3.1 比例线段（7大题型提分练）数学湘教版九年级上册

3.1 比例线段 题型一 比例的基本性质 1、若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2、如果，且a、b、c、d都不为0，那么下列比例式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3、已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 4、已知比例，则的值为 ． 题型二 比例的合比性质 5、若   ，则 ． 6．已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 7、若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 8、已知，则的值是 ． 题型三 比例的等比性质 9、如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 10、已知，则（    ） A． B． C． D． 11．在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 12、已知，且，若，则 ． 13、若，则 ． 题型四 比例性质中的设k法 14、如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 15．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 16、已知，则 ． 题型五 判断成比例线段 17、下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 18．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 19、下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 题型六 已知成比例线段求比例中的项 20、点在线段上，若  ，则 ． 21、若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 22、如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 23、已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 24、已知三条线段的长分别是，，，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为 ． 题型七 已知黄金分割求相关线段的长度 25、已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 26、已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 27、已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ． 28、主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 29、电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 30、如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 31、阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 32、已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 33、阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 比例线段 题型一 比例的基本性质 1、若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解∶A．由得，故本选项不符合题意； B．由得，故本选项符合题意； C．由得，故本选项不符合题意； D．由得，故本选项不符合题意； 故选∶B． 2、如果，且a、b、c、d都不为0，那么下列比例式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据内项积=外项积对各个选项检验即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴和，故选项A、B正确，不符合题意； ，故选项D不正确，符合题意； ∵，，且， ∴；故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 3、已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由可得，再代入要求值的分式中，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4、已知比例，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 题型二 比例的合比性质 5、若   ，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设（），则， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 7、若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．利用设k法进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故选：C． 8、已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型三 比例的等比性质 9、如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 10、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 11．在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又的周长是，即， ∴， 即的周长是， 故答案为：． 12、已知，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由可得，，，再根据可得，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13、若，则 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是比例的基本性质，分两种情况讨论：当，当，再进行计算即可．掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【详解】解：若，则，，， 即： 则，此时，， 若，则， ∴或2． 故答案为：或2． 题型四 比例性质中的设k法 14、如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设， ， ∴． 故选：B． 15．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 16、已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键． 设，利用等比性质和等式的性质化简，可得，，再代入要求得式子计算即可． 【详解】解：设， 则， ，， ∴， 故答案为：4． 题型五 判断成比例线段 17、下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 18．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴A不符合题意； ∵， ∴B不符合题意； ∵， ∴C不符合题意； ∵， ∴D符合题意； 故选D． 19、下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型六 已知成比例线段求比例中的项 20、点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 21、若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 22、如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】利用比例中项的定义得到，然后利用比例的性质求的值．本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：B 23、已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 24、已知三条线段的长分别是，，，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 设添加的线段的长度为x，然后根据成比例线段分类讨论即可求解． 【详解】解：设添加的线段的长度为， ①当时，时，解得； ②当时，，解得， 经检验，是该分式方程的解； ③当时，，解得（舍去）； ④当时，时，解得， 经检验，是该分式方程的解． 综上，所添线段的长度可为或或． 故答案为：或或 题型七 已知黄金分割求相关线段的长度 25、已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴选项C是正确的，其他选项都无法得到． 故选：C． 26、已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 27、已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的定义及求线段长，根据题意，作出图形，由黄金分割点的定义列式代值求解即可得动答案，熟练掌握黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由，如图所示： 是线段的黄金分割点， ， ，设， ，即， 解得或（舍去）， 故答案为：． 28、主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 29、电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况进行计算是解题的关键． 设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置， 分两种情况： 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：主持人应走到离点7.6或12.4米，就处在比较得体的位置， 故答案为：7.6或12.4． 30、如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 【详解】解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 31、阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 32、已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 33、阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴，，， ∴，即， ∴点P是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$