精品解析：江苏省无锡市新吴区梅村高级中学空港分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

江苏省梅村高级中学空港分校2024-2025学年秋学期期中检测 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 直线一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且，那么（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体OABC中，，，，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为.已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为 A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 若方程表示圆，则 D. 圆上有且只有三点到直线的距离都等于 10. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 任意向量满足 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若为正四面体，G为的重心，则 11. 已知，是椭圆两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______. 13. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____． 14. 已知正方体棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知i为虚数单位，m为实数，复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为复数z共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 16. 已知椭圆的长轴长为4，左顶点为A，点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）点Q为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 17. 已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 18. 如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且. （1）求证：； （2）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为. 19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省梅村高级中学空港分校2024-2025学年秋学期期中检测 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算结合虚部的定义求解即可. 【详解】依题意，原式，虚部为1. 故选：B 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 3. 若椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且，那么（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得，，，代入数据解方程组即可． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题． 4. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可令，根据即可得出，然后根据圆的面积公式即可得出结果. 【详解】令，则，即， 故复数所对应的点在以为圆心、为半径的圆内， 复数在复平面内所对应的图形面积为， 故选：B. 5. 在四面体OABC中，，，，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，，即得解 【详解】 ，，，点在上，且，为的中点， . 故选：C. 6. 某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为.已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，，然后联立求解即可. 【详解】如图（示意图）： 为月球的球心，月球半径约为. 依题意，，. 所以， 解得. 由， 得， 所以椭圆的离心率. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示， 当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由，两边平方后展开整理，结合已知条件即可求得，进而得到答案. 【详解】因为， 所以， 由题意，，则， 所以， 因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内， 并且都垂直于棱，且二面角大小为， 所以， 而，，， 于是， 所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为 C. 若方程表示圆，则 D. 圆上有且只有三点到直线的距离都等于 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线的两点式方程可判断A，利用直线的截距式方程可判断B，由二元二次方程表示圆的条件可判断C，利用直线和圆的位置关系可判断D. 【详解】对于A，由当或时，过两点的直线方程不能表示为，故A错误； 对于B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程还有，故B错误； 对于C，若方程表示圆，则即，故C正确； 对于D，圆的圆心为原点，半径为2，圆心到到直线的距离为，则圆上有且只有三点到直线的距离都等于，故D正确. 故选：CD. 10. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 任意向量满足 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若为正四面体，G为的重心，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相等向量概念即可判断选项A；根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D. 【详解】对于A：因为与是一个数量，则与共线，与共线， 而向量不一定共线，所以不一定成立，故A错误； 对于B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误； 对于C：因为是空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在实数使得， 即，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 对于D：， 则，又为的重心， 所以，故，故D正确. 故选：AB. 11. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即，解得， 故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则，但，故C错误； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由正切函数的性质知，当时，； 当时，不存在； 当时，. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围. 【详解】根据椭圆的标准方程的形式， 可知方程表示椭圆的条件是：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可. 14. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知i为虚数单位，m为实数，复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为复数z的共轭复数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由复数乘法法则化简后，由复数的分类求解； （2）求出，得出对应点的坐标，由点在第四象限得不等式，从而求得的范围． 【详解】（1）是实数， 则，； （2），它对应的点在第四象限， 所以，解得．即的范围是． 16. 已知椭圆的长轴长为4，左顶点为A，点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）点Q为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】（1）椭圆C的方程为，椭圆C的离心率 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长及求出椭圆方程及离心率；（2）数形结合可知，当直线与椭圆相切时，与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，联立方程，用根的判别式等于0求出切线方程，结合平行线距离公式，两点间距离公式求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的长轴长为4，所以，. 又点在椭圆上，所以. 解得:，.故椭圆C的方程为.椭圆C的离心率. 【小问2详解】 设与直线AP平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，联立 可得：，化简可得：， 所以，即，解得. 与AP距离比较远的直线方程：，直线AP的方程为：， 点Q到直线AP的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得： 由两点之间距离公式可得 所以的面积的最大值： 17. 已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 【答案】（1），C表示以为圆心，为半径的圆 （2）和 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设切线方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设，由，可得，即， 整理得，即方程可化为， 所以曲线表示以为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 解：由题意，两切线的斜率均存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线方程为和． 18. 如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且. （1）求证：； （2）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连结，可得，，从而平面，所以，又四边形为棱形，所以. （2）根据题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，根据法向量的余弦值的绝对值为可求得，从而可得结论． 【详解】（1）如图，取的中点，连结， 由题意可得，均为正三角形， 所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以. 因为四边形为菱形，BC//AD 所以. （2）由（1）可知. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 故可得两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以 ， 由，可得点的坐标为， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，可得， 令，则， 又平面的一个法向量为， 由题意得， 解得或（舍去）， 所以当时，二面角的余弦值为. 19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）7；（ii）在定直线上 【解析】 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； （ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【小问1详解】 解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； 【小问2详解】 解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线斜率不存在， 则，， 则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7； （ii）设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则 ， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$