2.1.1-2.1.2 圆的方程（十三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.1.1-2.1.2 圆的方程 题型1：由圆心或半径求圆的标准方程 1．圆心为，半径为5的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心和半径结合圆的标准方程即可得结果. 【解析】由题意可知：圆的方程为. 故答案为：. 2．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程. 【解析】依题意，以线段为直径的圆的圆心为， 半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 3．已知圆经过点和，且圆心在直线上，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意设出圆心坐标，根据可求出圆心，继而得出半径求出方程. 【解析】因为圆心在直线上，所以设圆心， 因为点，是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有 ，解得． 所以，圆心，圆的半径 所以，所求圆的方程为， 故答案为：. 题型2：求过已知三点的圆的标准方程 4．经过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.要求圆的标准方程，需要先求出圆心坐标和半径.我们可以利用圆的性质，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，通过已知的三个点列出方程组来求解圆心坐标和半径. 【解析】设圆的标准方程为. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ①. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ②. 因为圆经过点，将其代入方程可得 ③. 用② - ①可得： 即则. 将代入①和③组成新的方程组： 将展开得，即. 用减去可得： 即解得. 将，代入，可得，即，. 所以圆的标准方程为. 故答案为:. 5．已知点，，，则的外接圆方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【解析】设外接圆的方程为， 因为，，， 所以，解得， 因此外接圆的方程为，， 故答案为：. 6．（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程. （2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程. 【解析】（1）设圆的一般方程为， 由题将三点代入得： 解得， 所以所求圆的一般方程为； （2）由题，设圆心为， ， ， 即， ， ∴圆的标准方程为 题型3：由圆的标准方程确定圆心或半径 7．已知圆，则圆心坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可 【解析】圆是标准方程，则圆心坐标为， 故答案为： 8．已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是 . 【答案】2 【分析】设出圆心，根据半径相等得到方程，求出，进而求出半径. 【解析】设圆心为，由题意得， 解得， 故半径为. 故答案为：2 9．根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)圆心为，半径为5； (2)圆心为，半径为； (3)圆心为，半径为； (4)圆心为，半径为3. 【解析】（1）解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为5； （2）解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为； （3）解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为； （4）因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为3. 题型4：求圆的一般方程 10．已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【解析】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 11．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程 【解析】解：设圆的方程为， 因为圆心在x轴上，所以，即， 又圆经过点和， 所以即，解得， 故所求圆的一般方程为， 故答案为： 12．求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为 . 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，根据给定条件列出关于D，E，F的三元一次方程组，求解作答. 【解析】设圆的一般方程为， 令，得，则圆在轴上的截距之和，即方程两根之和为， 令，得，则圆在轴上的截距之和，即方程两根之和为， 依题意，，而圆过两点，因此，解得， 所以所求圆的方程为． 故答案为： 题型5：由圆的一般方程求圆心或半径 13．（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【解析】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 14．圆的周长是 . 【答案】 【分析】化为标准式确定半径，即可求周长. 【解析】化为圆的标准方程. 所以， 所以圆的周长. 故答案为：. 15．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 【答案】 【分析】先利用点斜式得出直线，再得坐标，设圆的一般式方程，利用待定系数法计算即可. 【解析】由题意得直线方程为， 不妨取两点的坐标为. 设圆的方程为， 则, 故圆的圆心坐标为. 故答案为： 题型6：由圆的法方程确定参数范围 16．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解. 【解析】方程，即 若它表示圆，则，即 故答案为：. 17．若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 【答案】或．圆心坐标为，半径为 【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出的范围. 【解析】原方程可化为． 由，得，解得或， 所以a的取值范围是或，圆心坐标为，半径为． 18．对方程的讨论 ①时表示圆． ②时表示点 . ③时，不表示任何图形． 【答案】 【分析】略 【解析】略 题型7：圆的标准方程与一般方程的互化 19．过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆C的圆心即可求出所圆的半径和一标准方程，再将标准方程化成一般方程即可. 【解析】解：将圆C的方程化为标准方程得， 则圆心C的坐标为（2，-3）， 故所求圆的半径， 所以所求圆的方程为， 即． 故答案为：． 20．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求出三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 题型8：圆过定点问题 21．圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 22．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解析】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 23．已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 题型9：点与圆的位置关系 24．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 由关于的二次方程表示圆可得或，又由点在圆内可得，取交集即可. 【解析】 解：由题可知， 解得或， 又因为点在圆内，所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 25．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一般方程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可求解． 【解析】由题意得，解得. 故答案为：． 题型10：对称问题 26．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ． 【答案】 【分析】直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率即可求出的方程为. 【解析】圆，即，其圆心， 又的圆心， 根据题意可得直线为线段的垂直平分线， 又，线段的中点， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 题型11：定点到圆上点的最值问题 27．若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【解析】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 28．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件得到，从而得到，又，结合图形，得，即可求出结果. 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为， 因为，，所以,，，， 得到，所以， 又因为，所以， 又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：设，利用向量数量积的坐标运算，得到，再利用圆的几何性质，即可求解. 29．已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【解析】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 题型12：圆上点到定直线的最值问题 30．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案. 【解析】设，令， 则 ，则M. 如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为. 故选：D 31．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 【解析】由， 设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，    则的最小值为 ， 表示点到和的距离之和的最小值的倍， 则最小值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，本题关键点是将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 题型13：圆的轨迹 围成面积问题 32．在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，分别表示与，化简即可. 【解析】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 33．曲线所围成图形面积为 ． 【答案】 【分析】分情况去掉绝对值，从而可作出曲线的图像，进而求得面积. 【解析】分四种情况讨论： ①当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ②当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ③当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ④当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆. 作出图像如下图所示： 由图可知：曲线所围成图形为四个半圆和一个正方形所组成的区域， 正方形边长和圆的直径相等， 所以. 故答案为：. 34．平面点集所构成区域的面积为 【答案】 【分析】根据集合描述确定轨迹内切于圆心为，半径为5的圆，外切于圆心为，半径为3的圆，即可求面积. 【解析】由题设表示圆心为，其在圆心为原点，半径为1的圆上， 显然轨迹是圆心在单位圆上，且半径为4的圆，故点集与原点距离最远恒为5，最近恒为3， 所以的轨迹为圆心为，外径为5，内径为3的圆环， 所以，平面点集所构成区域的面积为. 故答案为： 35．已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义可得复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，结合复数的运算可得=，和表示点到原点和点的距离，利用基本不等式可求的最大值，可得，进而可求得复数对应复平面上的点构成区域的面积. 【解析】因为，所以复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上． ， 注意到和表示点到原点和点的距离，而三角形是直角三角形， 所以 故，即对应的点到的距离不超过4， 所以对应的点构成以为圆心､半径长为4的圆，面积是． 故答案为： 【点晴】本题考查复数的几意义，复数的运算，共轭复数的意义，考查基本不等式的应用，转化思想的应用，运算求解能力. 一、填空题 1．若实数x，y满足，则的最大值为 【答案】 【分析】利用向量不等式并结合x的范围求最值. 【解析】设 则，当且仅当等号成立 故， 又，所以， 所以, 当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立. 2．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【解析】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径. 3．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 . 【答案】 【分析】先求出两个半圆面的面积，再求曲线与、轴围成的区域的面积， 根据对称性得出与、轴围成的区域的面积，即可得解. 【解析】设，线段的中点为，如图， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与、轴围成的区域的面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解法的关键是根据余弦型函数为中心对称图象，据此采用割补的方法，转化为直角三角形的面积. 4．如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到，最后根据正弦函数的性质即可得到答案. 【解析】以O为原点, 以为 轴, 以的中垂线为 轴建立平面直角坐标系 , 则圆 的半径为 , ,,, 设 ,, 则 , , , 当 时, 取得最小值， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值. 5．某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为 【答案】平方百米 【分析】建立平面直角坐标系，利用点坐标以及点的轨迹求得的最大面积. 【解析】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，， 所以的面积为， 由于，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 设，则， 所以， 所以当时，三角形的面积取得最大值为平方百米. 故答案为：平方百米 【点睛】求解三角形面积有关问题，要选择合适的三角形面积公式.求解三角形面积最值有关问题，可先求得三角形面积的表达式，然后根据表达式的结构，考虑利用三角函数、不等式等知识来求最值. 6．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作平行于轴的直线，过点作，得到表示的长度，根据，求得，得到，进而化简得到，得出垂直直线时，最小，利用圆的性质，求得的值，结合，即可求解. 【解析】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即， 所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图（2）所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 二、单选题 7．平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【解析】    由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 8．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据条件得到点在圆的内部或圆周上，点的轨迹是以为直径的圆，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案. 【解析】因为，所以点C在圆O：的内部或圆周上， 又动点P满足， 所以当A，C，P三点不重合时，点P的轨迹是以为AC直径的圆，如图： 当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AC的中点为M，AD的中点为N， 则，，， 当点C在圆O上时，M，N两点重合，C，D两点重合，所以， 当且仅当点C在圆O上时取等号，则，当且仅当O，M，P三点共线时取等号， 因为， 当且仅当M，N重合时取等号，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，当且仅当O，M，P三点共线且点C在圆与y轴的交点处时取等号， 所以的最大值为， 故选：A． 三、解答题 9．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. (1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； (2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由新定义得到，结合为常数，即可求解； （2）设，由定义得到，从而有，求得，再由，即可求解； （3）由及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程：，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题. 【解析】（1）因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则， 所以， 因为为常数， 所以，且， 所以. （2）解：由（1）知，设， 由，得， 所以， ， 整理得，即， 所以， ， 由，得， 即的取值范围是. （3）证明：若，则以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得， 该圆关于点对称. 由点关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，使得以为稳点的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称 【点睛】本题考查轨迹问题，新定义的综合应用，关键是读懂题意，根据新定义得到相应的轨迹方程，是本题的关键也是难点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1-2.1.2 圆的方程 题型1：由圆心或半径求圆的标准方程 1．圆心为，半径为5的圆的方程为 . 2．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ． 3．已知圆经过点和，且圆心在直线上，则圆的标准方程是 ． 题型2：求过已知三点的圆的标准方程 4．经过点的圆的标准方程为 . 5．已知点，，，则的外接圆方程为 . 6．（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 题型3：由圆的标准方程确定圆心或半径 7．已知圆，则圆心坐标为 . 8．已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是 . 9．根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4：求圆的一般方程 10．已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 11．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为 ． 12．求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为 . 题型5：由圆的一般方程求圆心或半径 13．（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 14．圆的周长是 . 15．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 题型6：由圆的法方程确定参数范围 16．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为 ． 17．若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 18．对方程的讨论 ①时表示圆． ②时表示点 . ③时，不表示任何图形． 题型7：圆的标准方程与一般方程的互化 19．过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 20．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 题型8：圆过定点问题 21．圆恒过的定点是 . 22．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 23．已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 题型9：点与圆的位置关系 24．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 25．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 题型10：对称问题 26．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ． 题型11：定点到圆上点的最值问题 27．若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 28．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 29．已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型12：圆上点到定直线的最值问题 30．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 题型13：圆的轨迹 围成面积问题 32．在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 33．曲线所围成图形面积为 ． 34．平面点集所构成区域的面积为 35．已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 ． 一、填空题 1．若实数x，y满足，则的最大值为 2．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 3．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 . 4．如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为 . 5．某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为 6．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 二、单选题 7．平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 三、解答题 9．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. (1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； (2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$