精品解析：辽宁省大连市第九中学2024--2025学年上学期八年级期中数学试卷

九中教育集团2024－2025学年度第一学期八年级阶段练习（3） （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（　　） A. 1 B. 0 C. D. 2. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 点 A (2，-1)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为（ ） A. (2, 1) B. (-2，1) C. (2，-1) D. (-2，- 1) 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，且点恰好落在线段上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知：，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两段的距离．如果，则池塘两段的距离为________． 12. 是等腰三角形，，则______°． 13. 如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为_________． 14. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________． 15. 如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则_____． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16 计算： （1） （2） 17. 如图，已知与直线（直线上各点的纵坐标都为），，，． （1）在网格中画出与关于直线对称的； （2）写出点，，的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； （3）观察图形三组对应点的坐标变化规律，若的边上有一点，则在中的对应点的坐标为_____．（用，表示） 18 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 19. 如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交延长线于，交延长线于，延长至，试说明，，之间的数量关系． 20. 在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且． 在等边中，点E是上的动点，点E与点A、B不重合，点D在的延 （1）如图1，若点是的中点，求证：； （2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明． 21. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 22. 如图，△ABC在平面直角坐标系中，点B是x轴负半轴上的一个动点，∠BAC=90°，AB=AC，A的坐标是(0，2)，B的坐标是(m，0)． （1）如图1所示，若点C在x轴上，则点m的值是________； （2）如图2，当点B在x轴上移动时，AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E． ①小明发现点C横坐标始终不变，证明小明发现的结论； ②若点D是AC的中点时，请求出点E的坐标． 23. △ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC. D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G． （1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段． （2）当点D为线段BC中点时，连接DF ．求证：∠BDF＝∠CDE． （3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九中教育集团2024－2025学年度第一学期八年级阶段练习（3） （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（　　） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的运算，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则即可． 【详解】解： 故选：A． 2. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，先根据，，算出，结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 3. 点 A (2，-1)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为（ ） A. (2, 1) B. (-2，1) C. (2，-1) D. (-2，- 1) 【答案】D 【解析】 【分析】根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得． 【详解】解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 则点关于轴对称的点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据项式乘以单项式，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则进行计算即可求解． 详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，，且点恰好落在线段上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意可得，，根据三角形内角和定理求出进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 如图，，，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件证明，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 7. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 8. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 9. 已知：，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质，过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两段的距离．如果，则池塘两段的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理证明，根据全等三角形的性质可结果． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起． 12. 是等腰三角形，，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】先判断出是顶角，再根据等腰三角形和三角形内角和性质，即可得到． 【详解】解：是等腰三角形，， 只能是顶角 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形和三角形内角和的性质，判断出是三角形的顶角，是解答此题的关键． 13. 如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：需要添加的条件为， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据整式的除法运算即可求出答案． 【详解】解：宽为． 故答案为：. 【点睛】本题考查整式的除法运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算法则，本题属于基础题型． 15. 如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解∶∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 故答案为∶3． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． （1）先利用同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算，然后合并解题即可； （2）利用单项式乘以多项式、平方差公式计算，然后合并解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 如图，已知与直线（直线上各点纵坐标都为），，，． （1）在网格中画出与关于直线对称的； （2）写出点，，的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； （3）观察图形的三组对应点的坐标变化规律，若的边上有一点，则在中的对应点的坐标为_____．（用，表示） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可. （2）由图可得答案. （3）由题意可得, 点)在中的对应点的坐标为 本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 如图, 即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得， , 故答案为： ； 【小问3详解】 解：由题意得, 点在中的对应点的坐标为, 故答案为：． 18. 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结即可； （2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长= ． 【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 19. 如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交延长线于，交延长线于，延长至，试说明，，之间的数量关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，证明和是等腰三角形是本题的关键． 根据角平分线的性质和平行线的性质，可以证明和是等腰三角形，从而证得和， 进而求得， ， 之间的数量关系． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且． 在等边中，点E是上的动点，点E与点A、B不重合，点D在的延 （1）如图1，若点是的中点，求证：； （2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，， 再根据， 得出， 再证出， 得出， 从而证出； （2）作辅助线得出等边三角形， 得出，再证明三角形全等，得出，证出． 【小问1详解】 证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 过点作交于点，如图所示： ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 即， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 【答案】（1）二； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，新定义问题，给赋予特殊值是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义即可解答； （2）根据特征多项式定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； （3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案； 【小问1详解】 解：关于的一次多项式的特征系数对为，在第二象限， 关于的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：二；； 小问2详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，； 【小问3详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 22. 如图，△ABC在平面直角坐标系中，点B是x轴负半轴上的一个动点，∠BAC=90°，AB=AC，A的坐标是(0，2)，B的坐标是(m，0)． （1）如图1所示，若点C在x轴上，则点m的值是________； （2）如图2，当点B在x轴上移动时，AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E． ①小明发现点C的横坐标始终不变，证明小明发现的结论； ②若点D是AC的中点时，请求出点E的坐标． 【答案】（1）-2；（2）①见解析；②点E的坐标为(0，-)． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC，即可求解； （2）①过点C作CM⊥y轴，利用AAS证明ΔABO≅ΔCAM，推出AO=CM=2，即可证明点C的横坐标为2； ②过点C作CN⊥x轴，利用AAS证明ΔAOD≅ΔCND，求得点C(2，−2)，利用面积法求得AE=，即可求得点E坐标． 【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AO⊥BC， ∴OA=OB=OC， ∵A的坐标是(0，2)，B的坐标是(m，0)， ∴OA=OB=OC=2， 又点B是x轴负半轴上， ∴m=-2， 故答案为：-2； （2）①过点C作CM⊥y轴，如图： ∵∠BAC=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在ΔABO和ΔCAM中，， ∴ΔABO≅ΔCAM(AAS)， ∴AO=CM=2， ∴点C的横坐标为2，始终不变； ②再过点C作CN⊥x轴于N， 在ΔAOD和ΔCND中，， ∴ΔAOD≅ΔCND(AAS)， ∴CN=AO=2， ∴点C(2，−2)， 由①得，AM=BO=4， ∴B(−4，0)， ∴AB=， ∴SΔABC=AB2=10， 又SΔABC=AE(BO+CM)=10， ∴AE=，OE=−2=， ∴点E的坐标为(0，-)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. △ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC. D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G． （1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段． （2）当点D为线段BC中点时，连接DF ．求证：∠BDF＝∠CDE． （3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系． 【答案】（1）.（2）证明过程见解答.（3）. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据ASA证明△CBG≌△ACD，得BG=DC； （2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再证明△BDF≌△BGF得出结论； （3）如图3，作辅助线，分别证明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出结论． 【详解】解：（1）BG=DC，理由是： 如图1，∵∠ACB=90°， ∴∠BCG+∠GCA=90°， ∵CF⊥AD， ∴∠CEA=90°， ∴∠GCA+∠CAD=90°， ∴∠BCG=∠CAD， ∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC， ∴△CBG≌△ACD（ASA）， ∴BG=DC； （2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD， ∴∠CDE=∠G， ∵D是BC的中点， ∴BD=DC， ∵BG=DC， ∴BG=BD， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CBA=45°， ∵∠CBG=90°， ∴∠GBA=45°， ∴∠GBA=∠CBA=45°， ∵BF=BF， ∴△BDF≌△BGF（SAS）， ∴∠BDF=∠G， ∴∠BDF=∠CDE； （3）AD=2DE+2CE，理由是： 如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BCM=∠ACM=45°， ∵点C和点F关于直线AD成轴对称， ∴AD是CF的中垂线， ∴CE=EF，CD=DF，AC=AF， ∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD， ∴∠DFA=∠ACB=90°， ∵∠CBA=45°， ∴△DBF是等腰直角三角形， ∴BF=DF， ∴BF=DF=CD， ∵AC=AF，∠BAC=45°， ∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°， ∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°， ∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°， ∴∠ECN=∠BCG， ∴△DCE≌△NCE， ∴DC=CN，DE=EN， ∴CN=BF， ∵∠CAD=∠BCG=22.5°， ∵AC=BC， ∴△ACN≌△CBF， ∴CF=AN=2CE， ∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE． 【点睛】本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定，根据全等三角形的对应边相等和对应角相等解决问题，对于线段的和的问题，也是利用全等三角形将边平移到同一条直线上，得也相应的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$