第13讲 不等式及其基本性质（3大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第13讲 不等式及其基本性质 课程标准 学习目标 不等式的定义 不等式的基本性质 1.了解不等式的概念，认识不等号的含义。 2理解并掌握不等式的基本性质 3.能灵活运用不等式的基本性质对不等式进行变形 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“-”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 【即学即练1】 在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 知识点02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 【即学即练1】 秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 知识点03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 【即学即练1】 已知，下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，原式错误，故此选项不符合题意； B．不等式的两边同时除以一个正数（），不等号的方向不变，即，原式正确，故此选项符合题意； C．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原式错误，故此选项不符合题意； D．不等式，例如，，则不一定成立，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 规律总结：对于考查不等式性质的题，只需要严格依据不等式的性质,逐一作出判断即可,特别是在不等式两边乘或除以同一个负数或值为负的代数式时,不等号的方向要改变， 题型01 不等式的定义 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 【变式1】在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是不等式，故符合要求； 是等式，是整式，故不符合要求； 故选：C． 【变式2】若是不等式，则符号“□”不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：∵，，都是不等式， ∴选项B，C，D都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【变式3】用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用不等式表示，涉及非负数定义，根据非负数定义将是非负数表示为，逐项验证即可得到答案，熟记非负数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是非负数，用不等式表示为， A、错误，不符合题意； B、正确，符合题意； C、错误，不符合题意； D、错误，不符合题意； 故选：B． 题型02 列不等式 【典例1】据报道，某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温（单位：）的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义进行解答即可． 【详解】解：某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是， 当天该市气温的变化范围是：． 故选：D． 【变式1】“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 【变式2】针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 【详解】解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 题型03 不等式的基本性质 【典例1】如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立． ，但未说明a的符号，当 时，不等式 ，故选项B不一定成立． 将不等式 两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 【变式1】已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原式变形正确，不符合题意； B、由，可得，原式变形正确，不符合题意； C、由，可得，原式变形正确，不符合题意； D、由，可得，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 【答案】不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．依据不等式的基本性质进行填空即可． 【详解】解：， （理由：不等式的基本性质． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 题型04 不等式的基本性质的应用 【典例1】定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【答案】(1)否；2 (2)或． 【分析】本题考查了新定义、一元一次方程的解，不等式的应用．解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义求解；由平衡数的定义得，据此求解即可； （2）根据平衡数的定义求得，分或两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：与3的平衡数是， ∴与3不是关于的平衡数， 由题意得， 即，解得， 故答案为：否；2； （2）解：由题意得， ∴， ∵， ∴或， 当时，，则， ∴， ∴； 当时，， 则，即； 综上，或． 【变式1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 【变式2】下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 【答案】 【分析】当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则， 故正确； 当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ， 故错误； 当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 2．式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：． 3．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可． 【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克， 故选：A． 4．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，理解至少的含义即可求解，读懂题意是解题的关键．将蛋白质含量至少2克转化为百分比，再根据至少的含义，即可解题． 【详解】解： ， 蛋白质含量至少2克，即蛋白质含量， 故选：A． 5．若，不等式两边都除以，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质：不等式两边同时除以负数，不等式的符号改变，据此判断即可． 【详解】解：∵，不等式两边都除以， ∴， 故选项C符合题意． 故选：C． 6．若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，注意：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．由可得，故A选项不符合题意； B．由可得，故B选项不符合题意； C．由可得，所以，故C选项符合题意； D．由可得，故D选项不符合题意． 故选：C． 7．下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此求解即可． 【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 9．已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质．确定的取值范围是解题的关键． 由题意以及三角形三边关系得，，即，然后利用不等式的性质求周长的范围即可． 【详解】解：由题意以及三角形三边关系得，，即， ∴，即， 故选：C． 10．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解： ，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 二、填空题 11．如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 12．“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，正确理解题目中的关键词“不小于”是解题的关键．不小于表示大于或等于,根据题意即可得出答案． 【详解】“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为． 故答案为：． 13．如图，则 80．（填“”“”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式，根据图示得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：由题可得：， 即， 故答案为：． 14．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 15．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“”的意义求出a和b的值成为解题的关键． 先根据“”“”的意义求出a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵, ∴x的最小值是, ∵, ∴y的最大值是, ∴. 故答案为：9. 三、解答题 16．某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 【答案】第二种规格的面积较大，见解析 【分析】本题考查了列代数式，分别表示出两种卡片的面积，进而比较大小，即可求解． 【详解】第一种规格的面积： 第二种规格的面积： 因为，所以第二种规格的面积较大． 17．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 18．用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 19．求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 20．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质判断即可． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 21．已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据相反数的定义即可得解； （2）先判断、、的正负号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据相反数的定义，在数轴上表示出，的相反数的位置如下： （2）解：，，， ，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上的点表示有理数，不等式的性质，化简绝对值，整式的加减等知识点，确定、、的正负性是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 不等式及其基本性质 课程标准 学习目标 不等式的定义 不等式的基本性质 1.了解不等式的概念，认识不等号的含义。 2理解并掌握不等式的基本性质 3.能灵活运用不等式的基本性质对不等式进行变形 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的 叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 【即学即练1】 在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的 关系 (2)列出相应的 ,用表示 关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 【即学即练1】 秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 知识点03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都 (或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 【即学即练1】 已知，下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 规律总结：对于考查不等式性质的题，只需要严格依据不等式的性质,逐一作出判断即可,特别是在不等式两边乘或除以同一个负数或值为负的代数式时,不等号的方向要改变， 题型01 不等式的定义 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若是不等式，则符号“□”不能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 列不等式 【典例1】据报道，某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温（单位：）的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【变式2】针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 题型03 不等式的基本性质 【典例1】如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 题型04 不等式的基本性质的应用 【典例1】定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【变式1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 2．式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 4．某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 5．若，不等式两边都除以，得（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 二、填空题 11．如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 12．“y的3倍与5的和不小于”用不等式表示为 ． 13．如图，则 80．（填“”“”或“=”） 14．若，则x的取值范围是 ． 15．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 三、解答题 16．某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 17．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 18．用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 19．求证：当时，一定比小． 20．已知． (1)比较与的大小，并说明理由； (2)若，求a的取值范围． 21．已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$