精品解析： 天津市南开区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故选D． 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； C、等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； D、是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误． 故选：C． 4. 若分式值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意得到并且，即可得到． 【详解】解：由题意得，并且， 解得， 解得， ∴． 故选：D 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，分别根据负整数指数幂的相关运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0． 【详解】A. 当时，才成立，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. 因为a是分母，所以，所以成立，故C选项正确； D.，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同乘除一个不为0的数或代数式，分式的值不变是解题的关键． 7. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，又 ∴，， ∴，． 若长为的边为腰，的边为底，由于，这不能构成三角形； 若长为的边为腰，的边为底，则周长为． 故选：A 8. 图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ） A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用等知识．根据六边形的内角和列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故选：C． 9. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 10. 如图，在中，，，点分别在边上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角直角三角形的性质，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由折叠可得：，，求出，再由含角直角三角形的性质可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， 故选：A． 11. 学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示． 则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整理式混合运算，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键． 根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：A、方案一：如图1，，故此选项不符合题意； B、方案二：如图2，，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 12. 如图，中，，点为内一点，，，则（ ） A. 60° B. 72° C. 70° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，延长交于点，连接．由题意可求出．由所作辅助线可判断为的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值． 【详解】如图，作于点，延长交于点，连接． 由题意可求出， ∵， ∴． ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴ （）， ∴． ∵， ∴， 故选:B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：_______． 【答案】1． 【解析】 【分析】由解题即可． 【详解】 故答案为：1． 【点睛】本题考查零指数幂，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 14. 已知点和点关于x轴对称，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a，b的值，即可得解． 【详解】∵点和点关于x轴对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4 15. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，分和完全平方公式和差的完全平方公式两种情况求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案． 16. 如图，中，于点E，于点F，且，.若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，本题中求证是解题的关键．先证明，可得，再由线段垂直平分线的性质即可解答； 【详解】，， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴， 故答案为：3 17. 2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考分式的减法，分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】解：2002年的增长率是：， 2003年的增长率是：， 则森林面积增长率提高：． 故答案：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 【答案】图见解析；构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 方法：构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求． 故答案为：构造菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，点即为所求． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 按要求答题 （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）先化简，再求值：，其中满足. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题综合考查了分式的化简求值，因式分解，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先化简，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先通分、化除法为乘法进行分式化简，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： ， ∵x满足， ∴， ∴原式=． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：是原方程的解， 故原方程的解为． 21. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1）见详解， （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出，可得，则是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 是等腰三角形； 理由：∵是等腰三角形，，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键． 22. 点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． （1）图1，求证：； （2）图2，连接，若，且，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）先证明，再根据“边边边”证明，即可得到； （2）根据，得到，再证明，得到，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行100所用时间，与以最大航速逆流航行60所用时间相等，求江水的流速． （1）设江水的流速为，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（） 行驶路程（） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 （2）列方程，并求出问题的解． 【答案】（1）见详解 （2），江水的流速是 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设江水的流速为，根据“顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速，”即可填表； （2）根据“顺流航行100所用时间，与逆流航行60所用时间相等”即可列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设江水的流速为，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（） 行驶路程（） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 【小问2详解】解：设江水的流速为，由题意得 ． 方程两边同乘以得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 答：江水的流速是． 24. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】（1）①； ；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，，∵则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 下列各式从左到右变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 8 8. 图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ） A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 112 9. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点分别在边上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 11. 学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示． 则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，点为内一点，，，则（ ） A. 60° B. 72° C. 70° D. 65° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：_______． 14. 已知点和点关于x轴对称，则______. 15. 若是一个完全平方式，则的值为______． 16. 如图，中，于点E，于点F，且，.若，则______. 17. 2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 按要求答题 （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）先化简，再求值：，其中满足. 20. 解分式方程：． 21. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断是否为等腰三角形，并说明理由． 22. 点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． （1）图1，求证：； （2）图2，连接，若，且，求的度数． 23. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行100所用时间，与以最大航速逆流航行60所用时间相等，求江水的流速． （1）设江水的流速为，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（） 行驶路程（） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 （2）列方程，并求出问题的解． 24. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$