精品解析：北京市十一学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年初三第一学期数学学科期中练习 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线的顶点的坐标为______． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 11. 某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 13. 某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为______． 14. 如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则______°． 15. 如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为______，阴影部分的面积为______． 16. 如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为______；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是______． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 19. 已知：如图，在中，．求作：的外接圆． 下面是小张的作法： ①如图，作的垂直平分线； ②作AC的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，长度为半径作圆． 则是的外接圆． （1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形． （2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了的内心．下面是小李的作法： 直线与交于点D，连接，交于点I，则点I是的内心． 请你补全下面证明． ∵，经过点O， ∴（ ① ）（填推理的依据）， ∴ ② （ ③ ）（填推理的依据）． ∵，，∴． ∵与交于点I，∴点I是的内心． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，、、，将绕原点O顺时针旋转得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）． （1）在图中画出； （2）旋转到的过程中，点C经过的路径长为______； （3）先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求k的值． 23. 一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 25. “十一”当天，某景区工作人员统计了上午至下午期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：） 变化的部分数据如下表所示： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 探究发现，与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． （1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全与的函数图象； （2）根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出与的函数图象，并直接写出关于的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）； （3）结合表格、图象推断，统计时间大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）； （4）当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 27. 已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E． （1）当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； （2）当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 28. 某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念．已知赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等．为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为，公园主干道所在直线为，展览馆坐标为，设美食街摊位． （1）若摊位在格点处，写出符合条件的两个摊位坐标______； （2）求y与x之间的关系式，并在图中画出美食街； （3）对于休闲广场上的某一点M，记点M到美食街上某点N的距离，与点N到展览馆的距离之和的最小值为l，若，则称点M为便利点，为了满足市民游客的露营需求，公园打算设置一片长方形的露营地，记为矩形，其中，点，，，，当露营地上的任意一点都是便利点时，直接写出a的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年初三第一学期数学学科期中练习 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是，，， 故选：． 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数”可得，然后代入求解即可． 【详解】解：由点和点关于原点对称，可知， ∴； 故选A． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，在两边加上一次项系数的一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：． 6. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 7. 如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，先根据题意可得：抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点，再结合图象与两个函数的对称轴可得答案. 【详解】解：∵抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点， ∴抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点， 如图， ∴， ∵的对称轴为直线，的对称轴为直线， ∴与关于直线对称， ∴的图象不经过第二象限； 故选：B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线的顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 11. 某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______． 【答案】y=（x-1）2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据当x≥1时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴x的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大， ∴该函数图象开口向上，对称轴直线x≤1， ∴符合该条件的二次函数的表达式可以是y=（x-1）2， 故答案为：y=（x-1）2，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 13. 某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），充分理解题意，正确列出方程是解题的关键． 设年平均增长率为，根据某工厂年生产吨某产品的成本是元，两年后，年生产吨该产品的成本是元，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意可得： ， 故答案为：． 14. 如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得到，则，由此根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为______，阴影部分的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接，利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得，得到垂直平分线，即得，得到，再证明可得，据此即可求解． 【详解】解：设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接， ∵垂直平分， ∴，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为，， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出为等边三角形是解题的关键． 16. 如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为______；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用可证得，于是可得，，根据三角形的中位线定理可证得，即是等腰三角形，利用平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可推出，于是可证得是等边三角形，易证得边长为的等边三角形的面积为，因而可得，根据三角形三边之间的关系可知，因而，当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，此时，据此即可求出面积的最大值． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 点、、分别为、、的中点， 且，且， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， 是等边三角形， 即是等边三角形， 如图，是边长为的等边三角形，是底边上的高， ， ， ， 对来说， ， 又， ， 当取得最大值时，取得最大值， 在中，， 当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值， 此时，， ， 面积的最大值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的定义，两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定，三线合一，勾股定理，三角形的面积公式，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 18. 如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵四边形的顶点都在上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等角和圆内接四边形的性质等可得出，根据等角对等边得出，根据圆周角定理可得出，最后根据等腰三角形三线合一即可得证． 【详解】略 19. 已知：如图，在中，．求作：的外接圆． 下面是小张的作法： ①如图，作的垂直平分线； ②作AC的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，长度为半径作圆． 则是的外接圆． （1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形． （2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了的内心．下面是小李的作法： 直线与交于点D，连接，交于点I，则点I是的内心． 请你补全下面证明． ∵，经过点O， ∴（ ① ）（填推理的依据）， ∴ ② （ ③ ）（填推理的依据）． ∵，，∴． ∵与交于点I，∴点I是的内心． 【答案】（1） 如图，是的外接圆． （2）垂径定理，，等弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）利用垂径定理和圆周角定理可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明．如图， ∵，经过点O， ∴（垂径定理）（填推理的依据）， ∴（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）． ∵，， ∴． ∵与交于点I， ∴点I是的内心． 故答案为：垂径定理，，等弧所对的圆周角相等． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外心和内心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 由题意可得函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，、、，将绕原点O顺时针旋转得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）． （1）在图中画出； （2）旋转到的过程中，点C经过的路径长为______； （3）先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握弧长公式、旋转的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据旋转可先标出点，，的位置，进而问题可求解； （2）由题意可得，然后根据弧长公式可进行求解； （3）根据题意结合（1）中图形可直接进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图可知：， ∴点C经过的路径长为； 故答案为； 【小问3详解】 解：点B关于原点对称的，由将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，则， 要使落在内部（不含边界），由图可知：h的取值范围为； 故答案为． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意可根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）由题意得，然后代入进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 23. 一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 24. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，所以，解得，则，如图，过点E作于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得， ， 如图，过点E作于点F，连接， 在中，， ， 解得， 在中，， ， （负值舍去）， ， 在中，， ， （负值舍去）， 的长是． 25. “十一”当天，某景区工作人员统计了上午至下午期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：） 变化的部分数据如下表所示： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 探究发现，与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． （1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全与的函数图象； （2）根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出与的函数图象，并直接写出关于的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）； （3）结合表格、图象推断，统计时间大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）； （4）当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）． 【答案】（1） 解：根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： （2） 根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，用描点法画出函数图象即可； （2）根据表中数据，用描点法画出函数图象，由表中数据可知，与之间的数量关系满足一次函数，设关于的函数关系式为，利用表中数据列出二元一次方程组，解之，即可求出、的值，于是得解； （3）设剩余人数为，则，通过表中数据计算出的值并将其列入表格，然后结合表格、图象推断即可得出答案； （4）结合表格、图象推断即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据表中数据可知，与之间的数量关系满足一次函数， 设关于的函数关系式为， 根据题意，得： ， 解得：， 关于的函数关系式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设剩余人数为， 则， 计算出的具体数据，如下表所示（最后一行）： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 剩余人数人 从表中数据可以看出，剩余人数的值以直线为对称轴，当时，剩余人数随着的增大而增大，当时，剩余人数随着的增大而减小， 结合表格、图象推断，统计时间大约为时，景区内游客人数最多， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，剩余人数， 当时，剩余人数， 结合表格、图象推断，统计时间大约为时，景区内游客人数将首次达到人，此时将首次触发人流高峰黄色预警， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，从表格获取信息，用描点法画函数图象，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数的减法运算，从函数图象获取信息等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并能从表格和图象中正确获取信息是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据配方法配成顶点式，然后问题可求解； （2）由题意可分①当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由配成顶点式可得： ， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可知，则可分： ①当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴， 要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更远， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为，即， ∴，解得：； ②当时，抛物线开口向上，要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更近， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为， 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，解得：，此时，，所以此种情况始终满足； 综上所述：当或时，都有． 27. 已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E． （1）当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； （2）当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 解：所作图形如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由轴对称的性质可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 即点E为的中点； （2） 解：（1）中的结论成立，理由如下： 在上截取一点F，使得，设与交于点O，如图所示， 由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点E为的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行作图，由题意易得是等腰直角三角形，，然后可证，进而问题可求证； （2）在上截取一点F，使得，设与交于点O，由题意可先证，然后可得，则有，进而根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念．已知赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等．为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为，公园主干道所在直线为，展览馆坐标为，设美食街摊位． （1）若摊位在格点处，写出符合条件的两个摊位坐标______； （2）求y与x之间的关系式，并在图中画出美食街； （3）对于休闲广场上的某一点M，记点M到美食街上某点N的距离，与点N到展览馆的距离之和的最小值为l，若，则称点M为便利点，为了满足市民游客的露营需求，公园打算设置一片长方形的露营地，记为矩形，其中，点，，，，当露营地上的任意一点都是便利点时，直接写出a的取值范围为______． 【答案】（1），（答案不唯一） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等，即可得到点的坐标； （2）根据美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等，可列出等式，化简整理即得y与x之间的关系式，同时求出x的取值范围，并画出图形即可； （3）设展览馆的位置为点P，则l为的最小值，即，由题意得，分两种情况讨论：矩形在y轴左侧或右侧时，根据图形的位置，结合，即可求得答案． 【小问1详解】 解：美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等， 可找到两个特殊位置：，； 故答案为：，（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等， ， 整理得：， y与x之间的关系式为； 故美食街为一条抛物线，经过描点：，，，， ，连线，得到如图所示的抛物线； 【小问3详解】 解：设展览馆的位置为点P，则l为的最小值，即， 根据题意，则， 分两种情况讨论： ①矩形在y轴左侧时，可得， 当时， ， 当时，， 解得：， ； ②矩形在y轴右侧时，可得， 当时，； 当时，， 解得：； ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数有关线段的综合性问题，图形与坐标，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，理解新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $