精品解析：江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省常熟市高二上学期期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 4. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 6. 等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 不能确定 7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 11. 如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线和直线垂直，则实数m的值为__________. 13. 已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 14. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点的坐标为，直线的方程为，求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于点的对称直线的方程． 16. 已知数列和数列，为数列的前项和，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和 17. 已知圆C过两点，，圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程； （3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 （1）求数列的和公比； （2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省常熟市高二上学期期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角，， 因为直线，所以直线的斜率为1， 所以， 所以倾斜角为. 故选：. 2. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 则，因为， 所以，解得， 所以. 故选：B 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 4. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用代入法，求出数列的若干项，发现具有周期性，根据周期进行求解即可. 【详解】由题意知，，当时，； 当时，；当时，； 当时，；…， 所以数列是周期为3的周期数列，故． 故选：B 5. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于和直线平行， 所以，解得， 故选：A 6. 等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式可得为定值，结合等差数列的通项公式转化，列出关系式即可求解. 【详解】因为， 当为定值时，即为定值，即为定值， ， 所以，解得 故选：B. 7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误； 对于B，判断两圆的位置关系即可； 对于C，可判断点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围； 对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则， 点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， ， ，即， ， 的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，而，故根据这两个递推关系可求，再求出，逐项判断后可得正确的选项． 【详解】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，其中， 故． 而，∴， 故， 而也符合该式，故， 此时，，故不是等比数列，故A错误． 而，故D正确． 而，故，故B正确． 对任意给定的正数，当时，必有，故C错误． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线和直线垂直，则实数m的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的充要条件得，解方程即可得答案； 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得 故答案为： 13. 已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______． 【答案】440 【解析】 【分析】由题意求得数列的每一项，及前项和，及项数，由题意可知：为2的整数幂．只需将消去即可，分别分别即可求得的值. 【详解】解：由题意可知：第一项，第二项，第三项，，第项， 根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，， 总共的项数为， 所有项数的和为， 由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可， 则①，解得：，总共有，不满足， ②，解得：，总共有，不满足， ③，解得：，总共有，不满足， ④，解得：，总共有，满足， 该款软件的激活码440． 故答案为：440. 【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查计算能力及数据分析能力，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点的坐标为，直线的方程为，求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于点的对称直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【小问1详解】 设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 16. 已知数列和数列，为数列的前项和，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再得到为常数即可求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可. 【小问1详解】 已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 【小问2详解】 由（1）得， 则 17. 已知圆C过两点，，圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程； （3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意，设圆心，半径为r，，列得关于a的方程，解得即可. （2）弦长可得圆C到直线的距离为，分斜率不存在和存在，分别求解即可. （3）依题意设，由两圆外切，可知，所以，解得m即可. 【小问1详解】 依题意，设圆心，半径为r，则， 即，解得， 所以，，得圆 【小问2详解】 设圆C到直线的距离为d，由，得， 若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意， 若直线的斜率存在，设，即， 由圆心C到直线的距离为1，即，得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或 【小问3详解】 依题意设，由两圆外切，可知， 所以，解得或， 所以或， 所以圆D的方程为或 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 （1）求数列的和公比； （2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 【小问2详解】 解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 19. 已知圆和点 （1）过点M作圆O的切线，求切线的方程； （2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； （3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）和 （2）存在，定点，定值或定点，定值 （3） 设，，，，， 由，则，即， 又，故，同理， 所以直线CD为，又M在CD上，所以， 故点E在直线上. 【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率不存在，再由切线斜率存在时，设切线为，然后利用得到即可； （2）由题设，若，存在使为定值，利用，得到参数值； （3）设，，，则，，然后利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得，则，整理得， 综上，切线的方程为和 【小问2详解】 由题设，若，则，整理得， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 即， 整理得， 要使为定值，则， 得，，或，，， 综上，存在定点，定值，或定点，定值 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，应用切线的性质及向量垂直的坐标表示列方程得，结合在圆上得到同一直线方程形式为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $