第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程～1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

角的取值范围是[0°，45)U(135°，180). 第一章直线与圆 8.A提示：如图，当直线1在11位置 §1直线与直线的方程 时.k=tan0°=0：当直线I在l:位 L.1一次函数的图象与直线的方程 置时，k-?二日=2.放直线1的斜率 1-0 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 真题演练 的取值范围是[0,2]. 9.B提示：作出函数f(x)=og(x十2)的大致图象，如 1.设直线AP的斜率为k,则k= 2 图所示，由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随 x十2 -<<-1x合<4， x的增大而减小，因为a>b>c>0,所以@》<fb b .直线AP的斜率的取值范围是（一1,1）. fe) 学业质量测评 1.C2.A3.C 4D提示：由题图可知，直线，的倾斜角为锐角，且 c b u 直线：的倾斜程度比直线4大，所以k>k>0,山的 倾斜角为钝角，所以k1<0,综上，<k:<2, 10.B提示：方法一 =1+中设一市 x+1 5.ACD提示：当直线的倾斜角为受时，直线的斜率不 则u表示过点M(x,y),N(-1,0)的直线的斜率。 存在，故A,D中命题错误： 因为点M在函数y=一2x十8的图象上，且x∈[2， 易知B中命题正确： 5],所以点M在以A(2,4),B(5,一2)为端点的线段 直线的斜率可以是am专，但直线的倾斜角不是暂，故 上，如图. C中命题错误. 6.D提示：根据题意画出图形，如图. A2,4】 N-l.02-1 米 5,-2) 图1 图2 因为0≤a<180°，显然A,B,C未分类讨论，均不全面， 故宁的取值范围是[号，髫] x+1 不合题意 方法二由点M(x,y)在函数y=一2x+8的图象 通过画图可知， 上，且x[2,5],得+牛1=2士8+1=-1十 当0°≤a<135时，l4的倾斜角为a十45（如图1）： x+1 x十1 当135°≤a<180时，4的倾斜角为45°+a一180°=a [2..故的取值范周是[景·号] 10 x+1 135(如图2). 7.C提示：由抛物线y=2一2kx十1与x轴没有交点， 提示：由物理中光的几何性质可作点A(2,1) 得（一2k)产一4<0，解得一1<k<1,所以直线1的倾斜 关于y轴的对称点A'(一2,1)，并设人射点Q(0,b), 则A',Q.B三点共线，∴kQ=km=(一2 3-1 所以rz logz.=3.xlog 所以(zx-3).xlog=0. k=-ko=一 1 又因为x1>0,所以logz1=0或x一3=0， 12.1,提示：直线1一定能经过一个横、纵坐标为整数 解得x=1或=5（负值舍去）. 的点(a,b).假设直线1还经过另一个整点(r,y),则 经检验，当x1一1时，A,B两点重合，不合题意，舍去， 名-厄.即y一b2-a.因为x≠a,r-a,y 所以点A的坐标为(5，log3). 1.3直线的方程 b为整数，所以该式不可能成立.所以最多只能过一个 真题演练 整点 1.B 2.A 3.D 1以B提示：号-学表示过函数y一h的图象 学业质量测评 上的点(x,y)与点D(1,0)的直线的斜率.如图，令 1.D2.A3.D a=kA,b=k,c=kx,由图可知kx<kw<knA, 4.D提示：方程二-k表示过点P1(G,M)且斜率 x-t 即c<<a 为k的直线，但不包括点P(x),故A错.对于B, 截距可正，可负，可为0，故B错.因截距式方程后十 5 言=-1中要求ad-0,故C错， 14.(1)设A,B两点的坐标分别为(，og),(, 5.D提示：由ax+y十c=0得斜常=一号，直线在 logx),由题意得C,D两点的坐标分别为(， logr),(2,log2）. r轴、y轴上的截距分别为一。，一分 因为O.A,B三点共线， 由题图知<0，即一号<0，ab>0. 所以k1=k,即log题=log -4>0.-6>0,ac<0.c<0. log loge.r logr log 所以l0g8 10g8 .所以3 3 若c<0,则a>0,b>0:若c>0,则a<0,b<0. 6.(1)由点斜式方程得y一3=√3(x-5), 所以bg24=1bg,即x=kD. 即3x-y十3-53=0. 又因为直线OC与直线OD有公共点O, (2)x=-3,即x十3=0. 所以点C,D和原点O在同一直线上. (3)由斜截式方程得y=4x一2，即4x一y一2=0. (2)因为直线BC的方向向量为(1,0)， (4)y=3,即y-3=0. 所以kc-og二log24=0. y一T ⑤由两点式方程得已-二》，即2x+y 所以logx,=log1.所以lo%爱=lgn, 3=0. 1og28 所以1og=3og..所以z=xi. (6)由截距式方程得号3十片-1，即x十3y+3=0 由(1)知10g=log」 7.B提示：令y=0,则直线4,2与x轴的交点的横坐 所以，xlog2r=ri log:.r. 标分别为1=一合西=号符号一正一负，观浆题图 2答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10第一章 直线与圆 §1直线与直线的方程 1.1一次函数的图象与直线的方程 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 重点和难点 课标要求 重点：理解直线的倾斜角和斜率的概 1.理解直线的倾斜角 念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握直线的斜率. 难点：斜率公式的应用」 门01必备知识梳理一， 基础梳理 ☑划重点7 知识点1直线的倾斜角 (1)平面直角坐标系中每 一条直线都有一个确定的倾 1.直线倾斜角的概念 斜角.倾钟程度相同的直线， 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l,把x轴 其领斜角相等：倾斜程度不同 的直线，其领斜角不相等. (正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线！首次重合时所成 (2)倾斜角直观地反映了 的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示 直线相对于工轴正方向的倾 斜程度。 2.直线倾斜角的取值范围 冒敲黑板 如图所示，α是直线1的倾斜角.当直线1与x轴平行或重合 (1)率和倾斜角都反映 时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围 了直线的倾解程度，其中斜率 是0≤a≤1801. 是从代数角度描述的，倾斜角 是从几何角度描述的 y (2)直线的斜率是随着倾 斜角的变化而变化的.当直线 的倾斜角不是90时，倾针角相 同的直线，其斜率相同：领斜角 知识点2直线的斜率 不同的直线，其斜率不同. 1.直线斜率的概念 (3)若直线有斜率，则必 有倾钟角.倾斜角是90°的直 一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常 线没有斜率，倾斜角不是90 用小写字母k表示，即k=tana. 的直线都有斜率. 更难食手细高中教学 选择性必修第一册？SD 2.倾斜角α与斜率k的关系 刀划重点 直线 平行于 由左向右 垂直于 由左向右 (1)当1=2时，斜率公 情况 x轴 上升 x轴 下降 式右边无意义，直线的斜率不 存在，倾针角为90°，所以斜率 a的大小 0° 0°<a<90° 90° 90°<a<180° 公式的适用范围不包括领斜 角α=90°的情况.在研究直线 k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 的斜率问题时，一定要注意讨 论斜率存在与不存在这两种 k的增 随a的增 随a的增 情况 减性 大而增大 大而增大 (2)斜率公式中k的值与 P,P两点在该直线上的位 知识点3过两点的直线的斜率公式 置无关，即在直线！上任取不 L1.公式 同的两点P,P,斜率均不变 (3)斜率公式中两纵坐标 经过两点P(x1,M),P2(x2,y2)(1≠x2)的直线的斜率公式 和两横坐标在公式中的次序 为k=业二y 可以同时调换，也就是说，如 2一x1 果分子是一”，分母必须是 x一x1:如果分子是y一y, 2.直线斜率与方向向量的关系 分母必须是一x.即k 若k是直线（的斜率，则v=(1,k)是它的一个方向向量：若 一业=一边 x一xr:-t 直线1的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0，则它的斜率 (4)若1=32，≠，则 k=Y 直线与x轴平行或重合，斜率 k=0 =0. 重难拓展 重难点1倾斜角与斜率的关系 敲黑板 直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.当倾斜角为 已知直线斜率k的取值 90时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴.直线的斜率也 范国求其倾斜角α的取值范 反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤a<90时， 围，一般方法是先由的取值 斜率越大，直线越“陡”：当90°<α<180°时，斜率越大，直线 范国得到tana的取值范国， 越“平” 再利用正切函数的图象与性 例①(2024·北京二中单元测试)若两直线1,2的倾斜角 质确定a的取值范围，当直线 分别为α，3，则下列四个命题中正确的是(). 的斜率取值既有正值又有负 A.若α<β，则两直线的斜率k,<k 值时，通常是先在相应的正负 B.若α=B,则两直线的斜率k,=k 区间内分别求出对应的领斜 角的范围，再求其并集。 C.若两直线的斜率k<k,则a<3 D.若两直线的斜率k,=k,·则a=B 解扪对于A,当a=受或B受时，斜率不存在，所以不正确 对于B,当a=B=时，斜率不存在，所以不正确.对于C,当k,< 2 第一章 直线与圆收型 0,k>0时，a>B,所以不正确.对于D,当k=kL,时，α=B,所以 正确. 答案D 重难点2利用斜率公式求最值 P划重点 在平时的解题中，常常会遇到求代数式二边的最大值、最 由经过两点P(1,), P,(,2)的直线的斜率计算 小值等问题，如何求出其最值呢？不妨采用几何方法试一试，例 公式=少二业（其中工卡 rg一 如：可将二业看成动点P(x,y)与定点P(0,)所在直线的 x—x0 )知，代数式业二兰的值可 "xy一x1 斜率，从而将求代数式二血的最大（小）值问题转化为求直线 视为经过两，点P,P的直线 PP。的斜率的最大（小）值问题，即将代数问题转化为几何问题 的斜率因此，对于形如少山 r2- 来处理， 结构的代数式，可化归为直线 的斜率，通过数形结合解决问 例2已知实数x,y满足2x十y=8,且2≤x≤3. 题.其应用主要表现在求形如 (1)求Y的取值范围： y二b(mn≠0)的代数式的值 ma-a ②)求牛的取值范周 或取值范围： 解析(1)如图，由于点P(x,y)满足关 y年 A(2.4) 由于yb=”×n x一4m 系式2.x+y=8,且2≤x≤3， 3 P 2 13.2) 所以点P在线段AB上移动，且A,B两 01234支 而没可视为经过点（品 a x 点的坐标分别为A(2,4),B(3,2). 由于的几何意义是直线OP的斜率，且a=2,k= 户)与点()的直线的针率， 3 从而可将求代数式的值或取值 所以兰的取值范国是[号2 范围问题转化为求直线的斜率 的值或取值范围问题，从而利 （2串二}的几何意义是过P.N(-1.-1) 用数形结合的思想求解 两点的直线的斜率. 由题意可知，点P在线段AB上移动，且A,B两点的坐标分 别为A(2,4),B(3,2). 所以串的取值范周为[子，引 3 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 ]-02关建能动提升◆ 题型方法 的坐标. 题型1求直线的倾斜角 解析如图，设P(x, 5,7)/ 例3(2024·武汉二中测试)一条直线1与 0),由光的反射原理知， x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为 入射角等于反射角，即A-2,3》 12 a(0°<a<90),则其倾斜角为(). ∠1=∠2，∴.a=R. ORc.0)支 A.a B.180°-a 因此kw=一km,即 0-3 0-7 C.180°-&或90°-aD.90°+a或90°-a -(-2) x-5 解析如图1，当1向上方向的部分在y轴 解得x=0即P(0, 左侧时，倾斜角为90°+a:如图2，当1向上方 方法总结(1)已知两定点坐标求过这两，点 向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°一a. 的直线的斜率时，可直接利用斜率公式求解， 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等 (2)当给出的坐标含有字母，即问题所给 图1 图2 的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的 答案D 对象进行分类讨论。 题型2求直线的斜率 题型3斜率公式的应用技巧 例④(2024·安徽毫州一中检测)将斜率 1.三点共线问题 为3的直线绕着原点按逆时针方向旋转90°， 例日(2024·西安铁一中学月考)已知 得到的新直线的斜率是( ). A(2m,2),B4,-1D,C(-4,-m)三点在同 A B.3 3 一条直线上，求实数m的值， C.3 D.-3 解析]由于A,B,C三，点所在的直线不可 解析设直线的倾斜角为a,则tana一3. 能垂直于x轴，因此设直线AB,BC的斜率分 因为0≤a180°，所以a=60° 别为k出，k 将该直线绕着原点按逆时针方向旋转 品 7 90°，则新直线的倾斜角为a十90°=150°， 由斜率公式得k=2m-4=4m-8' 而tan150°=-13 · r=1十+m=m-1 4十4 8 故新直线的斜率是- 点A,B,C在同一条直线上，∴.kB=kr 3 答案B ÷n8g,即m-3m-12=0, 例5一束光线从点A(一2,3)射人，经过 x轴上的点P反射后，通过点B(5,7),求点P 解得m-3+,y,m-3二 2 2 第一章 直线与圆收型 ∴m的值为3+，/5或3-☑ 由已知条件可得A(1,1),B(一1,5)，易知 2 2 kM≤k≤kB: 2.倾斜角与斜率的取值范围问题 例7已知点A(3,3),B(-4,2),C(0,一2). 由斜率公式得m=号km=8, 当点D在线段BC(包括端点)上移动时，直线 AD的斜率的变化范围为 所以k长8 解析由斜率公式得直线AB的斜率kB 故y+3 收2的最大值是8，最小值是号 -7直线AC的针幸c-是号3-号 0-33 易错警示 如图，当点D由点B运 y A ◆易错题1（错误率32%）求经过A(m, 动到点C时，直线AD的斜 、D 3),B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜 率由kB增大到kC,所以直 角a的取值范围。 线AD的斜率的变化范围是 ◆易错题2（错误率37%）(2024·武汉 [2引 一中月考)已知点A(2,1),B(一2,2)，若直 奥[7，别 线1过点P(-等，-)，且与线段AB有交 3.求函数的最值问题 点，则直线（的斜率k的取值范围是(）. 例8(2024·北京十 B(-1.5 一学校检测)已知实数x,y A[-8别 满足y=x2-2x十2(-1≤ A(1,1 a[-名，ouo,》 ≤1)，求牛的最大值和 P(-2.-3) C.(-H)U[l.+ 最小值 图的如因，冲表示经过定点P代一2，-3》 n(o,-lu[号+o∞） 与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k. 参考答案见《全书易错题集》第1页 口-03-核心泰养聚焦一， 考向分类 C.3,4,5} D.{2,3} 考向1斜率公式的应用 例日（经典·安微卷）函数y=f(x)的图象 如图1，在区间[a,b门上可找到n(n≥2)个不同的 数，，…，，使得f)=f) a T2 图1 图2 x),则n的取值范围是( . 解折f)-fx)=…=fx)的几何 A.{3,4} B.{2,3,4 意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线 更滩食手细高中数学选择性必修第一册 ?SD 的斜率相等，即n指过原点的直线与曲线的交 食题演练 点个数，由图2可得n为2,3,4. 1.(经典·浙江卷改编，考向1)如图，已知 [答案B 曲线)y=,点A(一2》，曲线上一点P, 命题意图：考查斜率公式的应用 真题探源：结合教材P4斜率公式考查斜 (-<<)求直线AP的斜常的取值 命题规律 率的应用，以及数形结合的思想和分析解 范围。 决问题的能力 常考题型选填题难度系数0.6 高考热度 ★ 核心素养 直观想象 素养水平水平二 04学业质量测评 基础过关练 测试时间：20分钟 5.[题型1、2](2024·湖南师大附中月考)（多 1.[题型1]直线x= 号的倾斜角等于( 选题)下列四个命题中错误的是( A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角 A.0 B.60 和斜率 C.90 D.180 B.直线的倾斜角的取值范围是[O,π) 2.[题型2]若经过P(一2，m),Q(m,4)两点的 C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾 直线的斜率为1，则m等于( 斜角为a A.1 B.4 D.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜 C.1或3 D.1或4 率为tana 3.[题型1、3]已知点A(1,2),在x轴上存在一 6 综合提能练 测试时间：30分钟 点P,使直线PA的倾斜角为135，则点P 6.[题型1](2024·武汉十一中月考)设直线1 的坐标为( 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将！绕坐 A.(0,3) B.(0,-1) 标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线(1， C.(3,0) D.(-1,0) 那么1的倾斜角为( ) 4.[题型3](2024·镇海中学月考)如图，设直 A.a+45 线l1,2,的斜率分别为k1,k2,k,则k1, B.a-1359 k2,k3的大小关系为( C.135-a D.当0°≤a<135时，倾斜角为a十45°：当 135°≤a<180时，倾斜角为a-135 7.[题型3](2024·泉州五中检测)若直线1的 斜率为k,且二次函数y=x2一2kx十1的图 A.k<k2<k B.ka<k<ks 象与x轴没有交点，则直线（的倾斜角的取 C.ka<k2<k D.k<ks<k 值范围是( 6 第一章 直线与圆收型 A.(0°，90°) C 培优突破练 测试时间：10分钟 B.(135°，180) 13.[题型3](2024·华中师大一附中竞赛训 C.[0°，45)U(135°，180) D.[0°，180) 8.[题型3](2024·中山纪念中学月考)已知直 A.a<h<c B.c<b<a 线1过点A(1,2),且不过第四象限，则直线1 C.c<a<b D.b<a<c 的斜率的取值范围是( . 14.[题型3](2024·深圳中学竞赛培优)已知 A.[0,2] B.[0,1] 过原点O的一条直线与函数y=logx的图 c[o.] n[-2o] 象交于A,B两点，分别过点A,B作y轴的 平行线，与函数y=log2x的图象交于C,D 9.[题型3](2024·东北育才中学测试)已知函 两点。 数f(x)=log(x+2),若a>b>c>0,则 (1)求证：点C,D和原点O在同一直线上： fa),fb).fc的大小关系为( (2)当直线BC的方向向量为(1,0)时，求点 b A.f(a)f(b)f(e) A的坐标 b B.f(a)f(b)f(c) C.R()fa)fe) b D.K(a)f(e)f(b) a b 10.[题型3]已知点M(x,y)在函数y=一2x+ 8的图象上，当x∈[2.5时，中的取 值范围是( ). A[2别 a[原引 c[2 D[g割 11.[题型2](2024·郑州一中检测)若光线从 点A(2,1)出发射入y轴上的点Q,再经 y轴反射后过点B(4,3),则入射光线所在 直线的斜率为 12.[题型3](2024·长沙雅礼中学单元测试)若 斜率为√2的直线过横、纵坐标均为整数的 点，则最多能过的点的个数有 个. 7