第14讲 一元一次不等式的解法及其应用（5大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第14讲 一元一次不等式的解法及其应用 课程标准 学习目标 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的应用 1.理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式。 2会根据实际问题的要求，正确地列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决实际问题 知识点01 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的末知数的 ,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的 称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的 , 【即学即练1】 下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、 、移项、 、系数化为1. 【即学即练1】 解方程（组）或不等式 (1) (2) (3) (4) 易错提醒：(1)移项时要变号;(2)两边同乘或除以一个负数时,不等号的方向要改变 知识点03 用数轴表示不等式的解集 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为 圆点,不包含于解集的为 圆圈; (3) 定方向,相对于边界点而言, 向右; 向左. 【即学即练1】 已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A． B． C． D． 知识点04 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为 问题,通过解不等式可以得到实际问题的 【即学即练1】 如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 知识点05 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当 的未知数; (3)列:根据题中的 关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千来行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/（） 续航里程： 每千米行驶费用：_______元 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）？ 题型01 求一元一次不等式的解集 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】解不等式：． 【变式2】解下列不等式 (1)； (2)． 题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】不等式的非负整数解是 ． 【变式1】不等式的正整数解为 ． 【变式2】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 题型03 求一元一次不等式解的最值 【典例1】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【变式1】已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【变式3】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 题型04 解绝对值型的不等式 【典例1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式1】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【变式2】先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 题型05 用数轴表示不等式的解集 【典例1】把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【变式2】解下列不等式，并分别把它们的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式3】解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 【典例1】为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 【变式1】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式2】某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【变式3】某水果超市第一次花费2250元，购进了A，B两种苹果共400千克进行销售，并很快售完，已如A种苹果批发价为6元/千克，B种苹果的批发价为5元/千克 (1)求第一次A，B两种苹果各批发了多少千克？ (2)第二次超市又调拨5000元用来购进A，B两种苹果，批发价与第一次相同，若A种苹果售价为9元千克，B种苹果售价为7元/千克，要使售完这两种苹果，第二次的总利润不低于2300元，则A种苹果最少购进多少千克？ 题型07 用一元一次不等式解决几何问题 【典例1】圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【变式2】【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【变式3】一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．若不等式的解都能使不等式成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若方程的解是非负数，则的取值是（    ） A． B． C． D． 7．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 10．小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤      ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤     ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 二、填空题 11．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 12．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 13．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 14．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 15．已知方程组，且，则的取值范围是 ． 16．某出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需要付5元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费29元，设此人从甲地到乙地的路程为x千米，则x的最大值是 ． 17．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 18．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 三、解答题 19．解下列不等式． (1)； (2)． 20．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 21．已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围． 22．象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 23．某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 24．“金秋墨彩庆华诞，笔落惊云书国魂．”为庆祝建国周年，年级决定举行书法比赛，为奖励在比赛中表现优秀的同学，年级提前购买了甲、乙两种奖品．甲种奖品买了个，乙种奖品买了个，共花费元，其中甲种奖品的单价比乙种奖品的单价高元． (1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)同学们热情高涨，踊跃报名，经统计，实际报名人数远远多于预计人数，于是年级决定再次购买甲、乙两种奖品共个．恰好赶上商家促销，甲种奖品按单价的九折出售，乙种奖品在单价的基础上每个降价4元出售．如果此次购买奖品的总费用不超过上一次总费用的，则至多可以购买多少个甲种奖品？ 25．问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． 解决问题： (1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？ (2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？ (3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件． 26．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元一次不等式的解法及其应用 课程标准 学习目标 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的应用 1.理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式。 2会根据实际问题的要求，正确地列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决实际问题 知识点01 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的末知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程, 【即学即练1】 下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 知识点02 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【即学即练1】 解方程（组）或不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，据此即可作答． （2）得到一个关于的方程，求出，把的值代入方程组的一个方程，求出即可； （3）先去分母，再移项，合并同类项，系数化1，据此即可作答． （4）运用加减消元法三元一次方程组化为二元一次方程组，再求出，代入，解得，把，代入，解得，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化 ，得； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解是． （3）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （4）解： ，得； ，得， ，得， 解得， 把代入，得出， 解得， 把，代入， 得， ∴， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程，三元一次方程组，二元一次方程组，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 易错提醒：(1)移项时要变号;(2)两边同乘或除以一个负数时,不等号的方向要改变 知识点03 用数轴表示不等式的解集 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; (3) 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 【即学即练1】 已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键是理解并掌握在数轴上表示不等式的解集的方法．