精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

长郡中学2024年下学期高一期中考试 数学 命题人：陈家烦､谭泽阳 审题人：毛水 审核人：陈家烦 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. B. 菱形的两条对角线相等 C. D. 一次函数的图象是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解. 【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C,是存在量词命题,故C错误， 对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确， 故选：D 3. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，图中的阴影部分表示的集合为且 【详解】∵，， ∴且. 故选：C. 4. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若函数在上单调递增，则，解得， 若函数在上单调递减，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案. 【详解】不等式的解集为， 可得是方程的根， 所以，且，解得， 由不等式可得， 由得， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，， 在上恒成立，需， ， 当且仅当，即时等号成立， . 故选：D. 7. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对数的性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位的范围，得出的值. 【详解】设，因为， 所以. 由表格可知，， 所以的最高位的数值为. 故选：D. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数是奇函数，求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围． 【详解】函数是上的奇函数，且当时，， 当时，则， 又，即，又， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 的图象如下所示： 函数在区间上单调递增， ，， 即，， ，． 故选：D． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 11. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题意得. 因为对于任意，都有， 所以对于任意，都有， 设，得在为增函数. 当时，在为减函数，不符合题意. 当时，. 所以可以为1，2，3. 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 13. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件求出k值，再由排放的污染物含量不超过的1%列出不等式求解即得. 【详解】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得， 排放污染物时，，即，解得，， 所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时. 故答案为：5 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集. 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】（1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 16. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再把代入，利用并集补集的定义求解. （2）根据交集的结果列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，或， 当时，或， 所以. 【小问2详解】 由，得，则由，得，解得， 所以的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递减.证明如下： 由（1）可知，设， 则， ， ，即， 在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解； （2） 结合函数的单调性的定义即可判断和证明； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解 【小问1详解】 由题意可知，即，得，经检验成立. 【小问2详解】 在上单调递减.证明略； 【小问3详解】 由题易知，又， 由（2）可知在上单调递减， ，解得， 不等式的解集为. 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：若，则， ， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 19. 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. （1）设数列，请写出的所有可能的结果； （2）求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由. 【答案】（1） （2）证明：因为，有 且， 所以，即每次操作后新数列仍是数列. 又因为每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列每操作一次，项数就减少一项， 所以对项的数列总共可进行次操作（最后只剩下一项）. （3），理由：由（2）可知中仅有一项. 对于满足的实数定义运算：， 下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为，且， 所以，即该运算满足交换律； 又因为， 且， 所以，即该运算满足结合律. 所以中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求： 由（1）可知； 易知 所以的其中一种结果为； 易知经过4次操作后剩下一项为. 综上可知：. 【解析】 【分析】（1）由题意可直接得到； （2）证明新增项一定是满足数列的项，就能得到每一次操作增加一项减少二项合计一次操作减少一项，所以得出总共的操作次数； （3）通过定义验证的结果与操作过程无关，所以最后结果就是任意两个元素进行计算，最后得出的一个数即为的结果. 【小问1详解】 （1）有如下的三种可能结果： ，所以. ，， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2024年下学期高一期中考试 数学 命题人：陈家烦､谭泽阳 审题人：毛水 审核人：陈家烦 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. B. 菱形的两条对角线相等 C. D. 一次函数的图象是直线 3. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A. B. C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 13. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算； （2）若，求的值. 16. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式. 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 19. 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. （1）设数列，请写出的所有可能的结果； （2）求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； （3）设数列，求的可能结果，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $