山东省济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

嘉祥一中2025—2026学年度第一学期12月月考 高三数学试题 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。认真核对条形码 上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例)正确填涂；非选择题答案必须使用0.5mm黑色 签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效；保持卡面清洁，不折叠、不破损。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合A={x1<2<16，B={-2,-10,12,3,4},则A∩B=（) A. 0,1} B.{1,2,3} C.{-1,0,1} D.{0,1,2,3,4} 2. 已知复数：=，2 (i为虚数单位)，则复数z的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 3.若直线2ax+by=aba>0,b>0)过点(1,1)，则a+b的最小值为() A.4W2 B.3-22 C.3+2√2 D.32 4已知a-引，则a引() 7 A. 9 B.7 C.8 D._8 9 5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼 太极图”.如右图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆， P. 已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则x-y的最小值为（) A.3W2 B.2V2 C.-4 D.-2√2 6.己知等差数列{a}满足4=2,4+4=10，数列{b}满足b=4,b1=2b.+2(n∈N),则{b}前n 项和Sn为() A.2+1-2n B.2n C.（n+1)2-1 D.（n-1)2+1+2 7.已知函数f的定义域为R且满足f(+f=2,x+D=f9≠-少，当∈[0,2]时， f(x)+1 高三数学试题第1页共4页 2025 fw)=im(匹)+1，则f①=（) 2 A.2026 B.2025 C.2027 D.2024 8.已知抛物线C:y2=4x,A(3,0),O为坐标原点，过点A的直线1与C交于不同的两点M,N,若 M+4AN=0,则△ON的面积为() A.15V5 B. 15V5 C.15/3 D.5V3 4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下面四个结论正确的是() A.若平面向量a/b,则存在唯一的2∈R使得a=b B.在锐角VABC中，不等式sinB>cosA恒成立 C.直线1：y=x+1与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，则AB=V14 D.双面线二矿-的南近线方程为y=±宁 10. 已知a= cox-令，1i=2cos(x-安.l 函数f(x)=ab,则() A.f(x)的最小正周期为元 B.f(x)在区间48 π3π 上单调递减 3元 是偶函数 D.若f)-在区间(Qx)内有两个根a,A,则eosa) 2 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，M是棱BC的中点，N是棱DD上的动点（含 端点)，则下列说法中正确的是() A点V到平面4AM的距离为定值4V5 B B.若N是棱DD的中点，则四面体D-AN的外接球的表面积为14元 C.若N是棱DD的中点，则过A,M,N的平面截正方体ABCD-AB,C,D所得的截面图形的周长为 75 高三数学试题第2页共4页 D.若CN与平面AB,C所成的角为O,则sin6∈ √√6 3’3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.己知双曲线C:心_上=1的右焦点为下，且F到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率 m 为 13.已知椭圆C:￡+上-1的左右焦点分别为R,乃，若点P为椭圆C上的动点，则P丽·P元，的取值范 43 围为 xe,x≤0 14.已知函数f(x)=nx ,x>0,则函数f田的值域为 x 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△4BC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知AD=2DB,A正=-AC,且满足 asin A+bsinC=bsin B+csinC, (1)求sinA的值； (2)若b=4,c=3,BE与CD交于点P,求线段CP的长. 16.已知数列{a}满足4=1，a1=(n+1)an+n(n+1),数列b.}满足b.=(cos n)a, (1)求数列{an}的通项公式a (2)求数列b}的前n项和Sn 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E 为BC的中点， (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1/平面PAB: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 高三数学试题第3页共4页 18已知4B分别为椭圆上于+广-1@>60的左右顶点。人，分别为精圆E的左右焦点，P 为椭圆E上异于A,B的任意一点，△PAB面积的最大值为2W3,设直线PA,PB的斜率分别为k,飞，且 妹子 (1)求椭圆E的标准方程； (2)过F,的直线1与椭圆E交于C,D两点(C,D与A,B不重合)，已知点Q(4,0),设直线QC,QD的 斜率分别为k,k4, (i)若直线l的斜率为1，求线段CD的长； (1)证明k3+k,=0; 19.已知函数f)=x-12 alnx(a∈R, （①若a-号求函数y-10在点Lf四)处的切线方程： (2)若f(x)>0在(1，+o)上恒成立，求实数a的取值范围： (3)讨论f(x)的单调性. 高三数学试题第4页共4页嘉祥一中2025—2026学年度第一学期12月月考 高三数学试题参考答案及评分细则 2025.12 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B B 1 D D A 二、多选题 9 10 11 BC ABC ABD 三、填空题 12.