专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长； （2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）在比例尺为1：30 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.8cm，求：甲、乙两地的实际距离是多少千米？（用科学记数法精确到0.1） 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）把ad＝bc写成比例式，不正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·课后作业）若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是 .（填写所有正确的序号） 3．（2024九年级上·全国·专题练习）判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；　　 （2）a＝2，b＝，c＝，d＝． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 1．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 ， 求下列各式的值： (1) (2)． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 1．（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 3．（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 3．（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】 （23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知四个数，，，成比例的线段，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知四条线段a、b、c、d满足，则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（　　） A．（）m B．（）m C．（）m D．（）m 5．（23-24九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第个黄金三角形的腰长是（     ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，则PB∶AB= ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 9．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 10．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 11．（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知，且，求的值． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，． （1）求AD的长； （2）试问能成立吗？请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知线段，，且 (1)求的值． (2)若线段，，满足，求，，的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 15．（2024·广西·模拟预测）【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解． 【详解】解：当是最长线段时，则有， ∴，不符合题意，舍去； 当是最长线段时，则有， ∴，符合题意； 故选：B ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，故选项A中的线段成比例； B．∵，故选项B中的线段成比例； C．∵，故选项C中的线段不成比例； D．∵，故选项D中的线段成比例； 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长； （2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值． 【答案】(1)4;(2)-4 【分析】（1）根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入进行计算即可； （2）设=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入a+b-5c=15，求出k的值，从而得出c的值． 【详解】（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴c=4； （2）设=k，则a=2k，b=3k，c=4k， ∵a+b-5c=15 ∴2k+3k-20k=15 解得：k=-1 ∴c=-4． 【点睛】此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 【答案】500 【分析】设A，B两地间的实际距离为，根据比例尺为的地图上，测得A，B两地间的图上距离为，得：，求出x再转换单位即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离为， 根据题意列方程得，， 解得， ， ∴A、B两地的实际距离为500米， 故答案为：500． 【点睛】本题考查了比例线段，比较简单，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）在比例尺为1：30 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.8cm，求：甲、乙两地的实际距离是多少千米？（用科学记数法精确到0.1） 【答案】1.1×103千米 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可． 【详解】解：甲、乙两地的实际距离=3.8×30 000 000=114 000 000（m）=1 140（km）≈1.1×103（km）． 答：甲、乙两地的实际距离约为1.1×103千米 【点睛】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，解答本题的关键是单位的换算． 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）把ad＝bc写成比例式，不正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，对选项一一分析，得出正确答案． 【详解】解：A．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意； B．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意； C．⇒ab=dc，故此选项错误，符合题意； D．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入各个选项即可求解． 【详解】解：由可设， ∴A、，正确，故不符合题意； B、，原结果错误，故符合题意； C、，原结果正确，故不符合题意； D、，正确，故不符合题意； 故选B． 2．（23-24九年级·全国·课后作业）若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是 .（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据等比性质判断即可. 【详解】解：由比例的性质易知①正确； 由已知得，再由等比性质可知②④正确； ， 故③是错误的. 【点睛】本题考查了等比性质的灵活应用，其中由已知式变形得到是判断的关键. 3．（2024九年级上·全国·专题练习）判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；　　 （2）a＝2，b＝，c＝，d＝． 【答案】（1）不是；（2）是 【分析】（1）利用已知数据可得到a：b=c：d，然后根据比例线段的定义进行判断； （2）利用已知数据可得到a：b=c：d，然后根据比例线段的定义进行判断． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴线段a、b、c、d不是成比例线段． （2）∵，， ∴， ∴线段a、b、c、d是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据 ，可以得到，代入即可求解； 【详解】解：∵， ， 故选：B． 【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想． 1．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况：①当时，，求出；②当时，根据比例的性质，可求出，再得出答案即可． 【详解】解：分两种情况：①当时，， 所以； ②当时， ， ∴ ， 所以k的值为2或， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 即， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据比例的性值计算即可； 【详解】∵， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 ， 求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据两内项之积等于两外项之积得出，再代入进行计算，即可得出答案； （）根据两内项之积等于两外项之积得出 ，再代入进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据给出的式子得出． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 1．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴．故选． 2．（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 【答案】z>y>x 【详解】设 = = =k（k≠0）， ∴a=2k，b=7k，c=5k， ∴x=== ， y= = =1， z= ==2， ∴z>y>x. 3．（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【详解】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：=； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】 （23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①，设，代入A、B、C，进行计算即可判断； ②根据得，分和两种情况求解即可； ③当时，代入A、B、C，可得，根据b是方程④的一个实根得，进行即可判断； ④根据a，b，c为正整数，且得，即可判断； 【详解】解：①，设， ∴， 即， 故①正确； ②∵， ∴， 若，即， 则， 若， 则， 即A的值为或， 故②不正确； ③当时，，，， ∴， ∵b是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ④∵a，b，c为正整数，且， ∴， ∴， 故④正确； 综上，①④正确，正确的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 设，进而得出，再进行分类讨论进行化简求值即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则，即； 故答案为：或8． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段． 【详解】根据题意得： 当是较长线段时，， ∵， ∴， 当是较短线段时，， ∵， ∴， 故选：D． 1．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点，点是线段的黄金分割点，米， ∴米， 米， ∴米． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 分析：如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，． 解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得____________________（列方程）． 解得__________，__________（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为__________m． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查黄金分割，如图，雕像的上部高度与下部高度应有如下关系：，即，，代入数据计算即可． 【详解】解：设雕像下部高度，则雕像的上部高度． 根据题意，得（列方程）． 解得，（负数舍去）． 答：雕像的下部应设计的高度为m． 故答案为：；，， 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，根据黄金比值列式计算即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知四个数，，，成比例的线段，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例线段的定义得到，然后根据比例性质求m即可． 【详解】根据题意得， 所以， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知四条线段a、b、c、d满足，则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由已知，可得，故本选项不符合题意； B、由已知，可得，故本选项不符合题意； C、由已知，可得，故本选项不符合题意； D、由已知，可得，那么，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例的性质灵活对一个比例式进行变形是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（　　） A．（）m B．（）m C．（）m D．（）m 【答案】A 【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为xm，则上部高度是m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得x1或x1（舍去）， 经检验，x1是原方程的解， ∴x1， 故选：A． 【点睛】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 5．（23-24九年级上·湖南怀化·阶段练习）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第个黄金三角形的腰长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金三角形的定义得，同理是第二个黄金三角形，看作第三个黄金三角形，则，得出规律，即可得出结论． 【详解】，，是第一个黄金三角形， 底边与腰之比等于， 即， ， 同理：是第二个黄金三角形，是第三个黄金三角形， 则， 即第一个黄金三角形的腰长为， 第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为， 第三个黄金三角形的腰长为，， 第2024个黄金三角形的腰长是， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，可知，进而得进而可求； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的性质，正确变换分式是解题的关键． 7．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，则PB∶AB= ． 【答案】3∶5（或） 【分析】根据比例的性质直接求解即可． 【详解】解：由题意AP:PB=2:3， ∴PB :AB = PB :(AP+PB)=3:(2+3)=3:5； 故答案是：3:5（或）． 【点睛】本题主要考查比例问题，关键是根据比例的性质解答． 8．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，首先设，由线段，可求得的值，又由是，的比例中项，列方程即可求得线段的长． 【详解】解：∵，点C在线段上， ∴设，则， ∵是，的比例中项， ∴， 即， 整理得 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 【答案】250 【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 厘米=千米 答：两地间的实际距离是km． 故答案为：． 【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 10．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知，且，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，． （1）求AD的长； （2）试问能成立吗？请说明理由． 【答案】(1)AD=；(2)能，理由见解析. 【分析】（1）设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，根据比例式列出方程求得x的值，即可得AD的长； （2）根据所求得的数据计算即可得结论. 【详解】解：（1）)设AD=x,则BD=AB-AD=（12-x）cm， ∵，AE＝6，EC＝4， ∴x：（12-x）=6：4， 解得x=， ∴AD=； （2）能，理由如下： ∵AB＝12，AD＝， ∴DB＝. ∴， ∵AE＝6，EC＝4， ∴AC=10 ∴， ∴. 13．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知线段，，且 (1)求的值． (2)若线段，，满足，求，，的值． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】（1）设，则，，，进而代入求解即可； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则，，， ∴； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 15．（2024·广西·模拟预测）【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【答案】(1) (2)菱形；理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断． （4）根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ， 又两个矩形相等，， ． （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形． （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ， 故四边形为黄金矩形． （4）解：选其中一种写理由均可 四边形是黄金矩形的，理由如下： ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， 或者四边形是黄金矩形的理由如下： ， 故四边形为黄金矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$