精品解析：广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷 命题人：黄锡泉 审题人：霍子伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式及对数的性质求对应函数定义域，再由集合交运算求结果. 【详解】对于，有，则，即， 对于，有，则，即， 所以. 故选：C 2. 某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样每个人抽取的概率相等，即可求解. 【详解】某校学生2000人，其中高三年级学生500人， 从该校学生中抽取200人的样本， 该样本中高三学生的人数为. 故选:B. 【点睛】本题考查分层抽样抽取样本方法，属于基础题. 3. 向量与垂直，则（ ） A. －1 B. 1 C. －4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据互相垂直向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量与垂直， 所以有， 故选：B 4. 四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示即可. 【详解】. 故选：A 5. 已知为偶函数，它在上是减函数，若有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用偶函数的基本性质将所求不等式变形为，再由该函数的单调性得出，可得出，利用对数函数的单调性即可解出该不等式. 【详解】函数为偶函数，由，可得， 又函数在上是减函数，，则，解得. 因此，所求的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，涉及对数函数单调性的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 6. 在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再根据余弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 7. 在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示： 令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 8. 已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值． 【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以， 所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为， 又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点， 又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为， 所以，所以的最小值为， 故选：A． 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断. 【详解】A. 若内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知 ，故错误； B. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，故内不存在与平行的直线，故正确； C. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线与共面，故错误； D. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线有无数条与相交，故正确； 故选：BD 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有2个 D. 若△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理直接判断；对于B：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C：由即可判断；对于D：由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断． 【详解】对于A：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径）， 因为，即，所以，故A正确； 对于B：因为，即， 展开整理得，又， 所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误； 对于C：因为，，，所以，所以， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于D：三角形面积且可得， 因为，所以，故，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ） A. 直线l的斜率k的取值范围是 B. 点M的轨迹为圆的一部分 C. 为定值 D. 为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果. 【详解】对于A选项，方法1：设，，直线l的方程为． 由得， 所以， 解得，所以A正确； 方法2：如图，设直线l与圆的切点为，，在直角三角形中，， 所以，所以，由图形对称性可知，所以A正确； 对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确； 对于C选项，由，可得， 又，所以C错误； 对于D选项，由， 得，， ， 又，， 所以 ．故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两圆，的公切线有且仅有__条． 【答案】2 【解析】 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【详解】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 13. 已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得、，进而可得即为在方向上的投影，再由即可得解. 【详解】，，； ，， 即为在方向上的投影，. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题. 14. 在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为______，点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出点的轨迹方程，可求得点的轨迹长度，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 因为点是侧面上的动点，设点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，且， 因为平面，则，即， 可得，分别取线段、的中点、， 所以，点的轨迹为线段， 故点的轨迹长为， ，由，可得， ， 所以，点到直线的距离为 ， 因为函数在上为增函数， 所以，当时，取最小值，且. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为三个内角的对边，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求和的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合同角三角函数的商数关系计算即可； （2）利用余弦定理结合（1）的结论计算可得a，再根据正弦定理计算B，结合二倍角公式计算即可. 【小问1详解】 由余弦定理可知， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得，所以； 再根据正弦定理可知， 因为，故， 所以， 即，. 16. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 【答案】（1）66.8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可； （2）根据频率分布直方图计算出第5组和第6组学生人数，利用列举法写出基本事件，结合古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 本次考试成绩的平均数为 ． 【小问2详解】 第五组与第六组学生总人数为， 其中第五组有4人，记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C， 从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种， 设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为,包含的基本事件有：aA、aB、aC、 bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种， 所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 17. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：过作交于， 由题意为正方形，则，， 所以，即， 又，，则，，即， 所以为平行四边形，故， 而面，面，则平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）过作交于，证为平行四边形得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，且， 以为原点，为轴建空间直角坐标系， 所以， 则，，， 令面的一个法向量为，则， 令，可得， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）存在，的长度为或 【解析】 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 19. 已知定点和直线，动圆和直线相切，且过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径． （1）求圆的圆心的轨迹方程． （2）当圆的面积最小时，求圆的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由动圆和直线相切及过点的圆切线长等于动圆的半径这两个条件，可得到，化简即可得到圆心的轨迹方程； （2）动圆的面积最小，则有动圆的半径最小，最小半径即曲线上的点到直线的最小距离，可先求出平行于且与相切直线，与的距离为半径，此时的切点为圆心，即可求得圆C的方程. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为， ∵动圆和直线相切，则， 过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径，则， 所以得， 化简，得 所以圆的圆心的轨迹方程为： 【小问2详解】 由题意可知，当圆的面积最小时，点到直线的距离即圆半径最小； 设直线为与曲线相切 联立，消去，得， 则， 且，， 解得， 当时，切线为， 则，圆心C； 当时，切线为， 则,圆心C， 所以，此时圆心C， 圆的方程为 【点睛】本题的关键点是理解动圆的最小半径即曲线上的点到直线的最小距离，从而转化为的切线与直线的距离，此时的切点即为圆心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷 命题人：黄锡泉 审题人：霍子伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 3. 向量与垂直，则（ ） A. －1 B. 1 C. －4 D. 4 4. 四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为偶函数，它在上是减函数，若有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 7. 在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有2个 D. 若△ABC的面积，则 11. 已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ） A. 直线l的斜率k的取值范围是 B. 点M的轨迹为圆的一部分 C. 为定值 D. 为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两圆，的公切线有且仅有__条． 13. 已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中________. 14. 在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为______，点到直线的距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为三个内角的对边，且 （1）求角A的大小； （2）若，，求和的值． 16. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 17. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知定点和直线，动圆和直线相切，且过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径． （1）求圆的圆心的轨迹方程． （2）当圆的面积最小时，求圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $