精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2024年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若,则集合B中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，有实数解”的否定是（ ） A. ，有实数解 B. ，无实数解 C. ，无实数解 D. ，有实数解 4. 已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 5. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A. B. C. D. 6. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，为在上的单调增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则函数是奇函数 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的范围为________. 13. 定义在R上的函数满足：①为偶函数；②在上单调递减；③，请写出一个满足条件的函数______． 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为________，的“大和数”为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 18. 为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动： 第一档：若一次性购买商品金额不超过元，则不打折； 第二档：若一次性购买商品金额超过元，不超过元，则超过元部分打折； 第三档：若一次性购买商品金额超过元，则超过元，不超过元的部分打8折，超过元的部分打折. 若某顾客一次性购买商品金额为元，实际支付金额为元. （1）求关于的函数解析式； （2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为、元，且、满足关系式，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由． （提示：折扣省下的钱甲购买商品的金额乙购买商品的金额甲乙拼单后实际支付的总额） 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2024年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若,则集合B中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出集合B，进而可得集合B中元素的个数． 【详解】由题意得集合， 所以集合B中共有4个元素． 故选：D． 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题“，有实数解”的否定是（ ） A. ，有实数解 B. ，无实数解 C. ，无实数解 D. ，有实数解 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题（又称特称命题）的否定为全称量词命题（又称全称命题），即变为. 【详解】“，有实数解”的否定是“，无实数解”， 故选：C. 4. 已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 5. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可得结论. 【详解】解析：由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小． 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓． 故选：A. 6. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，即可判断，，；由基本不等式即可判断. 【详解】取，，满足，，且， 所以不正确； ，所以不正确； ，所以不正确； 因为，当且仅当时等号成立，所以正确. 故选：. 7. 已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断函数在各区间的正负，考虑和两种情况，将不等式转化为的正负，计算得到答案. 【详解】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减， 且，故， 函数在和上满足，在和上满足. ， 当时，，即；当时，，即. 综上所述：. 故选：A 8. 若函数，为在上的单调增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可得，，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，根据对勾函数的单调性及性质判断A，B选项，当时，结合函数奇偶性的定义可判断D，结合函数的单调性及图像可判断C选项. 【详解】当时，函数在区间单调递减，在单调递增.如下图所示 可知函数没有最小值，A错误；B正确； 当时，， 则，所以函数为奇函数，故D正确， 又因为函数在是单调递增，如图， 所以函数的值域为R，故C正确. 故选：BCD 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，，进而代入各选项判断即可. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为，， 故， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D：不等式可化为， 即，即，其解集为，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由 ，利用赋值法求解判断；B. 由 ，令，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断. 【详解】解：因为函数满足， 所以，即，则； 令，则，故为奇函数， 设，且，则， 即，所以在R上是减函数， 所以在区间上有最大值， 由，得， 由在R上是减函数，得，即， 解得，所以的解集为， 故选：ABD 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则的范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】由，得， 又，则， 即的范围为. 故答案为：. 13. 定义在R上的函数满足：①为偶函数；②在上单调递减；③，请写出一个满足条件的函数______． 【答案】(不唯一) 【解析】 【分析】根据指数函数恒过即可考虑指数型函数得出答案. 【详解】由函数满足：①为偶函数②在单调递减；②， 则. 故答案为： 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为________，的“大和数”为________. 【答案】 ①. 5 ②. 80 【解析】 【分析】根据给定定义直接求出的“小和数”；求出集合的所有非空子集中含有每个元素的子集个数即可求出的“大和数”. 【详解】依题意，的“小和数”为； 集合的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集， 因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为， 所以的“大和数”为. 故答案为：5；80 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，解得的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解； （2）转化问题为对恒成立，即，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为是幂函数， 则，解得或， 若，为偶函数，符合题意； 若，的定义域为，不为偶函数，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或. （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式可化为，解得或， 所以当时，不等式的解集是或. 【小问2详解】 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为， 令，解得或1（舍去）； ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，，原不等式的解为； 当时，原式可化为， 令，解得（舍去）或1； ①当时，，原不等式的解为或； ②当时，不等式为，解得； ③当时，，原不等式的解为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是或. 18. 为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动： 第一档：若一次性购买商品金额不超过元，则不打折； 第二档：若一次性购买商品金额超过元，不超过元，则超过元部分打折； 第三档：若一次性购买商品金额超过元，则超过元，不超过元的部分打8折，超过元的部分打折. 若某顾客一次性购买商品金额为元，实际支付金额为元. （1）求关于的函数解析式； （2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为、元，且、满足关系式，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由． （提示：折扣省下的钱甲购买商品的金额乙购买商品的金额甲乙拼单后实际支付的总额） 【答案】（1） （2）甲乙购买商品的金额之和为， 而（元）， 当且仅当，即时，原式取得最小值. 此时（元）， 因为，则拼单后实付总金额（元） 故折扣省下来的钱为（元）. 则甲乙拼单后，甲实际支付（元），乙实际支付（元） 而若甲乙不拼单，因为，故甲实际应付（元）； ，乙应付（元）. 因为420元422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额比不拼单时的实付金额还要高，因此该分配方式不公平. 所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元. 若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分，，三种情况求解即可； （2）根据题意及基本不等式可确定的最小值，及取得最小值时的值，进而结合题意分析即可求解. 【小问1详解】 由题意，当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，. 【小问2详解】 略 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可； （2）（i）由题意可知为奇函数，进而，由此可求出时的解析式，即可求解； （ii）由的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 当时，， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 （i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形， 所以为奇函数， 所以，即， 时，， 所以． 所以； （ii）， 当时，在单调递增， 当时，则 即方程在有两个不相等的根， 即有两个不相等的根， 令，则 又， 所以有不可能有两个不相等的根； 当时，在单调递增， 当时，则， 即方程在有两个不相等的根， 即在有两个不相等的根， 令，则 又，解得， 当时，易知在上单调递增， 所以在单调递增， 此时， 即， 令，则易知在单调递减， 所以即， 又时，， 当且仅当，即时取等， 所以，此时无解； 综上可知：的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $