精品解析：江苏省泰州市泰兴市多校联考2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中调研测试 高三数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 5. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么． B. 如果，，那么． C. 如果，，，，那么． D. 如果，，，，那么． 10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 11. 在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ） A. 若有两个解，则 B. 的取值范围为 C. 的最大值为9 D. 若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，，，则的面积是______ 13. 记为等比数列的前项的和，若，，则_____． 14. 已知，，，，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5分题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 16. 在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 17. 设函数．从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一个对称中心． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，，求的值． 18. 已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）求证：数列. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断函数是否存在极小值，若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由； （3）当时，恒成立，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中调研测试 高三数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集概念求出交集. 【详解】，故，解得，故， 又，故. 故选：B 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，利用复数除法法则得到，得到对应的坐标，求出所在象限. 【详解】的共轭复数是，故， 所以， 故复数在复平面内对应的点坐标为，在第一象限. 故选：A 3. 已知向量，，若，是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量平行得到方程，求出，利用余弦二倍角公式得到答案. 【详解】由题意得，故， 故. 故选：B 4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1） （参考数据：，，，） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到方程组，相减后得到，结合给出的参考数据，得到. 【详解】由题意得， 两式相减得，而， 故， 故选：D 5. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：D. 6. 已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于求出的范围可得答案． 【详解】因为的对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，， 又因为在上为单调函数， 所以，解得， 所以，可得. 故选：D. 7. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各个边长，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此时，由勾股定理逆定理得⊥，故满足四面体为一个鳖臑，取中点，连接，得到，故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为，从而求出外接球表面积. 【详解】因为直角中，为斜边上的高，，， 所以，， ，， 如图，翻折后，使得⊥，由勾股定理得， 此时， 由勾股定理逆定理得⊥， 结合⊥，⊥，故满足四面体为一个鳖臑， 取中点，连接， 因为⊥，⊥，故， 故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为， 故该鳖臑外接球的表面积为为. 故选：C 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，分和两种情况，参变分离得到，构造，求导得到其单调性，求出最小值为，得到. 【详解】， 令，则， 因为在R上单调递增，所以， 当时，可由向右平移得到， 结合与的图象可知，恒成立， 当时，由得到，其中， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 故， 综上，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：同构构造，从而令，得到，根据的单调性得到，再进行下一步求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么． B. 如果，，那么． C. 如果，，，，那么． D. 如果，，，，那么． 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知选项A正确；由面面平行的性质可知选项B正确；由线面垂直的性质定理可知选项C错误；由面面平行的判定定理可知选项D错误. 【详解】A. 如果，那么直线与平面内的任意一条直线都垂直，由于，故，选项A正确. B. 如果，那么平面内的任意一条直线都与平面平行，由于，故，选项B正确. C.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 如图，选项条件中直线不一定是平面与平面的交线，故不能推出.选项C错误. D.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 如图，选项条件中两直线可能平行，不能得到.选项D错误. 故选：AB. 10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据对称性得到，故；B选项，两边求导得到，B正确；C选项，两边求导得，C错误；D选项，在C选项基础上，得到D正确. 【详解】A选项，关于点对称，故， 令得，A正确； B选项，是偶函数，故，两边求导得， 又函数与导函数的定义域均为， 故为奇函数，B正确； C选项，两边求导得，即， 故关于直线对称，无法得到为偶函数，C错误； D选项，由C选项知，，故，D正确. 故选：ABD 11. 在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ） A. 若有两个解，则 B. 的取值范围为 C. 的最大值为9 D. 若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理求解即可；对于B，由正弦定理及向量的数量积公式求解即可；对于C，法一：用投影向量求解；法二：转化到圆心求解；对于D，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，再求解即可. 【详解】对于A，由正弦定理，得， 有两解的情形为，且，则，故A正确； 对于B，由正弦定理，得外接圆半径， 由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，， 于是，故B正确； 对于C，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时， 设为的中点，则， 在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误； 法二：转化到圆心：，故C错误； 对于D，如下图，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为， 所以A点的轨迹长度为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，，，则的面积是______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得的值，再由同角三角函数的平方关系得的值，然后根据，得解． 【详解】解：由余弦定理知，， ， ， ∴的面积． 故答案为：． 13. 记为等比数列的前项的和，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，这与已知，是矛盾的， 所以，从而，， 将上面两个等式的两边分别相除，得，解得， 由此可得，因此． 故答案为：. 14. 已知，，，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义求出答案. 【详解】设在第四象限， 表示在方向上的投影数量， 当与反向时取到最小值，当位于轴正半轴上时，投影数量为， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5分题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可. 【小问1详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 16. 在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明： 连接，在菱形中，， 故，而底面， 平面，故，而，故，\ 同理，. 因为，而，故，而， 故，而平面，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）可得为中位线，从而，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）根据空间垂直关系的转化可得，利用解三角形可求二面角的大小。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中可得且. 由菱形可得，而底面，平面， 故，而，平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角， 由（1）可得，而，为等腰三角形， 故，而为三角形内角， 故即二面角的平面角为. 17. 设函数．从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一个对称中心． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式得到，若选①，求出，若选③，求出，故①③不能同时选，若选②，得到，故只有②和③满足要求，并得到，求出最小正周期为；整体法得到函数单调递减区间； （2）代入求出，并结合得到，利用求出答案. 【小问1详解】 ， 若选①：函数的图象经过点， 则，故， 又，解得， 若选③，是的一个对称中心， 则，故， 又，解得， 显然条件①和③不会同时成立， 若选①②：因为在区间上单调递增， 设的最小正周期为，则，故， 又，，故， 因为，所以不成立， 当选②和③时，且， 故当时，满足要求，， 的最小正周期为； 令， 解得， 故单调递减区间为； 【小问2详解】 ，故， 因为，所以，故， ， . 18. 已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）求证：数列. 【答案】（1）； （2）存在，理由：假设存在正整数，，使得，，成等差数列， ，，， 由题意得，整理得到, 故或, 故（舍）或，, 综上，存在正整数，，使得，，成等差数列； （3）证明：由等差数列求和公式得， 当时，， . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到方程，求出，，求出通项公式； （2）假设存在，得到，根据整除性可得存在正整数，，使得，，成等差数列； （3）由等差数列求和公式得到，放缩得到，裂项求和即可证明. 【小问1详解】 由题意得，即， 整理得，因为，所以， ，即，解得， 故，的通项公式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）判断函数是否存在极小值，若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由； （3）当时，恒成立，求实数的值． 【答案】（1） （2）当时，无极小值；当时，极小值为；当时，极小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求导，并因式分解，得到，分，和三种情况，得到函数单调性和极小值； （3）先由得到，再考虑，结合（2）中所求的函数单调性，得到，故取，则，不合要求，当时，，满足当时，，得到答案. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 若，则，故在R上单调递减，故无极小值； 若，令得，令得或， 故在上单调递增，在，上单调递减， 故在处取得极小值，极小值为； 当时，令得，令得或， 故在上单调递增，在，上单调递减， 故在处取得极小值，极小值为； 综上，当时，无极小值；当时，极小值为；当时，极小值为； 【小问3详解】 当时，恒成立， 当时，， 即， 整理得，由于，故， 当时，由（2）知，在单调递减，在上单调递增， 故， 若取，则，不合要求， 当时，， ， 当时，恒成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，先代入特殊值，得到，再考虑，举出反例，验证时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $