精品解析：广东省珠海市紫荆中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

珠海市紫荆中学2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 下列线段长能构成三角形的是（　　） A. 3、7、4 B. 2、3、6 C. 5、6、7 D. 1、2、3 3. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 4. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 5. 如图，已知则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分于．如果，那么等于（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 7. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线l及直线l外一点P． （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. OPQOAB B. PQAB C. 若∠APQ＝60°，则PQ＝PA D. 10. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为________． 12. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 13. 如图，点E在上，若，则_______度． 14. 在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 15. 正方形的面积为16，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一动点P，则的和的最小值为______． 三．解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 17. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线； （2）判断的形状，并说明理由． 四．解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） （2）的坐标分别为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）； （3）在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 （填、或），画图并说明理由． 20. 如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 21. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 五．解答题（三）（共2小题，23题13分，24题14分，共27分） 22. 长方形位于平面直角坐标系中平行移动． （1）如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点，并使得．在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出M点坐标_______； （2）如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分， ①、、分别交x轴于点E、F、G，连接，求证：是的中线； ②求证：． 23. 【问题初探】（1）如图1，是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图3，在三角形中，的平分线交于点D，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市紫荆中学2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列线段长能构成三角形的是（　　） A. 3、7、4 B. 2、3、6 C. 5、6、7 D. 1、2、3 【答案】C 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：A、3+4＝7，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、3+2＝5＜6，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、5+6＝11＞7，能构成三角形，故此选项符合题意； D、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了构成三角形的三边长度关系，熟练掌握构成三角形的三边长度关系是解答此题的关键． 3. 一个七边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题． 【详解】解：一个七边形的内角和等于， 故选：B． 4. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】解：由三角形的外角性质可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5. 如图，已知则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件发现满足证明全等． 【详解】解：∵，， ∴两个直角三角形中斜边和一组直角边分别对应相等，即满足证明， 故选：D． 6. 如图，在中，，平分于．如果，那么等于（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知，根据即可求得 【详解】，平分于， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故选B． 8. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知直线l及直线l外一点P． （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. OPQOAB B. PQAB C. 若∠APQ＝60°，则PQ＝PA D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若∠APQ＝60°，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到PQ＝PA，过点作于点,根据含30度角的直角三角形的性质，可得,是两平行之间的垂线段，不是垂线段，即，则不成立． 【详解】解：连接AQ，BP，过点作于点,如图， 由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ， ∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA， ∴△OAB≌△OPQ（SAS）； 故A正确，不符合题意； ∴∠ABO＝∠PQO， ∴PQ//AB； 故B正确，不符合题意； ∵BQ垂直平分PA， ∴QP＝QA， 若∠APQ＝60° 则△PAQ为等边三角形， 则PQ＝PA， 故C正确，不符合题意； 假设∠APQ＝60° 同理△PAB为等边三角形， 垂直平分， 是两平行之间的垂线段，不是垂线段 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键. 10. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】等腰直角三角形的性质证明，从而得出是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断． 【详解】解：∵，，为中点，， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的动点， ∴的长度是变化的， ∴的值是变化， ∴的周长是变化的，故结论②错误； ∵， ， ∴，故结论③正确； ∵的面积， 当时，的值最小， 此时，， 当点与或重合时，最大为， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(-2,-5) 【解析】 【分析】关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解． 【详解】解：由点关于轴对称点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 12. 如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了____米． 【答案】20 【解析】 【分析】首先根据多边形外角和求出小明第一次回到出发地A点时需要转弯多少次，然后用次数乘以2即可得出答案． 【详解】， （米） ∴他第一次回到出发地A点时，一共走了20米， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查多边形外角和的应用，掌握多边形外角和为360°是关键． 13. 如图，点E在上，若，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使为等腰三角形，这样的点有_______个． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 15. 正方形的面积为16，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一动点P，则的和的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出其边长，由于是等边三角形，所以，由正方形的性质可知点B即为点D关于的对称点，故即为的最小值，进而可得结论． 【详解】解：如图，设与交于点，连接． ∵点与关于对称， ∴， ∴， 即当P与重合时，最小，最小为的长， ∵正方形的面积为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴． 即和的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，熟知正方形的性质及等边三角形的性质是解答此题的关键． 三．解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 【答案】55 º 【解析】 【分析】首先根据邻补角的定义求出∠BCA=80º，再根据三角形外角的性质求出∠CAE =30º+80º=110º，然后再根据角平分线的定义求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B=30º，∠ACD=100° ∴∠BCA=180º-100º=80º ∠CAE=∠B+∠BCA=30º+80º=110º AD是△ABC的外角平分线 ∴∠DAE=110º=55º 故答案为55 º 17. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【解析】 【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，为的中线； （2） 为等边三角形，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查作已知线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定； （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作的垂直平分线即可； （2）直角三角形斜边中线可得，再由可得即可判断为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） （2）的坐标分别为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）； （3）在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 （填、或），画图并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）；；；；； （3）；理由： 如图，连接， 点与点关于轴对称， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，结合图形写坐标，轴对称的性质，三角形三边关系； （1）按照轴对称图形的特点作图即可； （2）根据图形各点位置即可作答； （3）连接，可得，再根据三角形三边关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1） 证明： ∵、分别是、两条边上的高， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键． （1）根据高的定义得到， 进而得到， 由此证明即可证明； （2）由全等三角形的性质得到， 再由三角形内角和定理得到，即可得到， 即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的高， 即， ∴， ∴， ∴， 即． 21. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【小问1详解】 解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； 【小问3详解】 解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 五．解答题（三）（共2小题，23题13分，24题14分，共27分） 22. 长方形位于平面直角坐标系中平行移动． （1）如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点，并使得．在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出M点坐标_______； （2）如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分， ①、、分别交x轴于点E、F、G，连接，求证：是的中线； ②求证：． 【答案】（1）或 （2） ①证明：连接， 、关于轴对称， ， ， ， ，， ， ， ，即为中点， ∴是的中线； ②证明：轴，， 轴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点； （1）如图，若，过点作于点，证明，即可求解；如图，若，证明，进而求解； （2）①由对称可得，，再由同角的余角得到即得到是的中线； ②由轴结合平分，得到， 即可得到，再根据等边等对角证明即可． 【小问1详解】 解：（1）①四边形是长方形， 且轴，点的坐标，点的坐标为， 点的坐标，点， ，， 如图，若，则，过点作于点， ，， 四边形是长方形， ，， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标； 如图，若，， ，， ，， ，且，， ， ，， ∴， ∵， ， ∴， 点坐标， 综上所述：点坐标为或； 【小问2详解】 解：①略 ②略 23. 【问题初探】（1）如图1，是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图3，在三角形中，的平分线交于点D，求证：． 【答案】 （1）证明：选择小明的方法，如图，过点作于点，于点， 则， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即； 选择小强的方法，如图，在上截取，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：． 证明：如图，在上截取点E，使，连接， ∵为等边三角形， ∴． 又∵为等腰三角形，且， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． （3）证明：如图，在边上截取，连接，在的上方作交的延长线于点， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴； 【解析】 【分析】（1）选择小明的方法，过点作于点，于点，证，得，再由，即可得出结论；选择小强的方法，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后由，即可得出结论； （2）采用“截长补短”法，在上截取点E，使，连接，结合等边及等腰三角形的性质证明，继而可证，由全等的性质可得结论. （3）在边上截取，连接，在的上方作，交的延长线于点，证，得，再证，然后证，得，则，即可得出结论； 【详解】略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $