精品解析：江西省赣州市十八县(市、区)二十四校2025届高三上学期期中联考数学试题

姓名：__________准考证号：__________ 2024年赣州市十八县（市､区）二十四校期中联考 高三数学 试卷说明： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算进行化简，然后利用复数相等即可得到答案. 【详解】由， 所以且，即. 故选：C. 2. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到与集合的关系. 【详解】由题知， ， 所以又， 所以. 故选：C. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的垂直关系得到，然后再将向量的模长转化为向量的数量积进行求解即可. 【详解】由，可知，得：，故. 再由，可得：， 将代入，可得：，解得：. 故选：B 4. “”是“函数在定义域上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数在定义域上单调递增，可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由题意，若函数在定义域上单调递增， 则，即，解得. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数，记，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析函数的单调性，然后结合对数函数的单调性求得的单调性即可判断，再结合函数的对称性即可判断，从而可判断的大小关系. 【详解】因为恒成立，所以函数定义域为， 对于二次函数，其对称轴为， 所以函数在上单调递减,上单调递增， 所以函数在上单调递增,在上单调递减， 又对数函数是增函数， 故当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减. 因为，所以，即； 又由得， 故是关于直线对称的函数， 又，，即， 所以， 所以，所以. 综上. 故选：D. 6. 已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为1 B. 数列为递减数列 C. 数列为递增数列 D. 的最小值为1 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可得，即可得到等差数列的，结合等差数列的通项公式与求和公式可得，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设数列的公差为，由，所以. 又，所以， 所以 选项A：， 所以当时，的最小值为1，A正确； 选项B：，因为， 所以数列不是递减数列，B错误. 选项C：，所以数列为递增数列，C正确； 选项D：，令，所以， 令，得或，所以在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，D正确. 故选：B. 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，即，再利用基本不等式求解. 【详解】由，函数在上单调递增， ， 所以，即， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 8. 已知，若函数在区间上恰好有2025个最大值，2025个最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量数量积的坐标公式得到函数的解析式，再将函数的解析式化简为，最后由计算出的取值范围，根据题意可得出关于实数的不等式组，进而可解得实数的取值范围. 【详解】根据题意可得： 由于，可得：， 由于函数恰好有2025个最大值，2025个最小值， 则，解得. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子中最小值为8的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A、B选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C选项，先将原式变形为，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D选项，根据，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可. 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即时等号成立，但不成立， 所以的最小值不为8，故A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8，故B正确； 对于选项C：， 当且仅当时，即时，取得最小值8，故C正确； 对于选项D：由题意， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D不正确. 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 81 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由换元法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则，所以原式，即， 解得，所以，所以，或. 故选：BD 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ） A. B. C. 是与的等差中项 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【详解】因为， 所以， 两式相减得， 所以的周期为4. 因为是奇函数， 所以，所以， 即， 令，得. 因为， 令，得， 所以，即. 因为， 令，得， 所以， 所以， 所以，故A正确. 因为， 所以，即，所以. 因为，，所以B错误. 因为，， 所以， 所以是与的等差中项，故C正确. 因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，公比，且，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是方程的两根，即可得到，从而得到结果. 【详解】由，知是方程的两根.又，所以，则. 故答案为：8 13. 在中，已知，点为的中点，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简条件式得，结合基本不等式可得，用表示，利用向量的数量积运算求解. 【详解】由已知得， 由正弦定理得，由余弦定理得. 由，得，且，即， 即，当且仅当时，等号成立. 又， ， 所以 . 故答案为：. 14. 已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为. 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以当与垂直时，取得最小值为4， 因此两点到的距离都为2. 过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得， 可得，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求及； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理代入计算，即可得到； （2）根据题意，由条件可得，结合和差角公式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，即， 即，解得或（舍）. 【小问2详解】 由（1）知，且为锐角，所以. 所以 . 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若函数，试求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值，最大值8 【解析】 【分析】（1）由函数周期可得，然后代入一个点的坐标即可求，从而得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后由其单调性可得的单调性，即可得到其最大值，再分别求得端点值比较大小，即可得到最小值. 【小问1详解】 由图象可得，的最小正周期， ， ， .， 解得，又， . 小问2详解】 由题， 由知，， 则当，即时，单调递增， 当，即时，单调递减， 所以， 而， 所以. 17. 已知函数是偶函数，且经过点. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数及函数经过的点求解函数解析式；然后利用导数求解切线斜率，进而求解切线方程； （2）首先借助导数求解切线方程，表示出、点的坐标，进而可得三角形面积表达式，然后分及两种情况分类讨论，借助导数求解面积的最小值即可. 【小问1详解】 由是偶函数，可得：，即，可得； 又及，解得：， 所以，所以. 由，可知切线斜率，又， 所以切线方程为，整理得：. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以曲线在点处切线斜率是. 又，所以切线方程为，即， 所以，所以. ①当时，，记，则. 当时，，此时在区间上单调递减； 当时，，此时在区间上单调递增. 所以. ②当时，，记，则. 当时，，此时在区间上单调递增； 当时，，此时在区间上单调递减. 所以. 综上所述，当时，的最小值为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，用导数正负判断单调性，进而确定最小值； （2）将恒成立问题转为最值问题，通过构造函数，求导分析单调性即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 则函数在上单调递增，且. 由，得；由，得. 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 【小问2详解】 由， 得. 令，则. 由，得. 由，得，则在区间上单调递增， 在区间上单调递减，从而. 由（1）知的最小值， 所以要使恒成立，只需， 解得，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. （1）若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】（1） （2）不是“线性可控数列”，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由“线性可控数列”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先求得数列的通项公式，然后结合“线性可控数列”的定义代入计算，即可判断； （3）根据题意，先由“线性可控数列”的定义列出式子，然后分别假设，以及假设，推导出矛盾结论，从而可得，且，即可证明. 【小问1详解】 由“线性可控数列”的定义可知，， 解得.因为，所以，即. 【小问2详解】 数列不是“线性可控数列”，理由如下： 令，得. 当时，也符合）， 所以，所以. 要使为“线性可控数列”，则需， 即恒成立. 因为 ，显然不可能恒小于等于零， 所以不能恒成立， 所以数列不是“线性可控数列”. 【小问3详解】 由题可知，且， 则，即.① 假设，得，所以，所以. 因为，所以，所以由①式可得 ，得， 即.② 同理由，得③ 因，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以②式可得， 即，所以，④ 所以②和④式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于2. 当时，再假设，则由④式， 因为不能大于2，所以，即. 这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且 所以当时， ，所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义知识，难度较大，解答本题的关键在于理解清楚“线性可控数列”的定义，然后结合数列的相关知识代入计算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 姓名：__________准考证号：__________ 2024年赣州市十八县（市､区）二十四校期中联考 高三数学 试卷说明： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 4. “”是“函数在定义域上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列前项和为，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为1 B. 数列为递减数列 C. 数列为递增数列 D. 的最小值为1 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知，若函数在区间上恰好有2025个最大值，2025个最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子中最小值为8的是（ ） A B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 81 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ） A. B. C. 是与的等差中项 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，公比，且，则__________. 13. 在中，已知，点为的中点，，则的最大值为__________. 14. 已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求及； （2）求. 16. 已知函数部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若函数，试求在区间上的最值. 17. 已知函数是偶函数，且经过点. （1）求曲线在点处切线方程； （2）设曲线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点为坐标原点，求的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. （1）若数列为“线性可控数列”，求取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$