精品解析：贵州省黔东南州榕江县乐里中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷

榕江县乐里中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 二次函数y＝x2+2x-4的顶点坐标为（ ） A. （1，5） B. （-1，5） C. （-1,-5） D. （1 ,-5） 6. 一元二次方程根的情况是(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为，根据题意列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，将绕点C顺时针旋转到处，此时点D刚好落在边上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 11. 如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 12. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次函数的图象开口方向是________（填“向上”或“向下”）． 14. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________． 15. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 16. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，已知点． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点B的对应点的坐标． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 20. 如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 21. 如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 23. 小聪看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，他对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图2所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的解析式； （2）小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平距离，身高的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小聪与哥哥的水平距离． 24. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，请求出二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，，求二次函数的最大值与最小值； （3）在（1）的条件下，若点，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．当时，求的取值范围． 25. 综合与实践 观察猜想： （1）如图①，在和中，，，点D在线段上，连接，则和的数量关系是 ． 探索证明： （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，点D落在线段BC上，其他条件不变，此时的度数是 ，探究线段的关系，写出探究过程． （3）如图③，是等腰直角三角形，，点D为外一点，且，连接，若，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榕江县乐里中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B、该方程属于二元二次方程，不符合题意； C、当a=0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的特征：两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：C． 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得． 故选：B． 5. 二次函数y＝x2+2x-4的顶点坐标为（ ） A. （1，5） B. （-1，5） C. （-1,-5） D. （1 ,-5） 【答案】C 【解析】 【分析】把二次函数的解析式配方变把二次项与一次项放在括号内，加一次项系数一半的平方横等变形为顶点式即可判断． 【详解】y=x2+2x-4=（x2+2x+1-1）-4=(x+1)2-5， 二次函数的顶点为（-1，-5）． 故选：C． 【点睛】本题考查把二次函数配方为顶点式的方法问题，掌握配方的方法，把二次项与一次项放在括号内加一次项系数一半的平方横等变形是解题关键． 6. 一元二次方程根的情况是(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据根的判别式计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故方程没有实数根， 故选D． 7. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用抛物线顶点式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，再向下平移4个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，-2）， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用根据规律利用点的变化确定函数解析式是解题的关键． 8. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为，根据题意列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，根据三月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程 【详解】解：设月平均增长率为， 根据根据三月份的销售量得： ． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程，熟练掌握计算法则是解题关键 9. 如图，将绕点C顺时针旋转到处，此时点D刚好落在边上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据图形旋转的性质可得，，根据等腰三角形的性质可求得，进一步求出，即得答案． 【详解】绕点C顺时针旋转到， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据可知，则开口向上，对称轴为，由“当时，y随x的增大而增大”，可得，从而得解，推导出是解决问题的关键． 【详解】解：由，可知：，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：C． 11. 如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∴二次函数的图象的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键． 12. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 二次函数的图象开口方向是________（填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，此时函数有最大值． 【详解】解：∵， ∴图象开口方向向上． 故答案为：向上． 14. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 将方程的一根代入方程求出，再解方程求出另一根即可． 【详解】解：方程的一根为， ， ， ， ， 或， ，， 方程的另一根为． 故答案为：． 15. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数经过点 ∴关于x的一元二次方程的解为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时线段的最小，再根据三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，延长至点F，使， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上， 当时线段的最小， ∵，，， ∴ ∴, ∵， ∴, 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，已知点． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 20. 如图，抛物线与直线相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线经过点， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 21. 如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转方向旋转对应点可以求得旋转角度； （2）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理即可求出； 此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质及勾股定理，解题的关键是找到旋转后对应的边角关系． 【小问1详解】 解：（1）∵绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． ∴旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴旋转角为； 【小问2详解】 ∵正方形的边长为2， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． ∴，， ∴． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式； （2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 依题意得： ∴y与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元 依题意得： 整理得： 即 解得， ∵每件盈利不少于25元 ∴ 解得： ∴ 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程． 23. 小聪看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，他对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图2所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的解析式； （2）小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平距离，身高的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小聪与哥哥的水平距离． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）本题考查求抛物线的解析式，根据顶点坐标设出顶点式，再将代入，即可求出抛物线的解析式； （2）本题考查二次函数的实际应用，对应的x的值即为哥哥距喷水头P的水平距离，结合（1）中结论列一元二次方程，解方程求出对应的x的值即可，解题的关键是根据实际问题构造数学模型． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， ∴她与哥哥的水平距离为或， 答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小聪与哥哥的水平距离是或． 24. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，请求出二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，，求二次函数的最大值与最小值； （3）在（1）的条件下，若点，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，二次函数的最大值是，最小值是 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时取最小值，时取最大值． （3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴， 解得； ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，函数有最小值， 当时，， ∴当时，二次函数的最大值是，最小值是． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， 若点在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意可得， ∴， 若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时， 由题意可得：， 不等式组无解， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25. 综合与实践 观察猜想： （1）如图①，在和中，，，点D在线段上，连接，则和的数量关系是 ． 探索证明： （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，点D落在线段BC上，其他条件不变，此时的度数是 ，探究线段的关系，写出探究过程． （3）如图③，是等腰直角三角形，，点D为外一点，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】（1）； （2），， 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， ∴∠； ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可求，，即可求解； （3）过点A作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求得，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图③，过点A作，且，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $