精品解析：江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一上学期11月期中学业水平质量监测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，，则函数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（ ） A. 5.25倍 B. 5.2倍 C. 倍 D. 倍 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数，，则与是同一个函数 B. “，”是真命题 C. 函数的减区间为 D. 二次函数的零点是， 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______. 13. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数，则函数的零点为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1）求值：. （2）已知，，求的值. 16. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）求在区间上的最大值与最小值. 17. 近年来，赣榆区黑林镇依托北纬最适宜种植水果的优势，大力发展蓝莓种植，目前全镇蓝莓种植面积已超过万亩，并逐步形成了政府引导、企业带动、合作社带头、农民广泛参与的蓝莓全产业链发展模式，形成了从种苗培育、种植、加工、销售和科研于一体的蓝莓全产业链发展格局.为确保蓝莓产业增产增收，种植基地科研小组研究发现：一亩蓝莓的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知蓝莓的市场售价为元/千克，且市场需求始终供不应求.记一亩蓝莓获得的利润为（单位：百元）. （1）求利润的函数关系式. （2）当投入的肥料费用为多少时，一亩蓝莓获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数满足. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若，恒成立，求实数的取值范围. 19. 设，，，. （1）将表示成的函数，并求其定义域； （2）求函数的值域； （3）若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平质量监测 高一年级数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 【详解】， . 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：D 3. 已知函数，，则函数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用基本不等式求函数最小值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故函数最小值为. 故选：A 4. 设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，两种情况讨论可求得的取值范围. 【详解】当时，不等式为，解得，所以不等式不恒成立， 当时，由不等式恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（ ） A. 5.25倍 B. 5.2倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求结果. 【详解】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式判断在上的单调性，再由奇函数对称性确定上的单调性，进而得到定义域R上的单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】由题设，结合二次函数性质，知在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上也单调递减，又， 故在R上递减， 由，即， 所以. 故选：A 7. 已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把和表示为分段函数，作出函数图象，利用数形结合判断恒成立的条件. 【详解】，有， ，有， 函数图象如图所示， 若恒成立，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断选项中的命题是否为真命题. 【详解】∵，∴，A选项真命题； ∵，∴，∴，∴，∴，B选项真命题； ∵，，∴，，∴，C选项假命题； ∵，，∴，，∴，即，D选项真命题. 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数，，则与是同一个函数 B. “，”是真命题 C. 函数的减区间为 D. 二次函数的零点是， 【答案】BD 【解析】 【分析】求得两函数的定义域可判断A；利用可判断B；有多个单调减区间的表示方法可判断C；求得零点判断D. 【详解】函数的定义域为，的定义域为， 两函数的对应关系相同，但定义域不同，故与不是同一个函数，故A错误； 因为，所以“，”是真命题，故B正确； 函数的减区间为和，减区间一般不能用并集符号表示， 只有整个图象都是下降的才能用并集符号表示，故C错误； 令，可得，解得，， 所以二次函数的零点是，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值逐个判断各项 【详解】因为正实数，满足， 由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故A对； 由， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故B错； 由 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C对 由，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D对； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由题设，即定义域为. 故答案为： 13. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【详解】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，则函数的零点为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可将方程转化成，再利用函数单调性即可求得其零点. 【详解】易知将化简可得： ； 令函数，显然的定义域为， 且满足，因此即可得函数为奇函数，且为单调递增， 若，解得； 令，可得，解得； 即可得函数的零点为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1）求值：. （2）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质计算可得结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，两边平方得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 又， 所以. 16. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； （2）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， 因为，所以，且，即， 所以； 故在区间上单调递增. （2）； 【解析】 【分析】（1）由单调性定义证明； （2）根据单调性得最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（2）知在上递增， 所以，． 17. 近年来，赣榆区黑林镇依托北纬最适宜种植水果的优势，大力发展蓝莓种植，目前全镇蓝莓种植面积已超过万亩，并逐步形成了政府引导、企业带动、合作社带头、农民广泛参与的蓝莓全产业链发展模式，形成了从种苗培育、种植、加工、销售和科研于一体的蓝莓全产业链发展格局.为确保蓝莓产业增产增收，种植基地科研小组研究发现：一亩蓝莓的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知蓝莓的市场售价为元/千克，且市场需求始终供不应求.记一亩蓝莓获得的利润为（单位：百元）. （1）求利润的函数关系式. （2）当投入的肥料费用为多少时，一亩蓝莓获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为元时，一亩蓝莓获得的利润最大，为元. 【解析】 【分析】（1）由利润为销售收入减去肥料费用和其他成本，得函数关系式. （2）利用基本不等式求利润的最大值 【小问1详解】 已知蓝莓的市场售价为元/千克，即百元/千克， . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当投入的肥料费用为百元时，一亩蓝莓获得的利润最大，最大利润是百元， 即投入的肥料费用为元时，最大利润是元. 18. 已知函数满足. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，解集为； 当时，解集为R； 当时，解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）应用换元法求函数解析式即可； （2）由题设由，分类讨论解一元二次不等式求解集； （3）问题化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围. 【小问1详解】 令，则，故， 所以. 【小问2详解】 由题设， 当时，解集为； 当时，解集为R； 当时，解集为. 【小问3详解】 由题设，即在上恒成立， 当时，，显然恒成立； 当时，只需； 当时，只需，此时； 综上，. 19. 设，，，. （1）将表示成的函数，并求其定义域； （2）求函数的值域； （3）若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1），定义域为； （2）时，值域为；时，值域为. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用平方法确定、、的关系，即可得解析式； （2）令，问题化为求的值域，分类讨论参数求对应值域； （3）结合（2），求在上有唯一实数解对应参数范围，注意分类讨论. 【小问1详解】 由，，则，故， 当且仅当时等号成立，故， 由， 所以，同理，即， 综上，，即且； 【小问2详解】 由（1），令，则，开口向上且对称轴为， 当时，，此时值域为； 当时，，此时值域为. 【小问3详解】 由有唯一实数解，结合（2），即在上有唯一实数解， 当时，只需，此时； 当时，且，此时在上有唯一零点； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $