第1章 坐标平面上的直线 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

第1章 坐标平面上的直线 单元综合检测 一、填空题 1．直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据斜率和倾斜角的关系先求斜率再求倾斜角即可. 【解析】，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故答案为： 2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】由方向向量，斜率与倾斜角的关系求解 【解析】由得，故倾斜角的大小为， 故答案为： 3．点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 4．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【解析】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或    5．若直线和直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【解析】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 6．已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由直线方程的点法式求解即可. 【解析】∵直线过点，一个法向量为， ∴直线的点法式方程为. 故答案为：. 7．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】 分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【解析】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 8．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【解析】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 9．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程. 【解析】由题意可得所在直线方程为:，即， 联立直线方程，解得入射点， 设点关于直线的对称点为 则，解得，所以， 即反射光线方程为:，即 故答案为: 10．在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答. 【解析】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上， 连，而，，，，因此， 而，即，有，于是得， 直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为， 于是得点，令直线交于点，，，， 所以. 故答案为： 11．已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】设，根据，求出的范围，再根据两点间的距离公式即可得解. 【解析】因为直线与轴的交点为，所以 由题意，设， 由， 得， 即，解得， 所以动点所对应轨迹为， 其长度为. 故答案为：. 12．若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 【答案】或或 【分析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解. 【解析】由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 二、单选题 13．若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，求得直线的方程，结合选项，即可求解. 【解析】由直线经过点、，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 结合选项，只有B项，符合题意. 故选：B. 14．直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【解析】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【解析】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 16．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】 根据题意，求得的面积为，结合基本不等式，求得时，得到当且仅当时，等号成立，所以；当时，时，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】 由正弦与和轴交点的坐标分别为， 所以的面积为， 当时，， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以，当，结合对勾函数性质，在时有两个值， 当时，， 当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值， 所以，当时，，则直线过原点，不存在的面积为，所以故①不正确； 当时，仅有两条直线使的面积为，所以②正确； 当 时，仅有三条直线使的面积为，所以③正确； 当时，仅有四条直线使的面积为，所以④正确； 综上所述，真命题的序号是②③④. 故选：D. 三、解答题 17．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【解析】（1）解：由，可得， 即； 又因为，    所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； （2）解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【解析】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 19．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【解析】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 20．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．    (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长． 【答案】(1)建立坐标系见解析， (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得答案； （2）设，P关于直线的对称点分别设为，表示出坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标求得答案； （3）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案. 【解析】（1）以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即；    （2）设，P关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则， 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故； （3）由（2）可得， 由题意可知， 故的周长 . 21．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. (1)已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角； (2)已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； (3)已知直线过定点，直线、是“共轭线对”，当实数变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先计算两直线的斜率，再由直线的倾斜角与斜率的关系结合正切的差角公式计算其夹角即可. （2）由三条直线斜率的关系列方程组求解，再代回原直线方程联立求出交点P即可. （3）由直线的方程求出定点坐标，再由、是“共轭线对”的斜率关系，求得的斜率，从而表示其直线方程，最后代入点到直线的距离公式，求关于m的函数值域即可. 【解析】（1）， 由题可知， 设、的夹角为， 则 所以 （2）设直线PQ：，QR：，RP： 由题可知，解得或 当时，联立可得， 当时，联立可得， 所以P点的坐标为或. （3）过定点， 因为直线、是“共轭线对”，所以 ， 设原点到直线、的距离分别为 则 当时， 又， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 坐标平面上的直线 单元综合讲义 一、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 点法向式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法向式方程为：； 常用结论： 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数. 二、两条直线的位置关系 l1∥l2 l1⊥l2 l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系 α1＝α2 |α2－α1|＝90° 图示 斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2) 若l1，l2的斜率都存在，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(如图①所示)； 若l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合 若l1，l2的斜率都存在，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1(如图③所示)； 若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2⇔另一条直线的斜率为0(如图④所示) 思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等． 思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ 提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 三、 两条直线的夹角 1、两条直线的夹角 平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是 ，而两条相交直线夹角的取值范围是（. 2、夹角公式的推导 设两条直线的方程分别为：（不全为零） ：（不全为零）. 设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=， 当时，则如图甲所示;当时，则,如图乙所示. 于是得:. 即为直线与的夹角公式. 特别地,当且仅当时, 与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量) 而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时, 与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率. 四、点到直线的距离 1、问题的提出： 已知直线的方程是不同时为0）和直线外一点，求点P到直线的距离。 点到直线的距离即是过已知点向直线作垂线，夹在已知点与垂足之间的垂线段的长，也可以理解成已知点与直线上点之间距离的最小值。 2、方案设定与问题解决： 方案一：由直线的方程是，知直线的法向量，所以过点与直线垂直的直线的法向量为，则直线的方程为 设直线与的交点为，则坐标满足， 解此方程组得：，由两点间距离公式： ＝＝ 。所以得，点到直线的距离为： 。 方案二：利用函数思想与两点间距离公式： 因为点到直线的距离是直线外点与直线上点连线之间距离的最小值，设直线上任一点的坐标为，则，（不妨设，则，由两点间距离公式： 由二次函数的性质，当时，的最小值为。 方案三：（构造直角三角形）如图： Q R O 不妨直线与坐标轴不平行，点在直线上的 射影为，过作轴的平行线交直线于点， 则，又点坐标， 所以， 由斜率公式知，所以，所以＝ ，即点到直线的距离。当直线与坐标轴平行时，此式仍成立。 方案四：向量法： 如图：设点在直线上的射影为，则即为点到直线的距离。直线的法向量，，。 O 若与同向，则与夹角为0，此时。 若与反向，则与夹角为，此时。 则＝。 因为点在直线上，所以， 即有：，代入得：，所以点到直线距离为：。 此方法的技巧性强，综合运用了向量的有关知识。 方案五：投影法：（示意图） 设是直线上的任意一点，到直线的距离是向量在直线上投影的绝对值。的法向量，所以，因为，且，所以，即。 说明：从以上几种推导方法上可发看出，解几中的思路好寻，但简单方法难找，讲解中前四种思路可以作介绍，方案五作为重点。 五、点到直线距离公式的应用： 例1：求点到直线的距离。 解：由点到直线的距离公式，得点到直线的距离 所以，点到直线的距离为。 例2：已知的三个顶点的坐标分别为，求： （1）边上的高；（2）的面积；（3）的角平分线所在直线的方程。 解：（1）所在直线的方程为，到直线的距离即为边上的高，所以。 （2），所以。 或利用行列式：。 （3）方法一：因为，A B C O 设的平分线所在直线的斜率为，根据 夹角公式得： 解之得：或。又，所以，即所求的直线方程为。 方法二：因为角平分线上点到角的两边的距离相等，利用轨迹方法：设角平分线上任意一点为，则由，得直线AB的方程：，由得直线AC的方程。所以，化简得：或。又的平分线与线段相交，直线的方程为：，直线与直线的交点在线段上，所以所求的直线方程为。 方法三：设角平分线与线段交于点，则到角两边距离相等。又方程：，方程：， 所以有。即，又D在BC上，线段BC方程，则。由 解得：，或（舍去），所以所求直线方程为。 方法四：根据角平分线的性质，设的平分线与边BC交于点D，则，因为，即。所以，由定比分点知，分成定比，根据定比分点公式： ，所以，则方程为。即的平分线所在直线的方程为。 方法五：，的单位向量，的单位向量，则是平分线的一个方向向量，所平分线的斜率，知的平分线所在直线的方程为。 说明：从第（3）小题的几种方法对比更能体现解析几何的本质特征：“思路自然，方法难寻”。 例3：设集合是由满足下列条件的直线形成的集合：与直线相交，且以交点的横坐标为斜率。 （1）点到集合中哪条直线的距离最小？ （2）设，点到中的直线距离的最小值为，求的表达式。 解：（1）设直线与直线的交点的横坐标为，则交点坐标为，则直线的方程为，即，点到直线的距离，当，即时，等号成立，所以点到集合中的距离最小。 （2）点到中的直线距离。设，则，。记。 ①当，即时，在上是增函数，所以的最小值为，即，此时； ②当，即时，在上递减，在上递增。 若，即，则在上是增函数，所以的最小值为，即，此时； 若，即，则，当时等号成立。此时。 综上知：。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 坐标平面上的直线 单元综合检测 一、填空题 1．直线的倾斜角为 ． 2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 3．点到直线的距离为 ． 4．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 5．若直线和直线垂直，则实数的值为 . 6．已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 7．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 8．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 9．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 10．在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 ． 11．已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 12．若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 二、单选题 13．若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 14．直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 16．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 三、解答题 17．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 19．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 20．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．    (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长． 21．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. (1)已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角； (2)已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； (3)已知直线过定点，直线、是“共轭线对”，当实数变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$