第1章 2.1 圆的标准方程～2.2 圆的一般方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

4k平行的直线/：2x-y+C=0上，且C_3到 6)y+B(6+)x'+C=0,则-Ay'+Bx+ 5 C Ix- C+ 元=0，由于店十垢的值不确定，所以“伴随点” 5 ,解得C-或C- 不一定共线，所以③错误. 2m-为+号-0或2w-十号-0 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 2.2圆的一般方程 2二+3_2.1x+w-11 真题演练 5 5 2 1.-3. 即2一为+3=十w-1. 2.(.x-2)+y2=9. .w-2十4=0或3x十2=0. 3.C提示：设过A,B,C三点的圆的方程为x十y2十 :点P在第一象限，3十2=0不合题意，舍去。 Dx+Ey+F=0(D+B-4F>0), 联立方程 2-+9=0, D+3E+F+10=0, D=-2, xm-2m十4=0， 则4D+2E十F+20=0,解得E=4, /u=-3, D-7E+F+50=0, F=-20. 解得 1 不合题意，舍去 故所求圆的方程为z2+y2一2x+4y一20=0.令x=0. 得y2+4y一20=0.设M(0,y),N(0,”),则+片= -4,为=-20，所以1MN1=1y一1= 联立方程 解得 n-2%十4=0， 37 =18 v(y+)一4y=46. ∴P(日·器)即为同时满足三个条件的点。 4.B提示：A(1,0),B(0,3),C(2,3),.AB= BC=AC=2.,∴.△ABC为等边三角形.故△ABC的 15.②.提示：对于①，设点A(0,3),则A的伴随点”为 外接圆的圆心是△ABC的中心.又等边△ABC的高为 A(号，0），是X(号，0)的“伴随点”为(0，-3)， 厅.△ABC的中心为(1，)放△ABC外接圆 与A不同，所以①错误：对于②，设点P(x,y)的“伴随 点”为P(y千)P(,-)的“件随点” 的圆心到原点的距离为√+(2)=夏 5.(-2,-4)5. 提示：若方程ax2+(a十2)y2+4r+ 为()易知P( 8y十5a=0表示圆，则a2=a十2，故a=-1或2.当 与P(子子)关于y轴对称，所以@正确： a=2时，方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即.x2+y 对于③，设原直线的解析式为Ax+By十C=0,其中 +x+2+号=0，亦(+号)广°+g+10=-年， A,B不同时为0，且P(,为)为该直线上的一点， 不成立，故舍去：当a=一1时，方程为x2十y2十4x十8y P(x)的“伴随点”为P(x',y),其中P,P都不是 -5=0.即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2， 4),半径为5. 原点，且 则x0=一(.x6十6)y,3%= 学业质量测评 -te 1.A (后十心)x,将P(x,)代入原直线方程，得一A(.+2.C提示：由x2+y+Dx十Ey十F=0可知圆心坐标 6 为(-号，-号)，因为圆关于直线y=一1对称，所 当x≥0，y≥>0时，曲线的方程为 (x一1)2十(y一1)2=2，由曲线的对 以圆心(-号，一号)在直线=x一1上，所以-号 称性可知，此曲线所围成的图形由 号-1，即D-E=-2 一个边长为22的正方形与四个半 径为2的半圆围成，因此围成的图形的面积为(22) 3.C提示：因为圆的方程x2十y2+2x-2y-2=0可化 为(x+1)+(y一1)2=4，所以圆心为（一1.1），半径 +4X[×xx2]=8+4玩 r=2.因为圆心（一1,1）到直线1：x十y十2=0的距离 9.B提示：圆M的圆心为(a,一b),且过原点，可排除 d=一1告-1，所以d=,所以圆上到直线1 A,C.B中由直线l可知a>0,b<0,.圆心(a,-b) /1+1 在第一象限，满足条件.D中由直线！可知a<0,b0, 的距离为1的点共有3个 ∴圆心(a,一b)在第二象限，与图形不符 4.(x一2)2+y2=10.提示：设圆心坐标为(a,0),则有 10.B提示：因为点A,B,C均在单位圆上，A.C为单位圆直 (a-5)产十1=(a一1)2+3.解得a=2.所以半径长 径的两个端点，故可令A(cosx,sinx),B(cos(x十a), r=(2-5)+1下=0.故圆C的方程为(x一2)十 sin(x十a)),C(一cosx,一sinx),其中aE(0,2x),且 y=10. a≠r,∴Pi+pi+Fd-=(cos(x+a)-6,sin(+a). 5.20.提示：圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心为 ..PA+PB+PCI=vLcos (r Fa)-6]+sin(.xFa) (一2，一1)，半径为2， =v37-12cos(x+a)≤7. 由题意得直线l:a.x+by+1=0过圆心，侧一2a一b+1 11.ABD提示：圆心坐标为(k,k),在直线y=x上，A正 0,即b=1-2a,则(a-2)2+(6-7)2=(a-2)2+(1 确.令(3-k)2+(0一k)2=4.化简得2k2-6欣+5=0. 2a-7)2=5(a+2)2+20≥20. 4=36-40=一4<0，.2k-6k十5=0无实数 6.设圆心为C. 根，B正确.由(2一k)2+(2一k)=4,化简得k2一4k+ 因为圆心在直线3.x一y一2=0上， 2=0.,△=16一8=8>0，有两个不相等的实数根， 所以可设圆心C的坐标为(a,3a一2). .经过点(2,2)的圆C有两个，C错误.由圆的半径 又因为CA=CB, 为2，得圆的面积为4π，D正确. 所以√/(a-3+(3a一2-1)=/(a+1)+(3a-2-3), 12.x2+y2-2x+4y-20=0.提示：设圆的一般方程为 解得a=2. y+Dr+Ey+F=0(D:+E-4F>0). 所以圆心为(2,4)，半径长r=CA=10. 由圆经过点(4,2)和（一2，一6）， 故所求圆的标准方程为(x一2)十(y一4)”=10. 4D+2E+F+20=0,① 7.A提示：圆的方程可化为(x-1)2+(y十3)2=10-5a, 得 2D+6E-F-40=0.@ 可知圆心的坐标为(1，一3)，且10一5a>0,即a<2. 设圆在x轴上的截距为x1,, :圆关于直线y=x十2功对称，点(1，一3)在直线上 则，是方程x十Dx十F=0的两个根，得十 .1+2h=-3,解得b=-2. =-D .∴.a-b=2十a<4. 设圆在y轴上的截距为y1为， ,.a一b的取值范围是（一o9,4). 则边，边是方程y+Ey十F=0的两个根，得y+ 8.B提示：由题意画出曲线对应的图形（如图中实曲线 y:=-E. 所示 由已知得一D+(-E)=-2,即D+E-2=0.③ 1 联立①②③，解得D=一2，E=4,F=-20. m=0, .2=3 故所求圆的一般方程为x2+y2一2x十4y一20=0. %=1. 13.2十y2+3.x-3y-2=0.提示：因为四边形PABN ∴.圆P的方程为x2+(y-1)2=3 的周长C=|PA|+|AB|+IBV|+INP|= ②当=o一1时，由一x=1得(4一1)2一6=1， m=0, √(-1-1)+(-1一a)产+√/(-1-0+(-1-3)+ 2=3. 36=-1. √(0-1)+(3-a-1)下十/(1-1)+(a-4-1) .圆P的方程为x十(y十1)2=3. √4+(1+a)下+√1+(2-a)+x17+1, 综上所述，圆P的方程为x2+(y士1)=3. 所以当4+(1+a)P+1+(2一a)严取得最小值时 15.(x-1)+(y-)广-票.提示：当m=0时4： 四边形PABN的周长最小 y=0,l:x=2,易知P(2,0). √4+(1+a)于+√/1+(2-a)乎=√(-2-0)+(1+a) 当m≠0时，l过定点O(0,0),斜率k,=m: +√/(1-0)+(-2+a),它表示y轴上的点(0，-a) 直线4的方程可化为m(y一1)十x一2=0，因此l4过 与（一2,1）和(1，一2)的距离之和，易知当这三点共线 定点A2.,斜率=一六则6，=一1， 时该距离之和最小，为点（一2,1）和点(1，一2)间的距 .直线l与互相垂直，故PO上PA. 离令60-20.H1,-2》.则a=号 =-1, 连接OA,则直线4与直线：的交点P必在以 所以直线GH的方程为y一1=一(x十2)，令x=0,得 O(0,0),A(2,1)为一条直径端点的圆上，且圆心为 y=-1,所以a=1 线段A0的中点C(1,号)，半径r=2O4= 因此，当四边形PABN的周长最小时，P(1,1D,V(1,2). 设经过A,P,V三点的圆的方程为x2+y+Dx十Ey十 F=0(D+E-4F>0). ∴所求圆的标准方程为红一)+（一专）广= 1+1-D-E+F=0. D=3, 易知点(2,0)在此圆上，故此圆的方程即为所求. 则1十1+D+E+F=0,解得E=一3， 2.3直线与圆的位置关系 1+4+D+2E+F=0, F=-2. 2.4圆与圆的位置关系 故△APN的外接圆的方程为2+y+3.x一3y一2=0. 真题演练 14.(1)设P(xy),圆P的半径长为r L.B提示：将圆x2+y一4x一1=0化为标准方程(x 由题意得y+2=2,x2+3=2 2)2+y=5,可知圆心坐标为(2,0)，半径为5.设圆心 ∴y2+2=x2+3,即y-x2=1. 为O,过点P(0,一2)作圆O的两条切线分别交圆O于 ,点P的轨迹方程为y一=1. 点A和点B,则OP=2√2，OA=OB=5,PA=PB= (2)设点P的坐标为（为，则二= 3.故m∠OPA=E, 21 s∠0PA-是易知△0P ≌△OBP,则∠OPA=∠OPB,故sina=sin2∠OPA= .lo-w=1. .为一xw=士1，即%=x士1. 2sin∠OPA·cos∠OPA=2X5×3=￥正 2w2224 ①当%=m十1时，由-z=1得(+1)2一=1,2.A答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10更难手册高中数学选择性必修第一-册？S心 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 2.2圆的一般方程 重点和难点 课标要求 1.掌握圆的几何要素，探索圆的标准方程和 重点：掌握圆的标准方程和一般方程 般方程 难点：圆的方程的应用. 2.体会用代数方法处理几何问题的思想 真口01-必备知识梳理。 基出梳理 卫划重点 知识点1圆的标准方程 (1)國的标准方程的形式 1.圆的标准方程的定义 特征：左边是平方和的结构， 我们把方程(x一a)2十(y一b)=2称为圆心为(a,b),半径 右边是一个正数.这一形式特 长为r(>0)的圆的方程，又把它叫作圆的标准方程. 征凸显了圆的圆心和半径. 2.几种特殊位置的圆的标准方程 (2)方程(x-a)2+(y b)2=m未必表示圆，当且仅 条件 方程的标准形式 当m>0时表示圆，而当m=0 圆心在原点 x2+y2=2(r≠0) 时，表示一个点(a,b),当m< 0时，不表示任何曲线 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+(a2+6>0) (3)国(.x-a)+(y-b) 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r(r≠0) =m(m>0)的半径不是m.而 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 是m. 圆心在x轴上 国敲黑板 (x-a)2+y=a2(a≠0) 且圆过原点 确定圆的标准方程的条件 圆心在y轴上 在圆的标准方程(.x一a严十 x2+(y-b)2=b(b≠0) 且圆过原点 (y-b)2=2中，有三个参数 a,b,r,只要求出a,b,r,圆的 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)=(b≠0) 方程就被确定了，因此，确定 圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a'(a≠0) 圆的方程需要三个独立条件， 圆与两坐标轴 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a=|b≠0) 其中圆心是圆的定位条件，半 都相切 径是圆的定形条件， 30 第-章直线与图收型 知识点2圆的一般方程 目敲黑板 1圆的一般方程的定义 二元二次方程Ax2十 当D十一4F>0时，方程x2+y2十Dx十Ey十F=0表示 Czy+By2+Dx+Ey+F=0 一个圆，这个方程叫作圆的一般方程. 表示圆的充要条件是 2.圆的一般方程的形式特征 A=B≠0， (1)2和y项的系数相同且不等于0(2和y项的系数如果 C=0. 是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可). D+E-4AF>0. (2)不含xy项 (3)D+E-4F>0. 3.圆的标准方程与圆的一般方程的特点对比 圆的标准方程 圆的一般方程 x+y+Dr+Ey+F=0 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (D+E-4F>0) 圆心 (a.b) (2-) 半径长 是D+B-评 优点 儿何特征明显 突出方程形式上的特点 知识点3点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系如图：点在圆外、点在圆上和点在圆内. B © 点在圆外 点在圆上 点在圆内 2.判断方法 (1)设点M(x,%)到圆C:(x一a)2+(y一b)2=2的圆心C 的距离为d,则d=|MC=/(xo-a)2+(%一b)2。 ①d>r,即(xa一a)2+(%一b)2>2台点M在圆C的外部： ②d<r,即(x0一a)2+(%一b)2<2台点M在圆C的内部： ③d=r,即(xo一a)2+(%一b)2=r产台点M在圆C上， (2)已知点M(x,%)和圆的方程x2+y2+Dx十Ey十F 0(D十一4F>0),则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x号++Dm十Ey+F>0 点M在圆上 y+Dro+Eyo+F=0 点M在圆内 x号+y+Dx+E十F<0 31 更难包手细高中数学选择性必修第-册S 重难拓展 马记方法 重难点1圆的方程 求圆的方程的两种方法 L.标准式：(.x-a)十(y-b)=r2(r>0),圆心为(a,b),半径 (1)几何法：根据圆的几何 为r 性质，直接求出圆的圆心坐标 2.一般式：x2+y2+Dx十Ey十F=0(其中D2十E-4F 和半径，进而写出圆的方程 (2)待定系数法：设出圆 0,圆心为(-号，-，半径，=2D+E-4亚. 的方程，根据条件列出关于三 个参效的方程组，解出参数的 (x=a+rcos 0 3.参数式 (0为参数)，圆心为(ab),半径为r 值，代入即得周的方程，选用 y=b+rsin 0 标准方程还是一般方程的原 例①在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2一6.x十1与坐标 则是：如果已知条件易得间心 轴的交点都在圆C上，求圆C的方程。 坐标，半径或可用圆心坐标、 解析方法一（代数法）曲线y=x2一6.x十1与y轴的交点 半径建立方程，则通常设圆的 标准方程：否则可设圆的一般 为(0,1)，与x轴的交点为(3十2√2,0)，(3-22.0). 方程 设圆的方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0(DP+E-4F>0), 待定系数法求圆的方程的步骤 1+E+F=0, D=-6, 朵据趋意，设出所求圆钓 标瓶方(x一a+(y-b)= 则有{(3十2√2)2十D(3+22)十F=0,解得E=-2, ,气r>0或圆的一搬方科 .x++Dx+Ey-F=0(+ (3-22)2+D(3-2√2)+F=0, F=1. E-4F>0) 故圆C的方程是x2+y2一6.x-2y+1=0. 根心知条件建立关十a, b,或D,E,F的方程州 方法二（几何法）曲线y=x2一6x十1与y轴的交点为(0， 解方程知，求山a,b,r成D E,上的雀 1),与x轴的交点为(3十2√2,0)，(3-2√2,0). 将a,b,r或D.E,F的值代 故可设圆心C为(3，t),则有3+(t一1)2=(22)2+2，解得 人所设的方程，即得所：求圆 的方程 t=1,则圆C的半径=3，所以圆C的方程为(x一3)2十(y一1)2=9. 重难点2圆上的点到定点距离的最值 已知点P(x,y)是圆C:(x一a)2+(y-b)=上的任意 点.点M(m,n)是平面上的一点，设点M到圆心C的距离为d, d=√(m-a)+(n-b)2. 则当点M在圆C外时，|PMx=d十r,|PMmm=d一r 当点M在圆C内时，|PMx=d+r,|PMmm=r-d. 特别地，当点M在圆C上时，|PMmx=2r,|PMmm=0. 例2求圆C:x2+(y-3)2=1上的动点P到点Q(2,3)的距 离的最小值 解析由22+(3一3)2=4>1知点Q在圆外. 圆C的半径为r=1. 又圆心C(0,3)到点Q的距离d=|CQ=√/(2-0)+(3-3) =2,所以|PQmin=d-r=2-1=1. 32 第一章 直线与圆收型 口02关建能边提。 题型方法 一5)的圆的标准方程， 题型1求圆的方程问题 解析方法一设，点C为圆心. 1.直接法求圆的标准方程 ,点C在直线x-2y一3=0上， (1)如果动点满足圆的定义，则可直接用 ∴.可设点C的坐标为(2a十3，a). 定义来求圆的标准方程。 又，该圆经过A,B两点， (2)根据题中条件确定圆心和半径（有些 .|CA=|CB1. 题中已明确圆心和半径)，再直接套用圆的标 ∴./(2a+3-2)2+(a+3) 准方程。 =√(2a+3+2)+(a+5)2, 2.待定系数法求圆的标准方程 解得a=-2. 由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参 .圆心坐标为C(一1，一2)，半径r=10. 数，所以必须具备三个独立条件，才能求出一 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y十 个圆的标准方程.用待定系数法求圆的标准方 2)￥=10. 程，即列出关于a,b,r的方程组，解方程组求 方法二设所求圆的标准方程为(x一a)P十 a,b,r的值. (y-b)2=r2. 3.待定系数法求圆的一般方程 (2-a)2+(-3-b)2=r2, 如果已知条件中圆心的位置不能确定，则 由条件知(-2-a)2+(-5-b)2=2, 选择圆的一般方程.圆的一般方程也含有三个 a-2b-3=0, 独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件， a=-1, 才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系 解得b=一2， 数法.设所求圆的方程为x2十y2+Dx十Ey十 2=10. F=O,由三个条件得到关于D,E,F的一个三 故所求圆的标准方程为(x十1)十(y十 元一次方程组，解方程组，确定D,E,F的值. 2)2=10. 4.几何性质法求圆的标准方程 方法三线段AB的中点为(0，一4)，kg (1)根据题意设出圆心、半径，然后由圆上 -3-(-5)=1 任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得 2-(-2)2 参数的值，由此确定圆心坐标和半径. .弦AB的垂直平分线的斜率k=一2. (2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的 ∴，线段AB的垂直平分线的方程为y十 垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂 4=-2x,即y=-2x-4. 直平分线的方程，与已知的圆心所在的直线方 故圆心是直线y=一2x一4与直线x 程联立求得圆心坐标，再由两点间的距离公式 2y一3=0的交点， 求得半径， y=-2.x-4, .x=-1, 由 例3(2024·黄石三中测试)求圆心在直 -2y-3=0.得y-2 线x-2y一3=0上，且过点A(2,-3),B(一2， 即圆心为（一1，一2）， 33 更滩包手细高中数学选择性必修第一册 ?SD 圆的半径为 所满足的关系式 r=√(-1-2)2+(-2+3)2=√/10. (2)定义法：当所列出的关系式符合圆的 .所求圆的标准方程为(x十1)2十(y十 定义时，可利用定义写出点的轨迹方程 2)2=10. (3)相关点法：若动点P(x,y)随着圆上的 题型2二元二次方程表示圆的方程问题 另一动点Q(x,)的运动而运动，且，y”可 用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的 1二元二次方程表示的曲线与圆的关系 方程，即得动点P的轨迹方程.相关点法又称 判断二元二次方程Ax2十Bxy十Cy2+ 代入法 Dx十Ey十F=0是否表示圆可按如下步骤进 2.求含参数的圆的圆心的轨迹问题 行：(1)判断A,C是否相等，且不等于0，B是 圆心的轨迹问题常采用参数法来解决.由 否等于0：(2)若满足A=C≠0，B=0,则判断 题中条件得到圆心的坐标，圆心的横、纵坐标 D+E一4AF是否大于0，或将方程左端配 般含有同一个参数，再设法消去这个参数， 方，然后与圆的标准方程进行对比，从而作出 就可以得到圆心的轨迹方程， 判断 例5(2024·杭州二中月考)已知直角三 2.已知二元二次方程表示圆，求参数的 角形ABC的斜边为AB,且A(一1,0)，B(3, 范围 0),求： 二元二次方程x2十yY2十Dx十Ey+F=0 (1)直角顶点C的轨迹方程： 表示圆的条件是D十E一4F>0,求参数的取 (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 值范围问题可以转化为解不等式D十E 解析(1)设AB的中点为D,由中点坐标 4F>0.若已知二元二次方程Ax2十Cy十 公式得D(1,0),由直角三角形的性质知， Dx+Ey十F=0(A=C≠0)，则可先将x2,y2 项的系数化为1. 1CD=2AB=2,由圈的定义知，动点C的 例4(2024·宜昌一中检测)若方程x2十 轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆（由于 y2+2a.x+2ay十2a2+a-1=0表示圆，则a的 A,B,C三，点不共线，所以应除去与x轴的交 取值范围是 点)，所以直角顶，点C的轨迹方程为(x一1)2十 解析方程x2+y2+2a.x+2ay十2a2十a y2=4(x≠3且x≠-1). 1=0可化为(x十a)2+(y十a)2=1一a,它表示 (2)设，点Mx,y),点C(x,%).因为M是 圆，需满足1-a>0,故a<1. 线段BC的中点，由中点坐标公式得x=十3 2 答案a<1. 题型3与圆有关的轨迹问题 3且≠1=0，于是有=2x-3. 1.求圆的轨迹方程问题 w=2y. 圆是一个双重对称图形，与圆有关的轨迹 由(1)知，，点C的轨迹方程为(x一1)十 问题可结合圆的有关性质解决，解决的方法可 y2=4(x≠3且x≠一1)，将c0,%代入该方程 以是直接法、定义法或相关点法等 得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y=1. (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的 因此动，点M的轨迹方程为(x一2)2十y2= 平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点1(x≠3且x≠1). 34 第一章 直线与圆收型 题型4与圆有关的对称问题 小值与最大值 L,求已知圆关于点或直线对称的圆的方 解析如图，设点P的坐R 程，一般有两种方法 标是(x,y),则点Q的坐标是 方法一确定对称圆的圆心和半径长.步 (18-x,-y). 骤如下：(1)确定已知圆的圆心和半径长：(2)利 ,·线段OR由OP绕原点 M 用对称求出待求圆的圆心：(3)写出待求圆的 逆时针方向旋转90°得到， 方程 .由平面几何知识得，点R的坐标为 方法二相关点法.步骤如下：(1)设出待 (-y,x), 求圆上任意一点P(x,y);(2)求出点P的对称 则|QR|=v(18-x+y)2+(-y-x)7 点Q(x',y):(3)将点Q的坐标代入已知圆的 =√2·v(x-9)+(y+9)2. 方程，化简得待求圆的方程. ,P(x,y)为圆(x-5)2+(y-5)2=2上 2.圆是轴对称图形，每条过圆心的直线都 的点， 是圆的对称轴，即圆的每条对称轴都过圆心 ./(x-9)严十(y+9)的几何意义为点 利用这条性质可求相关参数的值或代数式的 M(9,一9)到圆上的点P(x,y)的距离. 取值范围， 连接PM,当|PM最小时，QR|也最小： 例6已知圆C与圆C1:(x-1)2+y=1 当|PM最大时，QR也最大 关于直线y=一x对称，则圆C的标准方程为 连接MC,则|PMmm=||MC|一r= (). A.(x+1)2+y2=1 1、(9-5)2+(-9-5)2-r=|2√53-r, B.x2+y2=1 PMI nx =MCI+r=2V53+r, C.x2+(y+1)2=1 ∴.|QRlm=√2|253-rl,|QR|x= D.x2+(y-1)=1 √2(2w53+r). 解析由题意知，圆(x一1)2十y2=1的圆 题型6与圆的方程有关的实际问题 心为C(1,0),半径片=1.设圆心C(1,0) 例8一座圆弧形拱桥，当水面在如图1所 关于直线y=一x对称的点为(a,b), 示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当 2(-10=-1. b 水面下降1米后，水面宽度为( 1u=0. 则 解得 A.14米 +1_b b=-1. 22 B.15米 故所求圆C的标准方程为x2十(y十1)=1. C.√5I米 答案C D.2v5I米 题型5与圆有关的最值问题 解析以圆孤形拱桥 例⑦已知P是圆C:(x一5)2十(y-5)= 的顶，点为原点，过圆孤形拱 2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对 桥的顶，点的水平切线为x 称点为Q,O为原点，线段OP绕原点O逆时针 轴，过圆孤形拱桥的顶，点的 图2 方向旋转90°后，所得线段为OR,求QR的最竖直直线为y轴，建立平 35 更滩食手册高中数学选择性必修第一册 rsD 面直角坐标系，如图2 故水面宽度为2√51米. 设圆心为C,离拱顶2米的水面所在弦的 答案D 端点为A,B,则由已知可得A(6,一2) 易错警示 设圆的半径为r,则C(0,一r), ◆易错题6（错误率26%）(2024·黄冈 即圆的方程为x2十(y十r)=r2, 中学单元检测)若关于x,y的方程(2m2十 将点A的坐标代入上述方程，可得r=10, 一1)x2+(m2一m+2)y2+m十2=0表示的 所以圆的方程为x2十(y+10)2=100. 图形是一个圆，求实数m的值 当水面下降1米后，设水面所在弦的端点 ◆易错题7（错误率31%）已知某圆圆 为A',B, 心在x轴上，半径为5，且截y轴所得的线段 可设A'的坐标为(x0,一3)(>0)，代入 长为8，求该圆的标准方程 x2+(y十10)2=100，解得x=√51. 参考答案见《全书易错题集》第2页 03核素养聚焦。 考向分类 考向2圆的方程的应用 考向1求圆的方程 例10(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的 例9(2018·天津卷)在平面直角坐标系 圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x一y 中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程 3=0的距离为( ). 为 B2⑤ C36 解析方法一设圆的方程为x2十y2十 A哥 5 5 n Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 解析因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1) F=0. D=-2, 在该圆上，所以可设该圆的方程为(x一a)2十 则1+1十D+E十F=0,解得{E=0, (y-a)2=a2(a>0).所以(2-a)2+(1-a)2= 4+2D+F=0. F=0, a2,即a2-6a十5=0，解得a=1或a=5.所以 即圆的方程为x2十y2一2x=0. 圆心的坐标为(1,1)或(5,5).所以圆心到直线 方法二易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶 点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆 2红-y8=0的距离为21-25我 w22+(-1)7 心为(1,0)，半径长为1，所以所求圆的方程为 2×5-5-31_25 (x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. √/22+(-1) 5· 答案x2十y-2.x=0. [答案B 命题意图：考查圆的一般方程及与圆有关 例1L(2018·全国Ⅲ卷)直线x十y十 命题规律的几何性质 2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在 真题探源：根据教材P31例4政编 圆(x一2)+y2=2上，则△ABP面积的取值 常考题型选填题难度系数0.6高考热度★★★ 范围是( ). 直观想象、逻辑 A.[2,6] B.[4,8] 核心素养 素养水平水平 推理、数学运算 C.[2,3√2] D.[2W2,3V2] 36 第一章 直线与圆收型 解析因为圆心(2,0)到直线的距离d= 2.(经典·天津卷，考向1)已知圆C的圆 2十0+2=22，所以点P到直线的距离 心在x轴的正半轴上，点M(0,W5)在圆C上， √2 d1∈[√2,3√2].根据直线的方程可知A,B两 且圆心到直线2红一y=0的距离为5，则圆C 点的坐标分别为A(一2,0)，B(0,一2)，所以 的方程为 1AB=2E.所以△ABP的面积S=号ABl· 3.(经典·全国Ⅱ卷，考向1)过A(1,3), B(4,2),C(1,一7)三点的圆交y轴于M,N两 d1=√2d. 点，则MN|=( 因为d1∈[2,3、2]，所以S∈[2,6]，即 A.2√6 B.8 △ABP面积的取值范围是[2,6]. C.46 D.10 [答案A 4.(经典·全国Ⅱ卷，考向2)已知三点 命题意图：主要考查点到直线的距离公 A(1,0),B(0,√3)，C(2,3),则△ABC外接圆 命题规律式，圆的标准方程等基本知识 的圆心到原点的距离为( 真题探源：由教材P28相关知识演化 常考题型选填题难度系数0.5 高考热度★★★ A号 B 核心素养 直观想象、数学运算 素养水平水平 c2f n.号 真题演练 5.(经典·浙江卷，考向2)已知a∈R,方 1.(2023·上海卷，考向1)已知x2+y2 程a2x2+(a十2)y2+4x+8y+5a=0表示圆， 4y一m=0的面积为π，则m= 则圆心坐标是 ,半径是 04学业质量测沙。- 基础过关练 谢试时间：20分钟 4.[题型1]已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两 1.[题型2]若方程x2十y2一x十y十m=0表示 点，且圆心在x轴上，则圆C的方程为 圆，则实数m的取值范围是( A号 5.[题型5](2024·武汉四中检测)若直线1： B.m<0 a.x十by+1=0始终平分圆M:x2+y2+ C.m nm<号 4.x十2y+1=0的周长，则(a-2)2+(b-7)2 的最小值为 2.[题型4]若圆x2十y2+Dx十Ey+F-0关于 6.[题型1]已知圆过A(3,1),B(一1,3)两点， 直线y=x一1对称，则( ). 且它的圆心在直线3x一y一2=0上，求此圆 A.D+E=2 B.D-E=-1 的标准方程. C.D-E=-2 D.D+E=1 3.[题型2](2024·六安一中月考)圆x2十y2十 2x-2y-2=0上到直线1：x+y十v2=0的 距离为1的点共有(). A.1个B.2个 C.3个 D.4个 37 更难包手册高中数学选择性必修第一册？S心 B综合提能练 测试时间：30分钟 13.[题型1、5](2024·杭州二中检测)在平面 7.[题型4、5](2024·温州中学测试)若圆x十 直角坐标系中，已知点A(一1，一1)，B(0, y2-2.x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成 3),P(1,a),N(1,a+1),当四边形PABN 轴对称图形，则a一b的取值范围是( 的周长最小时，△APN的外接圆的方程为 A.(-∞，4) B.(-o∞，0) C.(-4,十0o) D.(4,+o∞) 14.[题型1、3](2024·成都七中检测)在平面 8.[题型4]曲线x2+y2=2x+2y围成的图 直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截 形的面积为( ). 得的线段长为2√2，在y轴上截得的线段 A.8+2x B.8+4π 长为2、3. C.6+4π D.6+2x (1)求圆心P的轨迹方程； 9.[题型2](2024·孝感一中月考)已知直线： (2)若点P到直线y=x的距离为号，求圆 a.x-y十b=0,圆M:x2+y2-2a.x+2by=0, 则！与M在同一平面直角坐标系中的图形 P的方程. 只可能是()： 4 10.[题型5](2024·海南月考)已知点A,B,C 在圆x2十y=1上运动，且AB⊥BC,若点 P的坐标为(2,0)，则1PA+P+PC1的最 大值为(). A.6 B.7 C.8 D.9 11.[题型3]（多选题）设有一组圆C:(x一k)2十 (y一)=4(k∈R),则下列命题正确的是 (). A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直 培优突破练 测试时间：10分钟 线上 15.[题型1](2024·武钢三中竞赛训练)已知 B.所有圆C均不经过点(3,0) 直线(1：mx-y=0,l2:x十my-m-2=0.当 C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个 m在实数范围内变化时，l与2的交点P恒 D.所有圆的面积均为4π 在一个定圆上，则定圆的方程是 12.[题型1、2](2024·安微师大附中测试)已 知圆经过点(4,2)和（一2，一6），且在两坐 标轴上的四个截距之和为一2，则圆的一般 方程是 38