精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

2025届高三第一次考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设角顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位 B 已知随机变量，若，则 C. 两组样本数据和.若已知且，则 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 11. 如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形ABCD面积的最小值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值为__________. 13. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则符合题意的的一个值为__________. 14. 记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 16. 某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）求不满意人数与月份之间回归直线方程，并预测该小区10月份对这款App不满意人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到下表： 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？ 使用App 不使用App 女性 48 12 男性 22 18 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值． 18. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.原纸片为一圆形，直径，点C在圆上. （1）如图1，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，AC裁剪、展开实现.若，，求四边形的面积； （2）如图2，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，EC裁剪、展开实现.若，，求镂空的四边形的面积最小值. 19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质. （1）试写出一个具有性质的一次函数； （2）判断函数是否具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第一次考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算规则，以及结合子集的定义即可得解. 【详解】因为，所以且 又 所以， 故选：D. 2. 设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当（）时，，所以成立， 所以“（）”是“”的充分条件； 当时，， 所以“”不是“”的必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到，得到的最小值. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得， 又的图象关于轴对称，所以， 解得，当时，取得最小值． 故选：A． 4. 在中，已知，，，若存在两个这样三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，分析可知关于A的方程：在有两解，结合正弦函数图象分析求解. 【详解】由正弦定理可得， 由题意可知：关于A的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线， 因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故选：C. 5. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得. 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 故选：A 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】，，， ，，， ，，，， . 故选：C. 7. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据，结合向量坐标运算，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得， 则，. 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 故.又，则， 因为，所以， 解得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题. 8. 已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，由条件可得，由其单调性即可判断AB，再由零点存在定理即可判断C，构造函数，求导可得其单调性即可判断D 【详解】由题意得且，而可变形， 令，在上单调递增， 则，故，所以，所以A错误； 由可得，，所以B错误； 由于，， 结合在上单调递增，由零点存在性定理得，故C错误； 由，令，， 因为，所以，所以在时单调递减， 所以，所以，即，所以D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数单调性以及零点问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，利用导数研究函数性质. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位 B. 已知随机变量，若，则 C. 两组样本数据和.若已知且，则 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据回归方程可判定A，根据正态分布可判定B，根据数据的平均数可判定C，根据回归方程及残差的概念可判定D. 【详解】若有一个经验回归方程，随着的增大，会减小，A错误； 曲线关于对称，因为，所以， 所以，B正确； 因为， 所以， 故，C正确； 经验回归方程为，且样本点与的残差相等， 则，所以，D错误. 故选：BC. 10 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，即可得函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即，， 故，， 故其图象如图所示： 对A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对D：由图象，当时，方程在有4个解， 在时，方程在少于4个解，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形ABCD面积的最小值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD. 【详解】， 根据正弦定理得， 即， ，显然，则，根据题意，有， 又，可得，，为等边三角形，故A正确； ，，中，， 当时，，，即， A，B，C，D共圆，B正确． 又， 四边形ABCD面积， ，， ，则， 所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误． 当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值. 【详解】∵过原点，∴， ∴①， ∵当与时，，，， 由题意，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，则. 故答案为：. 13. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则符合题意的的一个值为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用函数的奇偶性与三角函数的对称性质，结合两个偶函数的积函数的性质，求解一个符合题意的的值即可. 【详解】由题意函数，， 存在常数，使得为偶函数，即为偶函数， 当时，，， 对于任意，都有. 则函数为偶函数，故满足题意. 当时，当时，函数为偶函数， 要使为偶函数，即为偶函数， 只需为偶函数即可. 由恒成立， 即对任意恒成立， （不合题意，舍去），或， 可得，，即， 取可得. 故答案为：.（答案不唯一）. 14. 记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先将的零点个数转化为和的交点个数，然后画图确定交点个数. 【详解】令,则, 令, 则与的交点个数即为的零点个数, 当时,, 又, 所以是周期为1的函数, 在上单调递减,且, 所以可作出与的图象如图, 所以与有3个交点，故的零点个数为3, 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【小问1详解】 设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为. 【小问2详解】 ，，即成立， 则得在有解， 故有时，. 令，，， 令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以， 则，故的最小值为. 16. 某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款App不满意人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到下表： 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？ 使用App 不使用App 女性 48 12 男性 22 18 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）；37 （2）即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于 【解析】 【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论； （2）根据题给数据分析列联表求解得出结论 【小问1详解】 由表中的数据可知，， ， ，， 不满意人数与月份之间的回归直线方程为， 当时， 预测该小区10月份对这款App不满意人数为37； 【小问2详解】 提出假设：是否使用这款App与性别无关， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案. (2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案. 【小问1详解】 解：由图示得：， 又，所以，所以，所以， 又因为过点，所以，即， 所以，解得，又，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由已知得， 当时，，令，则， 令，则 ，，，， 所以， 因为有三个不同的实数根，则， 所以，即， 所以． 18. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.原纸片为一圆形，直径，点C在圆上. （1）如图1，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，AC裁剪、展开实现.若，，求四边形的面积； （2）如图2，需要剪去四边形，可以通过对折，沿DC，EC裁剪、展开实现.若，，求镂空的四边形的面积最小值. 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线性质定理得到，结合勾股定理得到，再利用面积比计算可得； （2）由对称性可得，所以求面积的最小值即可，设，根据的面积公式及余弦定理可得的关系，再根据不等式即可求面积的最小值. 【小问1详解】 如图1所示，设圆心，连接， 则，，又，则， 由平分，则，又， 解得，. 又， 故， 则， 所以四边形的面积为 【小问2详解】 如图2，连接作于点， 由题意得cm，故， 所以cm， 设，，， 则，即， 由余弦定理可得， 则，即， 当且仅当等号成立， 所以. 所以镂空的四边形的面积最小值为. 19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质. （1）试写出一个具有性质的一次函数； （2）判断函数是否具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数具有性质P （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据多项式相等可得答案； （2）由得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合特殊点的函数值和已知定义可得答案； （3）解法一：由化简得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合值域可得答案； 解法二：由化简得，转化为与的图象有交点，判断出在上的单调性，结合值域可得答案. 【小问1详解】 设， 由，得，即， ； 【小问2详解】 由，得， 即， 令，则在上单调递增， 又，故存在， 使得，即， 故函数具有性质； 【小问3详解】 解法一：由， 得， 化简得， 令，则， 令，则在上单调递增， 且， ，即在上单调递减. 又当时，；当时，， ，即，故实数的取值范围是； 解法二：由，得， 化简得， 即与的图象有交点， 在上单调递减，且当时，； 当时，， ，即，故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$