第17讲 二次根式的运算（6大知识点+11大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第17讲 二次根式的运算 课程标准 学习目标 二次根式的乘法和除法 二次根式的加法和减法 掌握二次根式的运算法则、熟练进行二次根式的运算及化简。 知识点01 二次根式的乘法运算 两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的 .用公式表示为:(a≥0,b≥0). 【即学即练1】 计算： (1)； (2)． 知识点02 二次根式的除法运算 (1)两个算术平方根的商,等于它们被开方数的商的 ,即(a>0,b≥0); (2)商的算术平方根等于各因式的 的商,即(a>0,b≥0); 方法技巧：(1)被开方数能整除的，如 (2)被开方数不能整除的,如 【即学即练1】 ． 知识点03 二次根式的乘除混合运算 二次根式乘除混合运算顺序:先乘方, ,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为 二次根式. 【即学即练1】 计算： (1)； (2)，． 知识点04 二次根式合并的条件 【即学即练1】 若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 知识点05 二次根式的加减 . 【即学即练1】 计算：． 知识点06 二次根式的混合运算 【即学即练1】 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】下列各数中，与的积仍为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算． 题型02 二次根式的除法 【典例1】若，则 ． 【变式1】对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【变式2】下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算： 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例1】计算： ． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 题型04 最简二次根式的判断及化简 【典例1】下列各式，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【变式1】下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】化简： ． 【变式3】将化成最简二次根式的结果为 ． 题型05 已知最简二次根式求参数 【典例1】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【变式1】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【变式2】若是最简二次根式，则自然数 ． 题型06 同类二次根式 【典例1】下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果最简二次根式和可以合并，那么x的值为（   ） A． B．10 C．3 D． 【变式2】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 题型07 二次根式的加减运算 【典例1】若，则的值为（　　） A．3 B．12 C．15 D．27 【变式1】计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型08 二次根式的混合运算 【典例1】计算： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算 (1)； (2)； 题型09 分母有理化 【典例1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值是 【变式2】阅读下列运算过程： ①，②． 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)； (3) 题型10 比较二次根式的大小 【典例1】比较大小 【变式1】比较大小：5 （填“>”，“=”或“<”） 【变式2】综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)化简：__________，__________． (2)比较和的大小． (3)计算： 题型11 二次根式的应用 【典例1】已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【变式1】某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【变式2】安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．若等式成立，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．化简等于（    ） A． B． C． D． 6．下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 11．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 二、填空题 12．二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 13．已知，则的值为 ． 14．计算： ． 15．把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 16．已知实数x、y满足，则的值等于 ． 17．定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 21．（1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 22．现有一组按规律排列的数：1，，1，，…，其中1，这6个数按此规律重复出现． (1)第50个数是什么数？ (2)把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，若和为520，则共有多少个数的平方相加？ 23．阅读下面内容： ； ； ． 试求： (1)； (2)； (3)；（为正整数） (4)． 24．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 二次根式的运算 课程标准 学习目标 二次根式的乘法和除法 二次根式的加法和减法 掌握二次根式的运算法则、熟练进行二次根式的运算及化简。 知识点01 二次根式的乘法运算 两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的算术平方根.用公式表示为:(a≥0,b≥0). 【即学即练1】 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 知识点02 二次根式的除法运算 (1)两个算术平方根的商,等于它们被开方数的商的算术平方根,即(a>0,b≥0); (2)商的算术平方根等于各因式的算术平方根的商,即(a>0,b≥0); 方法技巧：(1)被开方数能整除的，如 (2)被开方数不能整除的,如 【即学即练1】 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算．直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点03 二次根式的乘除混合运算 二次根式乘除混合运算顺序:先乘方,再乘除,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为最简二次根式. 【即学即练1】 计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点04 二次根式合并的条件 【即学即练1】 若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故答案为：． 知识点05 二次根式的加减 . 【即学即练1】 计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 知识点06 二次根式的混合运算 【即学即练1】 （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）运用完全平方公式展开计算，然后算加减即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，然后将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时， 原式． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】下列各数中，与的积仍为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数以及二次根式的性质与化简，各项中的式子与相乘，利用二次根式乘法法则计算得到结果，判断即可．解题的关键掌握二次根式的乘法法则：． 【详解】解：A．，积为有理数，故此选项不符合题意； B．，积为有理数，故此选项不符合题意； C．，积为有理数，故此选项不符合题意； D．，积为无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，二次根式乘法计算，根据非负数的性质得到，则，据此求出四个选项中的数，再计算着四个数与的乘法即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，，，， 故选：A． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键；根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，乘方和负整数指数幂的意义，先根据二次根式的乘法，乘方和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 题型02 二次根式的除法 【典例1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的除法计算，把方程两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【详解】， 故答案为：． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型04 最简二次根式的判断及化简 【典例1】下列各式，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式．根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B 【典例2】下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 【变式1】下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式满足的两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数里含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，被开方数里含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，选项不符合题意； C、是最简二次根式，选项符合题意； D、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 【变式3】将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型05 已知最简二次根式求参数 【典例1】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 【变式1】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【变式2】若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 题型06 同类二次根式 【典例1】下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再看看能否合并即可． 【详解】解：A、，与能合并，故本选项符合题意； B、，与不能合并，故本选项不符合题意； C、，与不能合并，故本选项不符合题意； D、，与不能合并，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】如果最简二次根式和可以合并，那么x的值为（   ） A． B．10 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ， 解得． 故选：C． 【变式2】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式的化简以及同类二次根式．根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 题型07 二次根式的加减运算 【典例1】若，则的值为（　　） A．3 B．12 C．15 D．27 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，熟记二次根式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【变式1】计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，无理数大小的估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先根据无理数大小的估算得到，进而判断出，，然后原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ． 故选：B． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则和零次幂的性质是解题的关键． （1）首先计算二次根式的乘法和化简二次根式，然后计算加减即可； （2）首先计算零指数幂，化简二次根式，有理数的乘方，然后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 二次根式的混合运算 【典例1】计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． （2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 题型09 分母有理化 【典例1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式1】若，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】阅读下列运算过程： ①，②． 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，数字变化类等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）分子、分母都乘以即可； （2）分子、分母都乘以即可； （3）原式变形为，然后再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 . 题型10 比较二次根式的大小 【典例1】比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】比较大小：5 （填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质，先整理，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：>． 【变式2】综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)化简：__________，__________． (2)比较和的大小． (3)计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键； （1）分子，分母分别都乘以，即可得到答案； （2）把化为，把化为，再进一步比较大小即可． （3）把原式化为：，再计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：． ． ， ， ． （3）解： ． 题型11 二次根式的应用 【典例1】已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【答案】，肇事汽车违规行驶 【分析】本题考查二次根式的应用，把，代入求出此时的速度，与限速速度进行比较即可得出结论。 【详解】解：． ， 肇事汽车违规行驶． 【变式1】某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 【变式2】安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （）把代入公式计算即可； （）把代入公式计算即可； 【详解】（1）解：当时，， 答：从高空抛物到落地的时间为； （2）解：当时，， 解得， 答：玩具抛出前离地面的高度为． 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； B. ，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； C. 符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； 故选：C． 2．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法．根据乘方可得：，再利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．若等式成立，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，解不等式组，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，再解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法，根据二次根式的除法法则可判断A，B；根据二次根式的性质可判断C和D． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 5．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的除法.根据二次根式的除法法则进行化简. 【详解】解：=. 故选：D. 6．下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的加减法．根据二次根式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：①，错误； ②，错误； ③，错误； ④，正确． 故选：． 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的相关定义和性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算错误，故选项不符合题意； B. ，二次根式的被开方数不能是负数，和都无意义，计算错误，故选项不符合题意； C. ，计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 9．如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先得出，再根据同类二次根式的定义令即可得出结论． 【详解】 ， 且与是同类二次根式， 时，成立 m的最小正整数值是3， 故选：B． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 11．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 12．二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法混合运算，熟知二次根式运算法则是解题的关键．先计算二次根式乘法，再计算除法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16．已知实数x、y满足，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 17．定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据，，代入求得，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 18．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键求出、的值． 根据，可得出，，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 21．（1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 【答案】（1）；（2），当时，原式．当时，原式 【分析】此题考查了负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减即可求解； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴原式 ∵ ∴，， ∴当时，原式 当时，原式 22．现有一组按规律排列的数：1，，1，，…，其中1，这6个数按此规律重复出现． (1)第50个数是什么数？ (2)把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，若和为520，则共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1) (2)0 (3)261 【分析】本题考查算术平方根、数字的变化规律． （1）根据1，这6个数按此规律重复出现，即可求得第50个数是什么数； （2）根据题意可以求得重复出现的每六个数相加的和，从而可以得到把从第1个数开始的前2022个数相加的和； （3）根据题目中的数据可以求得重复出现的每六个数平方的和，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：∵1，这6个数按此规律重复出现，， ∴第50个数是； （2）解：∵，， ∴把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是0； （3）解：∵，， ∴， ∴从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有个数的平方相加． 23．阅读下面内容： ； ； ． 试求： (1)； (2)； (3)；（为正整数） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和分母有理化的应用，关键是掌握二次根式的运算法则． （1）分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母乘以，化简计算即可； （3）分子分母乘以，化简计算即可； （4）根据（3）的运算规律化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：原式 ． 24．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$