在数轴上表示不等式的解集时，“，”要用实心圆点表示；“，”要用空心圆点表示；“，”向右画；“，”向左画．据此可得答案． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为：． 故选：B． 知识点04 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案 【即学即练1】 如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 知识点05 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【即学即练1】 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千来行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/（） 续航里程： 每千米行驶费用：_______元 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）？ 【答案】(1)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每干米行驶费用为元 (2)当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， ， 解得． 经检验，是原分式方程的解， （元），（元）． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每干米行驶费用为0.12元． （2）解：设每年行驶里程为． 由题意，得， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 题型01 求一元一次不等式的解集 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．根据一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】 ， ，即， ， 故选：B． 【变式1】解不等式：． 【答案】． 【分析】此题主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键，先根据完全平方公式，平方差公式去括号化简，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ． ． 【变式2】解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，， 合并同类项，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3，4，5 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 非负整数解是0，1，2，3，4，5． 故答案为：0，1，2，3，4，5． 【变式1】不等式的正整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式，然后可得其正整数解． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为， 故答案为：． 【变式2】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 题型03 求一元一次不等式解的最值 【典例1】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 【变式1】已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原式变形正确，不符合题意； B、由，可得，原式变形正确，不符合题意； C、由，可得，原式变形正确，不符合题意； D、由，可得，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 题型04 解绝对值型的不等式 【典例1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 【变式1】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【变式2】先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 题型05 用数轴表示不等式的解集 【典例1】把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求解不等式即可． 【详解】解：解不等式得：， 故选：A 【变式1】定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 【变式2】解下列不等式，并分别把它们的解在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析； (2)，数轴表示见解析． 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键． （1）移项即可求得； （2）去分母、移项、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：； 在数轴上表示解集为： （2）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 在数轴上表示解集为： 【变式3】解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 【典例1】为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 【答案】(1)m的值是120 (2)的最小值是70 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）品牌足球的进价为元/个，B品牌足球的进价为元/个，再根据每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的列出方程求解即可； （2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； （2）解：元/个，元/个， ∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值是70． 【变式1】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； (2)A种型号的电风扇最多能采购台； (3)能，采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元，根据“卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元”列方程组求解即可； （2）设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台，根据“不多于7480元的金额采购”列一元一次不等式求解即可； （3）根据“利润销售收入进货成本”列一元一次不等式，求出的取值范围，再结合（2）的结果确定的取值即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元， 由题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元； （2）解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的电风扇最多能采购台； （3）解：由题意得：， 解得：， 由（2）可知，，且为正整数， 的取值为， 台， 即采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1860元的目标． 【变式2】某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】(1)甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 (2)最多可购买乙种香椿120件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 【变式3】某水果超市第一次花费2250元，购进了A，B两种苹果共400千克进行销售，并很快售完，已如A种苹果批发价为6元/千克，B种苹果的批发价为5元/千克 (1)求第一次A，B两种苹果各批发了多少千克？ (2)第二次超市又调拨5000元用来购进A，B两种苹果，批发价与第一次相同，若A种苹果售价为9元千克，B种苹果售价为7元/千克，要使售完这两种苹果，第二次的总利润不低于2300元，则A种苹果最少购进多少千克？ 【答案】(1)第一次A，B两种苹果各批发了250千克、150千克； (2)A种苹果最少购进500千克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一次A，B两种苹果各批发了、千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种苹果购进千克，根据题意列出不等式，解之即可求解． 【详解】（1）解：设第一次A，B两种苹果各批发了、千克， 依题意得， 解得， 答：第一次A，B两种苹果各批发了250千克、150千克； （2）解：设A种苹果购进千克，则B种苹果购进千克， 由题意得， 解得， ∵是正数， ∴的最小值为500， ∴A种苹果最少购进500千克． 题型07 用一元一次不等式解决几何问题 【典例1】圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 【变式1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【变式2】【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）；2 （2）2米 （3） 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据长方形的面积列出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）设小路宽为，根据题意列出关于x的一元一次不等式求解即可． （3）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可． 【详解】解：（1）根据题意可列方程为 解得：， 故答案为：，2 （2）设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽不能超过2米； （3）则花坛的总面积为： ， 故答案为： 【变式3】一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项即可求得答案． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握在数轴上表示大于或小于边界点要用空心圆圈，表示大于等于或小于等于边界点要用实心圆点，大于向右，小于向左．是解答此题的关键． 按不等式的解集在数轴上的表示方法，分别表示出两个不等式的解集，得到不等式组的解集．判断即得． 【详解】解：不等式组，的解集在数轴上表示，如图所示： ， 故选：A． 3．若不等式的解都能使不等式成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； 先分别求得两个不等式的解，再根据求不等式组解集的口诀进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴， 故选：A． 4．等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解不等式，三角形的三边关系等知识，解题的关键是确定x的取值范围． 设腰长为x，底边长为y．利用三角形的三边关系确定x的取值范围即可判断； 【详解】设腰长为x，底边长为y， 根据题意得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， ∴腰长可能是5． 故选：C． 5．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键． 先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可． 【详解】解：解不等式 得，， 解不等式 得，， 关于x的不等式 的解都是不等式 的解， ， 解得：， 故选：； 6．若方程的解是非负数，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建关于的一元一次不等式，最后解不等式即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵该方程的解是非负数， ∴， 解得． 故选：D． 7．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可． 【详解】解：， ， 解得：，故①正确； 若，， 解得，故②正确； ， 解得：，故③错误； ， 当时，有最小值，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键． 8．语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，认真审题理清运算关系是解题的关键． 【详解】解：语句“的与的和不小于”可以表示为， 故选：． 9．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 根据已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元列不等式即可． 【详解】解：根据题意得． 故选B． 10．小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤      ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤     ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班天， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为308， 至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 二、填空题 11．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 12．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是不等式的解集的解法，不等式两边的式子在同除以一个数时，若这个数为负数，则不等号改变方向，若这个数为正数，不等号不改变方向． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 13．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 14．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知方程组，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题关键．首先解方程组，可得，，结合可得关于的一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：， 由，可得 ，解得， 将，可得 ，解得， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 16．某出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需要付5元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费29元，设此人从甲地到乙地的路程为x千米，则x的最大值是 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．已知从甲地到乙地共需支付车费29元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式，从而得出答案． 【详解】解：因支付车费为29元，所以x肯定大于3千米，故有 ， 解得：． 可求出x的最大值为19千米． 故答案为：19． 17．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．利用销售利润=售价-进价，结合至少获利，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 18．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 三、解答题 19．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不等式的解集． （1）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】m的取值范围为：且． 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数．根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， 去分母得：， 解得：， 因为方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：且． 21．已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求出，是解答本题的关键． 先解方程组求出，，再根据列不等式求解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②得， 解得， ∵ ∴ 解得． 22．象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 23．某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元 (2)种型号的电风扇最多能采购台 (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、不等式的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据“销售3台型号5台型号的电风扇，销售收入元，销售4台型号10台型号的电风扇，销售收入元”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多于元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设利润超过元，列出一元一次不等式，求出，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得：， 解得：， 最大为， 答：种型号的电风扇最多能采购台； （3）证明：由题意得：， 解得：， ， 在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇的利润无法超过元的目标． 24．“金秋墨彩庆华诞，笔落惊云书国魂．”为庆祝建国周年，年级决定举行书法比赛，为奖励在比赛中表现优秀的同学，年级提前购买了甲、乙两种奖品．甲种奖品买了个，乙种奖品买了个，共花费元，其中甲种奖品的单价比乙种奖品的单价高元． (1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)同学们热情高涨，踊跃报名，经统计，实际报名人数远远多于预计人数，于是年级决定再次购买甲、乙两种奖品共个．恰好赶上商家促销，甲种奖品按单价的九折出售，乙种奖品在单价的基础上每个降价4元出售．如果此次购买奖品的总费用不超过上一次总费用的，则至多可以购买多少个甲种奖品？ 【答案】(1)甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元 (2)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设乙种奖品的单价是元，则甲种奖品的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）设购买个甲种奖品，个乙种奖品，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设乙种奖品的单价是元，则甲种奖品的单价是元， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元； （2）解：设购买个甲种奖品，个乙种奖品， 依题意得，， 解得，， ∴至多可以购买个甲种奖品． 25．问题情境：如图1，互相垂直的马路组成十字路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 安全条件：一般红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 假设当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0）时，骑车人A马上从等待线出发，能及时穿过路口，不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就可保证路口的交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 实验数据：测试时，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． 解决问题： (1)骑车人A需要骑行 米才能通过此十字路口？ (2)当机动车B到达一线时，自行车A已经抵达或越过 一线，才可保证路口的交通安全？ (3)若，，，则此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (4)欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差t应满足的条件． 【答案】(1) (2) (3)能保证安全，见解析 (4) 【分析】本题主要考查代数式和整数的混合运算，有理数的混合运算，解不等式， （1）由十字路口长为m米，宽为n米，得，则； （2）由机动车B到达EF一线时，自行车A要想安全，故应到GF一线． （3）当自行车A到GF一线时，求得距离和对应时间，当机动车B到达EF一线时，求得时间，比较长短即可； （4）由A过GF比B过EF早一点就行，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵十字路口长为m米，宽为n米， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵机动车B到达一线时， ∴自行车A要想安全，故应到一线， 故答案为：． （3）解：当自行车A到一线时， 距离为：米， ∴时间为：秒， 当机动车B到达一线时， 时间为：秒， 而， 故能保证交通安全． （4）解：∵A过比B过早一点就行， ∴， ∴． 26．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$