√5 13.[2,3] 4〔 四、解答题 15.(1).asinA+bsin C=bsinB+csin C,由正弦定理可得 "+bc=b2+c2,即b2+c2-a2=bc,所以有余弦定理得cosA= %子4州 2bc 因为A∈0，不A=3m4 2 ,(5分) (2)如图，过点D作DFIIAC交BE于点F,由题意可得 g-054=c完器5带-cn=a DF BD 4 又因为AD 3AB2 3 AD=24C=44=10分) 3 .CD=2...cP=3cD=3 (也可借助于三点共线找到P点的位置)(13分) 4 2 16.(1):m1=0+1a,+n0m+1,:-=l,2分) n+l n 即数列 为首项为马=1公差为1的等差数列，4=a,=m,(6分) n (2)bn=(cosnπ)an=(←-1)n2,(7分) 高三12月月考答案 第1页共4页 当n为偶数时， S,=(-1+2)+(32+4H（52+62)H+（←0-2+n）上1+2+n=+ ，(11分) 当n为奇数时，则n+l为偶数， S=5-ah-0+D+26+:-0+ 2 2 n(n+1 2 ,n为偶数 综上所述S .(15分) n(n+1) n为奇数 2 17.(1)PA点M,连接FN,MN,:△ACD与△ABC为等腰直角三角形 且∠ADC=90°，∠BAC=90°，不妨设AD=CD=2,.AC=AB=2√2.∴.BC=4. EF分别为8C,PD的中点，N-4D=1GM=号B2=l,且w7 AD.GM1/BC :∠DAC=45°，∠ACB=45°，.AD∥BC, .FN∥GM,∴.四边形FGMN为平行四边形，.FG∥MN,(4分) ,FG平面PAB,Nc平面PAB,(6分).FG∥平面PAB,(7分) (2)PA⊥平面ABCD,，∴.以A为原点，AC,AB,AP所在直线分别为x,y,二轴建立如图所示的空间直角坐标 系，(8分) 设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,2V2,0),C(25,0,0bD(N5,-5,0)P0,0,25)， .AB=(0,22,0,DC=(N5,V2,0),CP=（25,0,22), 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), [Dc.i=0,「2x+√2y=0 Cp.i=0,-2W2x+2W2z=0 取x=1,y=-1,2=1,i=(1,-1,1).(10分) 设AB与平面PCD所成角为日， AB-元0×1+22×(-1)+0×1 则sin6= 22 AB园22×2+（←1+1 2W2x53,(14分) 即AB与平面PCD所成角的正弦值为5 (15分) 3 18.(1)当点P落在上顶点或下顶点时，△PAB的面积最大为ab,.ab=2√3①(2分) 高三12月月考答案第2页共4页 设P(,4(-a,0,B(a,0k=,,=%,又因为P(x,人)在椭圆上，可得 xo+a xo-a 5+1,bb9kk。26人 a (x2-a2）6 xo-d xod x2-a2 a2,3分) -②，@②可得a=2,b=V3,(4分】 所以粘圆E:云+上=上(5分) 43 (2)设C(x,乃)D(x2,y2), (1)因为直线1的斜率为1，F,(1,0)∴.1：y=x-1,把1的方程与椭圆E的方程联立， P x+= 得4T3,消去y得7x2-8x-8=0,则 8 (8分) y=x-1 所以CDl-+k氏+x)-4xx-2 78 824 +4× (11分) 7 77 (11)由题意知，直线1的斜率不为0，且过F,(1,0),设1：x-1=my,(也可设成点斜式，但需讨论斜率存在与斜 率不存在两种情况)把1的方程与椭圆E的方程联立， (xy=1 om 乃+y2= 得4T3,消去x(3m2+4)y2+6y-9=0,△>0恒成立，则 3m+4,@(14分) -9 (x-1=my 2= 3m2+4 因为点0(4,0)，C(5,y),D5,b可得飞=片，k,=当 -41 x2-41 ∴k+k=上t,-40+⅓④.m-3)+0m-3)-2m2-30y+2 x-4x2-4(x-4)(x2-4) (x-4)(x2-4) (x-4)(x2-4) 18m,18m 2yy2-3y+y）=3m2+43m2+4=0 将®指入上式得·飞+k=G0x-利(G4年9 (17分) 19.由愿意知f田的定义域为(0，+m,f(x)=1+-24_产-2ax+1 x2xx2’2分) 高三12月月考答案 第3页共4页 )当a=时，f四=中f0FL/0=0,g分》 所以函数y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为y=x-1;(5分) (2)f(y)=1+↓-2a_x2-2ax+1 ①当a≤0时，f'(x)>0,∴.f(x)在(1，+o)上单调递增，对x∈(1，+o),f(x)>f(I)=0;(7分) ②当0<a≤1时，令p(x)=x2-2ax+1,对应的-元二次方程△=4-4≤0，m()≥0，∴f'(x)≥0，f()在 (1,+0)上单调递增，对x∈(1，+o),f(x)>f1)=0;(9分) ③当a>1时，p(x)=x2-2ax+1,对应的一元二次方程△=4a2-4>0p(x)=0有两个不相等的实数根 ,,不妨设x<,且+x=2a>2,xx=1,.0<x<1<x2,则当x∈(1，x2)时，f(x)<0f()在 (1,x)上单调递减，即当x∈(1，x,)时，f(x)<f()=0,不合题意： 综上，实数的取值范围为(-0,1：（利用端点效应只要证明了充分性，该问也给满分）(11分) (3)由(2)中①②知，当a≤1时，f'(x)≥0，f(x)在(0，+0)上单调递增；(13分) 当a>1时，p(x)=x2-2ax+1,对应的一元二次方程△=42-4>0∴gp(x)=0有两个不相等的实数根，由求根 公式可得5=2a-4-4-a->0,5-2a+-4a-1>5, 2 2 所以当x∈(0，a-va-U(a+a-l,+∞时，f(x>0,(1s分) 当x∈(a--1,a+va2-i)j时，f'(x)<0, “f(y在0，a-V-1和a+-L,+o）上单调递增，在(a-Va-1,a+V-1)上单调递减， 综上所述， ①当a≤1时，f(x)在(0，+o)上单调递增： ②当a>1时，f()在0，a-va2-1)和a+2-1,+∞)上单调递增，在(a-va-1,a+a2-1)上单调递减， (17分) 高三12月月考答案 第4页共4页