精品解析：云南省迪庆藏族自治州藏文中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

迪庆州藏文中学2024—2025学年度高二期中考试数学 考试时间：150分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是 A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 5. 已知弧长为弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 6. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、多选题（每小题6分，共18分，不止一个正确答案，多选不得分，少选得部分分） 9. 已知样本数据90，100，95，110，105，则（ ） A. 极差20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97 10. 复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 11. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. 点关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量与夹角为，且，，则_____. 13. 计算______. 14. 已知，且，则的最小值是__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 16. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，且面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面，，E是PC的中点. （1）求证：平面； （2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值. 18. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 19. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”. （1）判断事件，是否相互独立； （2）求事件，至少一个发生的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 迪庆州藏文中学2024—2025学年度高二期中考试数学 考试时间：150分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集运算可得. 【详解】解不等式得，即， 又，所以. 故选：A 2. 已知，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 3. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】向上的两个数之和为3的有1+2,2+1两种情况，两个骰子一共有36种． 【详解】向上的两个数之和为3的有1+2,2+1两种情况，两个骰子一共有36种，故“向上的两个数之和为3”的概率是，故选D． 【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题，事件发生总数除以基本事件总数． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出扇形所在圆半径，即可求出扇形面积. 【详解】由弧长为的弧所对的圆心角为，得扇形所在圆半径， 所以扇形面积为. 故选：D 6. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解. 【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件， 故，故， 故选：D 7. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】 = 故选：A. 8. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分，不止一个正确答案，多选不得分，少选得部分分） 9. 已知样本数据90，100，95，110，105，则（ ） A. 极差为20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，平均数，方差，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可得样本数据的极差为，故A正确； 平均数为，故B错误； 方差为，故C正确； 将样本数据从小到大排列为90，95，100，105，110，因为，所以分位数为，故D错. 故选：AC 10. 复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接根据复数的概念及模的计算得答案. 【详解】因为， 所以实部为2，虚部为3，，. 故选：ACD. 11. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. 点关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算计算判断A．由对称点的性质判断B，由向量的数量积是否为0判断C，由向量平行的坐标表示求参判断D， 【详解】由题意，A正确； 关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错， 若，则，所以，C正确； 若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，且，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】 首先计算，再根据数量积的公式转化为关于的一元二次方程求解. 【详解】，， ，向量与的夹角为， ，即， 整理为， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查向量数量积公式，模的计算，重点考查计算能力，属于基础题型. 13. 计算______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数运算公式化简原式，即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：4 14. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据周期公式即可得到答案； （2）根据正弦函数性质得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 函数的最小正周期； 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 16. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解， （2）由面积公式可得，即可由余弦定理求解，进而求解周长. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 又，所以， 因为为锐角三角形，故． 【小问2详解】 面积为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，所以，即，所以， 所以的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面，，E是PC的中点. （1）求证：平面； （2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 连接AC，交BD于点O，连接OE， 在中，点E是PC中点，点O是AC的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则，， 设平面EDB的法向量，则， 令，可得，，所以平面EDB的法向量， 又由平面PAD的一个法向量为， 设平面EDB和平面PAD的夹角为，则， 所以平面EDB和平面PAD的夹角的余弦值为. 18. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【答案】（1）众数为65，中位数为65 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可； （2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【小问1详解】 由题图可知众数为65， 因为的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为； 所以设中位数为，则，解得，所以中位数为； 【小问2详解】 按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，则分别抽取了3人，2人，1人. 设这6人分别为，，，，，. 再从其中抽取2人，这一共有，，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况. 两人都有，，三种情况， 则求这两人都是在的概率为. 19. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”. （1）判断事件，是否相互独立； （2）求事件，至少一个发生的概率. 【答案】（1）事件，相互独立 （2） 【解析】 【分析】（1）求出基本事件总数，分别求得事件，事件发生所包含的基本事件数，进而计算可，可得结论； （2）法一：根据计算即可；法二：利用对立事件的概率公式可求结论. 【小问1详解】 由题意可得相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555，基本事件总数为8个， 能被3整除的数有111，555共2个，故事件包含的基本事件数为2， 能被5整除的数有115，155，515，555共4个，故事件包含的基本事件数为4， 所以包含的基本事件数为1. ，，，则， 事件与事件相互独立； 【小问2详解】 法一：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 法二：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$