精品解析：四川省广安友谊中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

广安友谊中学2023年秋高一期中考试 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共60分） 一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 3. 若，则 A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A B. C. D. 5. 友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作. A. B. C. D. 6. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列各组中表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 命题“成立”为真命题的必要不充分条件（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是在上的减函数，则实数的取值可以是（ ） A 4 B. 5 C. D. 7 12. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 第II卷（非选择题，共90分） 三､填空题（共4题，每小题5分，共20分.） 13. 已知集合，若，则实数的值为______． 14. ______. 15. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点__________. 16. 已知中有且仅有一个元素，则最小值为___. 四､解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合,集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数. （1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若__________，，求实数的取值范围. 20. 近年来我国实行高考制度改革，采取3+1+2选科模式，这种模式一个显著变化就是学生高考成绩计算方法发生了变化.总成绩满分750分，其中语文、数学、外语满分均为150分，以原始分形式计入总分；历史、物理满分100分，以原始分计入总分；思想政治、地理、化学、生物满分均为100分，考虑到不同再选科目的试题难度、选考学生群体均有不同，为了体现科学性与公平性，需将不同科目的原始分按照一定规则进行转化得到等级转化分，按转换后的赋分成绩计入总成绩，由此体现考生成绩在某个选考科目中所处位序.目前最为普遍的赋分制为五等级赋分制，以30分为赋分起点，等级转化满分100分，将考生原始成绩从高到低划分A、B、C、D、E五个等级，各占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，将五个等级原始分依照等级赋分规则分别转换到100－86、85－71、70－56、55－41、40－30分5个分数区间，如表1.设原始分为x（单位：分），等级赋分为y（单位：分），则y是x的函数，且等级赋分规则符合一次函数模型.（最终赋分结果四舍五入保留为整数） 五等级赋分制表1 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100－86 85－71 70－56 55－41 40－30 （1）假设政治学科A等级中原始分最高分为98，最低分为78，则按照等级赋分规则将98赋成100，78赋成86.求等级赋分y关于x的函数关系式，并计算当时y的值. （2）某两位同学再选科目均为生物，原始分分别为92与94，位次在所有选考生物考生中都排在20%，属于B等级.该区间考生原始分最高分95，最低分90，求这两位同学高考成绩单上成绩（即等级赋分），并比较这两位同学的原始分差与最终高考成绩单上分差的差异. （3）由（1）、（2）所得结果谈谈你对赋分制的认识. 21. 已知函数定义域为. （1）根据单调性的定义，证明在上是增函数； （2）若函数对都满足且是上的减函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数 （1）若在有意义且不单调，求的取值范围. （2）若非空集合，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广安友谊中学2023年秋高一期中考试 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共60分） 一､选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】因为集合，，， 所以=， 所以. 故选：C. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，使”的否定是： ，使. 故选：C 3. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：结合二次函数的性质，可知函数在区间上是减函数，故有，所以A不正确，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个小于零的数或式子，不等号的方向需要改变，所以有，所以B不正确，根据底数是大于零小于一的指数函数是减函数，有，所以C不正确，因为同号且不相等，所以且，根据基本不等式，可知D是正确的，故选D． 考点：不等式的性质． 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 由解得. 故选：A 5. 友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出时的函数解析式，然后解不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，过点， 则，解得，所以， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低， 由，解得， 又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 故选：. 6. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数值域的求解方法求解. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以，故，过于，故D错误. 故选：B 7. 已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是 故选：C 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 二､多选题（共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列各组中表示同一函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足：定义域相同，化简后对应法则相同，对选项逐一分析即可. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为，，所以A符合题意； B选项的定义域均为，，故B选项符合题意； C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以C错误； D选项，的定义域均为，，，，所以D符合题意. 故选：ABD 10. 命题“成立”为真命题的必要不充分条件（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出成立的充要条件，再根据必要不充分条件逐一判断即可. 【详解】解：因为成立， 当时，则有，满足题意； 当时，则有，解得， 综上，. 对于A，因为，不满足题意； 对于B，因为，满足题意； 对于C，因为，满足题意； 对于D，因为，不满足题意. 故选：BC. 11. 已知函数是在上的减函数，则实数的取值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7 【答案】AB 【解析】 【分析】分段函数在上单调递减，函数在函数和均单调递减，且，得的范围即可. 【详解】解：因为函数是在上的减函数， 所以，解之得，所以的取值可以是4，5. 故选：AB. 12. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得 ，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性. 【详解】令，由是奇函数， 则， 即，图像关于对称. 令，由是偶函数， 则， 即，图像关于直线对称. A选项，令，可得， 又令，可得.故A正确； B选项，由，令，可得，故B错误； C选项，由，令，可得，.故C正确. D选项，由在上单调递减，结合图像关于对称， 则在上单调递减，即在上单调递减， 又图像关于直线对称， 则在上单调递增.故D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论. 为定义在R上函数，若为奇函数，则， 图像关于对称；若为偶函数，则， 图像关于对称. 第II卷（非选择题，共90分） 三､填空题（共4题，每小题5分，共20分.） 13. 已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果. 【详解】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去； 当，即（舍）或，此时，集合满足题意. 综上所述，实数的值为. 故答案为：. 14. ______. 【答案】##8.5 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质即可得到结果. 【详解】 . 故答案为： 15. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点. 【详解】由幂函数在上单调递增可知： ，解得， 则，此时当时，， 所以则的图象过定点， 故答案为：. 16. 已知中有且仅有一个元素，则的最小值为___. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得M的最小值. 【详解】当时，，，不符合题意； 当时，由中有且仅有一个元素， 可得，且，则， 则 令，则，， 则 （当且仅当，即时等号成立） 则的最小值为. 故答案为： 四､解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合,集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法和集合的交集定义即可求得； （2）由题设可得两个集合的包含关系，对于含参的不等式一般先考虑空集情况，再借助于数轴即得参数范围. 【小问1详解】 当时, ,集合中，由可得，则， 故. 【小问2详解】 由可得，即，则有， 解得，即实数的取值范围是. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1）图象见解析，函数的单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间； （2）利用函数是偶函数，求函数的解析式； （3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值. 【小问1详解】 单调递增区间为. 【小问2详解】 设，则 ，所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当 时，. 故的解析式为 【小问3详解】 因为有个不相等的实数根， 等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知， 当时，与的图象有个交点， 所以. 19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数. （1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若__________，，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）若选①，则有在上恒成立，根据二次函数的性质，求解函数的最小值即可； 若选②，则有在上成立，由二次函数的性质，求解函数的最大值即可. 【小问1详解】 解：当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ； 【小问2详解】 解：选条件① 由题意，得. 若，即， 则函数在区间上单调递增， ，解得， 又 若，即， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 解得. 若，即， 则函数在区间上单调递减， ， 解得，又. 综上所述，实数的取值范围为. 选条件②. ， ， 函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得. 或，解得或， . 故实数的取值范围为. 20. 近年来我国实行高考制度改革，采取3+1+2选科模式，这种模式一个显著变化就是学生高考成绩计算方法发生了变化.总成绩满分750分，其中语文、数学、外语满分均为150分，以原始分形式计入总分；历史、物理满分100分，以原始分计入总分；思想政治、地理、化学、生物满分均为100分，考虑到不同再选科目的试题难度、选考学生群体均有不同，为了体现科学性与公平性，需将不同科目的原始分按照一定规则进行转化得到等级转化分，按转换后的赋分成绩计入总成绩，由此体现考生成绩在某个选考科目中所处位序.目前最为普遍的赋分制为五等级赋分制，以30分为赋分起点，等级转化满分100分，将考生原始成绩从高到低划分A、B、C、D、E五个等级，各占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，将五个等级原始分依照等级赋分规则分别转换到100－86、85－71、70－56、55－41、40－30分5个分数区间，如表1.设原始分为x（单位：分），等级赋分为y（单位：分），则y是x的函数，且等级赋分规则符合一次函数模型.（最终赋分结果四舍五入保留为整数） 五等级赋分制表1 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100－86 85－71 70－56 55－41 40－30 （1）假设政治学科A等级中原始分最高分为98，最低分为78，则按照等级赋分规则将98赋成100，78赋成86.求等级赋分y关于x的函数关系式，并计算当时y的值. （2）某两位同学再选科目均为生物，原始分分别为92与94，位次在所有选考生物考生中都排在20%，属于B等级.该区间考生原始分最高分95，最低分90，求这两位同学高考成绩单上的成绩（即等级赋分），并比较这两位同学的原始分差与最终高考成绩单上分差的差异. （3）由（1）、（2）所得结果谈谈你对赋分制的认识. 【答案】（1），96 （2）原始分差为2分，赋分后高考成绩分差为5分，分差变大了 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设，将，代入即可得到函数关系式，然后计算当时y的值； （2）设生物等级赋分为，将，代入即可得到函数关系式，然后分别计算当与结果，并比较结果，即可得出结论； （3）由（1）、（2）所得结果对赋分制进行分析. 【小问1详解】 设政治等级赋分关于的函数关系式为， 则解得， 所以 当时，； 【小问2详解】 设生物等级赋分关于的函数关系为， 则，解得， 所以 当时，； 当时，； 原始分差为分，赋分后高考成绩分差为分，分差变大了. 【小问3详解】 （1）原始分高则赋分更高； （2）不同学科原始分相同，但赋分后差别会很大.比如该题中政治生物原始分都为92，但是最终成绩政治为96，而生物为82分. （3）相同学科原始分区间段分数密集，原始分差较小，但赋分后分差增大. （4）原始分高，可能赋分结果低于原始分，原始分低，赋分结果可能高于原始分，要看原始分属于哪个等级，虽然分数变化了，但是保持在同科所有考生中的位次不变. 等等，言之有理即可. 21. 已知函数的定义域为. （1）根据单调性的定义，证明在上是增函数； （2）若函数对都满足且是上的减函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用增函数定义即可证得在上是增函数； （2）利用奇函数为上的减函数，将题给不等式转化为关于实数的不等式，再利用在上是增函数，进而求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设，且， 则， 由于且， 所以， 所以， 则有， 即，所以在上是增函数； 【小问2详解】 因为函数满足且定义域为， 所以是上的奇函数， 因为，所以， 则，由于函数是上的减函数， 所以， 又，所以， 即在上恒成立， 由（1）可知在上是增函数， 所以， 即的取值范围为. 22. 已知函数 （1）若在有意义且不单调，求的取值范围. （2）若非空集合，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上非负，列出关于a的不等式，计算得到答案. （2）设为方程的两个根，计算，得到，计算得到答案. 【小问1详解】 当时，，由题知，的对称轴在之间，且在上非负， 则解得 【小问2详解】 因为，，故，设为方程两个根，结合图像可知： ， 由，故有与等解，得且， 由得，所以， 因为，解得或， 又为方程的两个根，即， 由韦达定理知：， 又，所以 ∴，解得， 综上可知：的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题考查利用二次函数的性质，利用集合相等求参数，解题的关键是要利用数形结合思想，将转化成，再利用集合，构造成函数的值域关系，列出关于的不等式，考查学生的转化与化归能力，数形结合思想与运算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$