相外切的圆有两个. 综上，当r=52-5时，动圆C中满足与圆O:x2+ 2√1-号，所以△CPQ的面积S=PQ·d=2X y=户相外切的圆有且仅有一个. 5 5 x+y2=2, 16.5.提示：联立方程得 7.D提示：在△MAO中，由sin∠MOA=2sin∠MAO得 (x-3)+y=5, MA=2MO设Mx,y),则x2+(y-3)=4(x2+y),化 x=1,x=1, 解得 或 y=1y=-1. 简得x2+(y十1)=4，则圆心为E(0.一1)，半径R=2. 又点A在第一象限，则A(1,1).设点D(x,%),因为 圆C与圆E要有交点，故2-1≤√a+(2a-4+1)产≤ AC=2AD,所以D为AC的中点 2+1,解得0心<号。 设AD的中点为E(,+1） ，22 ,此时D=E, 8.A提示：设圆x2+y-4y+3=0 十1 即x+(y一2)=1的圆心为M,圆 2 6x+1一3一5，得=一 心坐标为(0.2)，半径为1，如图所 5 2 示.因为cos∠APB=os2∠APM= 又u·b=一1，则可得m=5, 1-2sim∠APM=1-2(a) 则直线CD的斜率为5. 17.(0,0).提示：因为圆C关于直线ax十y一12=0对 =1-p所以i,i=PAIIPBI∠APB= 称，所以直线ax十y一12=0过圆C的圆心(0,2)，得 IPA∠APB=(PMI-D(1-P,所以 b=6,故动点S在直线y十6=0上.设S(1,-6),A(, 2 M),B(2),则S4:0x+(M-2)(y-2)=16,SB: Pi.P成=PM+p一3设P(m,m).所以 x十（为-2）(y-2)=16. 1PM12=(m-0)2+(m2-2)2=m-3m2+4=（m 01-8为=0， 代入St,一6)，得 x21-82=0, 是)）广+子>子，当且仅当㎡=多，即m=士时取等 则直线AB的方程为tx一8y=0, 所以直线AB过定点(0,0). 号，由对勾函数y=x十二的单调性可知P·P丽 单元学能测评 PM+p一3在[子，十)上单调递增，所以 1.C2.D3.A4.A iP=子+号-3=一 11答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ..CD=CD=(CA+AB+BD):=CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++. 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云+十？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD 2 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0). 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） D m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10第-章直线与圆收型 2.3直线与圆的位置关系 2.4圆与圆的位置关系 重点和难点 课标要求 重点：判断直线与圆、圆与圆的位置关 1.掌握直线与圆的位置关系， 系，能用直线与圆的方程解决一些简单的 2.理解圆与圆的位置关系 问题. 3.理解直线与圆的方程的应用. 难点：直线与圆的方程的应用. ]-01必备知识梳理-。 基础梳理 马记方法切 知识点1直线与圆的位置关系及其判断 直线与圆的位置关系的 1.直线与圆有三种位置关系 判断方法 (1)直线与圆相离，没有公共点 判断直钱与圆的位置关 (2)直线与圆相切，只有一个公共点. 系，通常使用几何法（即利用 圆心到直线的距离与圆的半 (3)直线与圆相交，有两个公共点. 径的大小关系判断)或代数法 2.直线与圆的位置关系的两种判断方法 (即将直线方程代入圆的方 (1)儿何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系 程，消元后由根的判别式△的 来判断。 符号判断).特别地，当直线经 若d>r,则直线与圆相离； 过圆内一点时，直线与圆必相 若d=r,则直线与圆相切： 交；当直线经过圆上一点时， 直线与圆必有公共，点，即相交 若d<r,则直线与圆相交 或相切 (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y) 的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组 解的个数)来判断. 如果△<0，则方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么 直线与圆相离： 如果△=0，则方程有唯一实数解，从而方程组也只有一组实 数解，那么直线与圆相切： 如果△>0，则方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两 组不同的实数解，那么直线与圆相交 39 更难食手细高中数学选择性必修第一册？S 3.直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 d>r d=r d<r 方程组无解 方程组有两组相同的解 方程组有两组不同的解 d=r 知识点2圆与圆的位置关系及其判断 园敲黑板 1.圆与圆的位置关系 (1)当n=n时，不会出 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切和内含.如图 现内切、内含或同心圆的情 况.若d=0且n=r2,则两圆 重合 外离 外切 (2)对于圆与國的位置关 系，从交点的个数，也就是方 程组的解的个数来判断，有时 机交 内切 内含 得不到确切的结论.如当△ 其中，外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. 0时，需要再根据图形判断两 2.圆与圆的位置关系的判断 圆是外离还是内含：当△=0 (1)几何法 时，需要再根据图形来判断两 设圆O的半径为n1,圆O2的半径为2，两个圆的圆心距d= 圆是外切还是内切. OO2|,则： 两圆外离台d>n十r2; 两圆外切台d=r1十r2; 两圆相交台|n一r2<<n十r2: 两圆内切台d=rn一r2: 两圆内含台d<n一r. (2)代数法 联立两个圆的方程，得 x2+y2+Dx+Ey+F1=0, 消去x,y,得到一个二元一 x2+y2+D2x+E2y十F2=0, 次方程，然后代入其中一个圆的方程中得到一个一元二次方程， 利用判别式△的值判断两圆的位置关系： △>0一有两组不同的实数解一两圆相交： △=0台有一组实数解台两圆相切（外切或内切）： △<0曰没有实数解台两圆相离（外离或内含）. 40 第一章 直线与圆收型 重难拓展 重难点1直线与圆的位置关系的应用 例1若圆.x2+y2一4x一4y一10=0上至少有三个不同的点 到直线l:y=kx的距离为2、2，则直线I的斜率的取值范围是 解析圆的方程可化为(x一2)2十(y一2)2=18， 即圆心坐标为(2,2)，半径r=32 因为圆上至少有三个不同的点到直线（的距离为2/2， 则圆心到直线！的距离应小于或等于√2 即d1=2k-2≤2，即(2k-2)≤2(+1. VF1 解得2-√3≤k≤2十√3. 所以直线1的斜率的取值范围是[2一√，2十√]. 答案[2-3,2十3]. 重难点2直线与圆相交 设直线l:Ax+By十C=0(A,B不全为0)与圆C:(x-a)+ (y一b)=r相交于E,F两点. 1.交点坐标 Ax+By+C-0, 将直线！与圆C的方程联立得方程组 (x-a)2+(y-b)2=2, 解方程组即得交点E,F的坐标 2.弦长 直线1与圆C的两个交点E,F间的连线段即为圆C的一条 弦，其长度可由以下方法求解， 设E(x1y),F(x2,y). 方法一求出E,F两点的坐标，由两点间的距离公式得 1EF1=V(x2-x)+(-M). 方法二如图，设弦EF的中点为M,连 接CM,由垂径定理知CM⊥EF. Ca.b) 利用点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l的距离d=|CM.连接CE,在O Rt△CEM中，由勾股定理得|EM=√一，则|EF|=2|EM =2√r2-d. 41 重难⑤手册高中数学选择性必修第一册？S心 方法三设直线1的斜率为k(假设k存在)，则k=业二当 刀提个醒 x2-x1 对于方法三，我们也可以 于是 得到类似的弦长公式（假设 EF|=V/(x2-1)+(2-y) 存在且k≠0)： EF= =-[1+(若门 √(xg一x1)2+(为-y)= =√/(1+k)儿(x1十x2)2-4x1x2], W-[1+(9)门 称此公式为弦长公式， 11+是)[6n+为P-4], 其中x,十x2与x1,x2可由直线方程与圆的方程联立消去y 由此则需联立方程消去x, 后，利用根与系数的关系求解， 利用根与系数的关系得”十 例2若直线l:x-y十3=0被圆C:(x一a)+(y-2)= 与y1” 通记方法 4(a>0)截得的弦长为2,3，则a= 求圆C:(x-a2+(y-b)2=r2 解析圆C的圆心坐标为(a,2),半径r=2. 的切线方程的常见类型与方法 由点到直线的距离公式得國心到直线的距离d=a一2十3 类型一求斜率为k且 12 与图C相切的直线的方程 设切线方程为y=kr十m. 又由孩长得圆心到直线的距离为、r-(2)=2-3=1, 方法一利用圆心到切 线的距离等于半径，构建方 所以1=a-2+3 程，求出m即得切线方程. ,解得a=、2-1或a=-√2-1（含去）. 、2 方法二将切线方程y kx十m与圆的方程联立，消去 答案、2一1. y(或x)得到关于x(或y)的 重难点3圆的切线 一元二次方程，由△=0求出 m,即得切线方程. 1,设圆C的半径为r,圆心C到直线I的距离为d,若直线( 类型二求过圆上一点 与圆C相切，则d=r P(x,%)的圆C的切线方程 2.过点M(xo,%)的直线与圆C相切于点T,|MTI为切 当点P在C上时，过 点P有且只有圆C的一条切 线长， 线，且点P为切点， (1)1MT|=√MC2-r(其中r为圆C的半径). 可按下列步骤求切线方程： ①连接CP,求出直线CP (2)|MT|=√6十话十Dx十E%+F(圆C的方程为x2+ 的斜率： y2+Dx+Ey+F=0). ②由圆的切线的几何性 3.设点M(xo%)在圆C上，过点M作切线. 质知直线CP与切线垂直，可 得切线的斜率： (1)若圆C:x2十y2=产，则切线方程为x0x十%y=2 ③利用点斜式即得切线 (2)若圆C:(x一a)2十(y一b)2=2,则切线方程为(xo一a)· 方程 (x-a)+(%-b)(y-b)=r2. 提示：若直线CP的斜率 不存在，则切线的斜率为0：若 4.过圆C外一点M(x%)引圆C的两条切线，设切点分别 直线CP的斜率为0，则切线 为A,B. 的斜率不存在，所求切线方程 (1)若圆C:x2+y2=,则直线AB的方程为xox+%y=2. 为x=x. 42 第一章 直线与圆组 (2)若圆C:(x一a)2+(y一b)2=2,则直线AB的方程为 类型三求过围外一点 (x-a)(x-a)+(-b)(y-b)=r. P(x,%)的圆C的切线方程 当点P在圆C外时，过 例3(2024·福州一中检测)如图，过圆外一点P(a,b)作圆 点P可作圆C的两条切线. x2十y2=2的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB的方程. 可利用下列方法求切线方程， 方法一（几何法）设切 线的斜率为k,则切线方程为 y一为=k(x-x),化为一般 式为kx一y-kx0十h=0 由圆心C到切线的距离等 于圆的半径得如一b一k西士站 解折设切，点A,B的坐标分别为(x1,y),(x2y2), +1 =r,解方程求，即得切线 则切线AP的方程为x十1y=,切线BP的方程为2x十 方程 wy=r2. 方法二（代数法）设切 因为这两条切线都过点P(a,b), 线方程为y为=k(x一0)： 即y=kx一k十%，代入圆 所以a.x1十by=r2,① 的方程，得到一个关于x的一 ax2+by2=.② 元二次方程，由△=0求出 的值，即得切线方程 由①②式可知点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都适合方程 提示：过圆外一点的圆的 a,x十by=2,即它是直线AB的方程. 切线必有两条，若求得的k值 而过点A.B的直线只有一条，所以直线AB的方程为ax十 只有一个，则表明其中一条切 线的斜率不存在，其方程为x by=2. =0,不能遗漏. 02关建能力提升◆ 题型方法 (一1,0)，且，点（一1,0）在圆x2十y=1上，结合 题型1直线与圆、圆与圆的位置关系 图形（图略）知，若k=0,则直线与圆相切：若 k≠0，则直线与圆相交. 的判断及其应用 答案C 1.位置关系的判断问题 例4直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1 2.由位置关系引发的求参问题 例5(2024·西安铁一中学单元检测)已 的位置关系是( ). A.相交 B.相离 知圆C:.x2+y-2mx+4y十nm-5=0,圆C: C.相交或相切 D.相切 x2十y2十2x-2my十2-3=0.问：m为何值时， (1)圆C与圆C2外切？(2)圆C与圆C内含？ 解析(1)方法一圆心(0,0)到直线x 解析对于圆C,圆C2的方程，配方得 ky十1=0的距离为d= 1+(-S1,故直 圆C:(x-m)2十(y+2)2=9,圆C2:(x+ 线与圆相交或相切 1)2+(y-m)=4. 方法二直线x一ky十1=0经过定点 故圆C1的圆心C(,一2)，半径n=3, 43 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 圆C2的圆心C2(一1，m),半径r2=2. 此时直线被圆C戏得的弦长为43，满足题意： (1)如果圆C与圆C2外切， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 则有(m十1)十（一2-m)2=3十2， y=k.x+5,即kx-y+5=0, 即(m+1)2+(m十2)2=25，所以m2十 直线被圆C截得的弦长为43， 3m-10=0,解得m=一5或m=2. 圆心到直线的距离d=-2k-6十5 (2)如果圆C与圆C2内含， 1k2十1 则有、(m十1)2+（一2-m)2<3-2. 16-2B,k= 即(m+1)2+(m+2)2<1,所以m2+ '.直线l的方程为3x-4y十20=0. 3m+2<0,解得-2<m<-1. 综上，直线1的方程为3.x一4y十20=0或 题型2直线与圆的相交问题 x=0. 1.求直线与圆的交点坐标与弦长问题 答案3.x-4y十20=0或x=0. (1)将直线与圆的方程联立，整理为关于x 3.直线与圆相交时，求过交点的圆的方程 (或y)的一元二次方程，进而求出x(或y),再 问题 代回直线方程求y(或x),即得交点坐标 解决此类问题有以下两种方法：(1)联立 (2)涉及直线被圆截得弦长的问题的解法 方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求圆 有以下两种：一是几何法，即利用弦心距、半弦 的方程：(2)设圆系方程确定参数，一般地，过 长以及半径构成的直角三角形求解；二是代数 直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+ 法，即将直线方程与圆的方程联立，运用韦达 Ey+F=0(D+E一4F>0)的交点的圆系方 定理及弦长公式求解.解决直线与圆的弦长问 程可设为x+y2十Dx十Ey+F+A(Ax十 题，一般不求交点坐标，要充分利用弦中点等 By十C)=0,但注意系数入一定要写在直线方 有关的几何性质. 程之前 2.已知弦长，求直线或圆的方程 4.中点弦问题 已知弦长，求直线或圆的方程，往往结合 解决与中点弦有关的问题时，有下列三种 圆的半径长r、弦长1的一半、弦心距d构成的 常见方法：(1)利用直线与圆的方程联立后所 直角三角形，并利用待定系数法求解。 得的一元二次方程的根与系数的关系，求出弦 例6(2024·清华附中检测)若直线1过 所在直线的斜率：(2)设出弦的两个端点坐标， 点A(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24= 代入圆的方程，利用作差法求出其中点的坐标 0截得的弦长为4√3，则直线1的方程为 和斜率表示的方程，即点差法：(3)利用圆本身 的几何性质，即圆心和弦中点的连线与弦垂 解析]，圆C的方程x2十y十4x一12y十 直，可直接求出斜率 24=0可化为(x十2)2+(y-6)2=16, 例7(2024·中山一中检测)已知圆x2十 ∴.圆心为C(一2,6)，半径为4 y-4x+6y-12=0内一点A(4,一2)，求以A 当直线的斜率不存在时，直线【的方程为 为中点的弦所在的直线方程， x=0,在圆的方程中，令x=0,则y=6士2、3， 解析方法一当斜率存在时，设直线的 44 第一章 直线与圆收型 斜率为k,过点A的直线为y十2=k(x一4)，即x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程： y=k(x-4)-2. (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切 代入圆的方程得(1十k)x2一(8k2一2k十 线，切点为M,O为坐标原点，且有PM= 4)x+16k-8k-20=0. PO引，求点P的轨迹方程， 1十k2≠0，△>0， 解析(1)易知圆C的圆心坐标为（一1， 可设两个交点的坐标分别为(x1,y), 2),半径为√2. (x22） 由题意知，直线在两坐标轴上的戴距不为 则十2 8k-2k十4=4X2,得k=-2. 0,设直线方程为x十y一a=0(a≠0)，由直线与 1十k2 ∴.所求直线的方程是2x十y一6=0. 圆相切得-十2二a=2,解得a=一1或 12+12 当斜率不存在时，直线x=4不能满足题 a=3. 设要求 .直线I的方程为x十y十1=0或x十y ∴.所求直线的方程是2.x十y-6=0. 3=0. 方法二设两个交点的坐标分别为B(x1, (2)易知PC2=|PM2+|CM2 y),C(x2,2), =|PM2+2, 则十2=8，为十2=一4，k=山二业」 ∴.PM2=|PC2-2. x1一T2 .|PM=|PO,.|PC2-2=|PO2, 把B,C两点的坐标代入圆的方程，得 .(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y, x+y-4x1+6y1-12=0,① 即2.x-4y+3=0. x+y5-4.x2+6y2-12=0.② 故点P的轨迹方程为2x一4y十3=0. ①一②并整理，得(1十x2)十（y十2)· 题型4两圆位置关系的相关问题 当二业-4十6·y二业=0，即8-4k-4+ x1-2 xI-x3 1.两圆相交的有关问题 6k=0,解得k=一2. 求过两圆交点的圆的方程，一般用代数 故所求直线的方程是2.x十y一6=0. 法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性 方法三由圆的几何性质知，圆心与A的 质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出 连线与弦所在直线垂直，由此可知弦所在直线 所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后 的斜率。 求出圆的方程。 过两圆C:x2+y2十D1x+Ey+F=0和 :周心为0X2,-3),kan= C2:x2十y2十D2x十E2y十F2=0的交点的圆系 .k=-2. 方程是(x2+y2+Dx+Ey十F)+A(.x2十 .所求直线的方程是2.x十y一6=0. y十D2x十E2y十F2)=0(a≠-1).（其中不含 题型3直线与圆的相切问题 有圆C2:x2十y2+D2x+E2y+F2=0,注意检 例8(2024·北京十一学校检测)已知圆 验C2是否满足题意，以防漏解.) C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)当入=-1时，l:(D-D2)x+(E (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在E:)y十F:一F2=0为两圆公共弦所在的直线 45 更滩包手细高中数学选择性必修第一册 RSD 方程 点C1(2,0)到直线4x十4y一7=0的距离 (2)当两圆相切（内切或外切）时，1为过两 为d=18+0-71=2 圆公共切点的直线方程， 16+16 8 2.两圆相切的有关问题 (1)处理两圆相切的问题时，首先，必须准 则圆C,C2的公共弦长为2 -( 确把握是内切还是外切：其次，将两圆相切的 V62 问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之 差的绝对值（内切时）或两圆半径长之和（外切 答案A 时)的问题 题型5直线与圆的方程的实际应用问题 (2)在求两圆的公切线时，首先，要判断两 例0某沿海地区的海岸线为一段圆弧 圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防 止漏解：其次，应注意公切线的几何性质，得出 AB,对应的圆心角∠AOB=号，该地区为打击 最佳解法.由于两圆外公切线外分圆心距之比 走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对 等于两圆半径之比，内公切线内分圆心距之比 不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆 等于两圆半径之比，故两圆公切线与连心线的 地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点 交点可求，从而公切线可求. A,B处分别建有监测站，A与B之间的直线距 (3)先判断两圆的位置关系，再由位置关 离为10海里. 系确定公切线的条数：①两圆内切时，有1条 (1)求海域ABCD的面积； 公切线：②两圆外切时，有3条公切线：③两圆 (2)现海上P点处有一艘不明船只，在A 相交时，有2条公切线；④两圆内含时，无公切 点测得其距A点4海里，在B点测得其距B点 线：⑤两圆外离时，有4条公切线。 2√19海里，判断这艘不明船只是否进入了海 例9(2024·杭州学军中学月考)已知圆 域ABCD,请说明理由， C的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2， 海城 一1)，圆C2:(x-4)2+(y-2)2=10,则圆C, C2的公共弦长为( 陆地 ⊙ A B.3、2 C3分 D.2 4 解折(I)因为∠AOB=爱，AB=10海里， 解析设圆C的方程为(x一a)2十y2=1, AD=BC=2海里，所以OA=OB=AB=10海 代入点(2，-1)，得(2-a)2十1=1，解得a=2, 里，OD=OA十AD=12海里，所以S海域WxD 故圆C1的方程为(x一2)2十y2=1,化为一 3 般方程为x2十y2一4x十3=0. 2元 ·x(0D-0A2)=6x·(12-10)= 圆C2的一般方程为x2+y2一8.x一4y十 10=0. 22(平方海里)， 两圆方程作差得4.x十4y一7=0， (2)以O为原点，OC所在直线为x轴建立 46 第一章 直线与圆收型 平面直角坐标系（令点A在第一象限）.由题意 距离等于圆的半径2，可得3-3=2，解得 Vk2+1 知，点P在以点B为圆心，219海里为半径的圆 (x一10)2十y=76上，点P也在以点A为圆心，4 k=9±214 5 海里为半径的圆(x-5)2+(y一5、3)2=16上. 所以卫的最大值为9十2四，最小值为 (x-10)2+y2=76, 5 由 (x-5)2+(y-53)2=16, 9-2v14 5 x=3, x=9, 解得 (2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它 或 y=33y=53. 表示圆上的点P到E(一1,0)的距离的平方再 又海域ABCD内的点(x,y)满足 加2，所以当，点P与点E的距离最大或最小 x2+y≥100， 时，所求式子取得最大值或最小值 x2+y2≤144. 显然点E在圆C的外部，所以，点P与点E 由32+(3√3)2=36<100,92+(5√5)2= 距离的最大值为CE引十2，点P与点E距离的 156>144可知，这艘不明船只没有进入海域 最小值为CE-2. ABCD. 又|CE引=√(3+1)2+32=5，所以x2十 题型6直线与圆的位置关系在求函数 y+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小 值为(5-2)2+2=11. 最值中的应用 (3)设x十y=b,则b表示动直线y=一x十b 1)对于求含有名分式型的最值，可以 在y轴上的截距. 显然当动直线y=一x十b与圆(x-3)2十 考虑利用斜率的几何意义求解。 (y一3)2=4相切时，b取得最大值或最小值.此 (2)求形如y十a.x的最值，可设y十a.x 时圆心C(3,3)到切线x十y=b的距离等于 b,考虑利用直线在y轴上的截距求解. 圆的半径2，则3十3-一b=2,即16-61=22， 例1I已知点P(x,y)在圆C:x2十y2一 +1 6x-6y+14=0上 解得b=6士2√2. (1)求兰的最大值与最小值： 所以x+y的最大值为6+2√2，最小值为 6-22. (2)求x+y2+2x十3的最大值与最小值： 易错警示 (3)求x+y的最大值与最小值， ◆易错题8（错误率32%）过点P(6, 解析方程x2十y一6x-6y+14=0可化 -8)与圆C:x2+y2一2x-4y一20=0相切 为(x-3)2+(y-3)2=4. 的直线方程为 (①)兰表示圆上的点P与原点连线所在直 ◆易错题9（错误率30%）(2024·黄石 线的斜率，显然P)O(O为坐标原点)与圆相切 二中月考)求半径为4，与圆C:x2十y2 时，斜率最大或最小 4.x一2y一4=0相切，且和直线y=0相切的 设切线方程为y=kx(由题意知，斜率一定 圆的方程. 存在)，即k.x一y=0,由圆心C(3,3)到切线的 参考答案见《全书易错题集》第2页 47 更避包手细高中数学选择性必修第-册？S> 03核心泰养聚焦一。 考向分类 与⊙O交于B,C两点，D为BC的中点.若 多向1直线与圆的位置关系的判断及 |PO1=√2，则PA·PD的最大值为( 应用 A安 B1+22 2 例12(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x my十1=0与⊙C:(x-1)+y2=4交于A,B C.1+2 D.2+2 两点，写出满是△ABC的面积为的m的一 解析]由OA⊥PA,OD⊥PD可知O,A, P,D四点共圆，则点D在以OP的中点M为 个值： 解析设，点C到直线AB的距离为d,由弦 国心半径为号的圈上，则Pi·P币-=Pi· 长公式得|AB|=24一正，所以S△= |PD1cos∠APD=|PD1cOs∠APD表示PD在 合AB·d=号×2-d·d=g,即d= PA上投影的数量.由已知易得∠APO=45°，如 图，过，点M作MN∥AP交圜M于点N,作 25或 5 圆M的切线NH交PA于点H,过点M作 当d2 m干空时，解得=士2：当 MK⊥AP于点K,当点D与点N重合时，PD 在PA上的投影最大，即PA·PD的最大值为 2 、=时，解得m=士. d PH=PK+KH=2+是 答案m=2或m=一2或m= 2或m 、1 (写出一个即可). 命题意图：考查直线与圆相交等知识及化 命题规律 归能力 容案A 真题探源：利用教材P32相关知识转化设计 常考题型选填题难度系数0.6高考热度★★★★ 命题意图：考查直线与国、圆与圆的位置 直观想原、逻辑 关系以及解决综合问题的能力 核心素养 素养水平水平二 命题规律 推理、致学运算 真题探源：取材于教材P38第4题等，利 用平面向量知识转化计算 考向2圆与圆的位置关系的判断及应用 常考题型选填题难度系数0.4高考热度★★★ 例13(2023·全国乙卷)已知⊙O的半 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平 径为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB 48